第15章 轴对称图形与等腰三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（沪科版·新教材）安徽专版

第15章轴对称图形与等腰三角形 ⊙)考点1 轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 2.轴对称 (1)定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这 两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是对称轴.折叠后重合的两点叫作对应点 (也叫对称点). (2)轴对称图形与轴对称的区别与联系 名 关系 称 轴对称图形 轴对称 对象不同 一个图形 两个图形 意义不同 一个特殊的图形 两个图形之间的特殊联系 区别 对称轴的位置 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形 一定经过这个图形 不同 的内部 对称轴的数量 有一条或多条 只有一条 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴 对称图形： 联系 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图 形成轴对称. 3.性质 (1)轴对称的性质：如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 线段的垂直平分线， (2)轴对称图形的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 心)考点2线段的垂直平分线 1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.线段的垂直平分线的性质及判定 性质定理 判定定理 图示 到线段两个端点距离相等 文字 线段垂直平分线上的点到 语言 的点在线段的垂直平分 线段两个端，点的距离相等 线上 如图，直线I⊥AB,垂足为 如图，已知线段AB,·PA= 几何 语言 C,AC=CB,点P在1上，· PB,,点P在线段AB的垂 PA=PB. 直平分线上 应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分 线上 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第7页 ⊙)考点3) 画轴对称图形 1.画轴对称图形的方法： (1)找：在原图形上找特殊点（如线段端点）； (2)画：画各个特殊点关于对称轴的对称点； (3)连：依次连接各对称点。 2.用坐标表示轴对称： (1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y); (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y). 心)考点4)角的平分线 1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 2.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 【注意】角平分线的性质可直接用于证明线段相等，但运用时必须符合两个条件： (1)点在角的平分线上；(2)点到角的两边都有垂线段或可以构造出垂线段 ○)考点5等腰三角形 1.等腰三角形的性质 定理1：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）： 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，简称“三线合一” 2.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 3.等边三角形的性质：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 4.等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形： (2)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 5.含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ⊙)考点6尺规作图 1.作线段的垂直平分线 已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线， 作法：(1)分别以点A,B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于点E,F: (2)过点E,F作直线， 则直线EF就是线段AB的垂直平分线： 2.作已知角的平分线 A 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线 作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点M,N; B (2)分别以点M,V为圆心，大于)MN长为半径在角的内部作弧，两弧交于点C: (3)作射线OC,则OC为所求作的∠AOB的平分线 【补充拓展】(1)作一个角等于已知角的理论依据是“SSS”; (2)作已知角的平分线的理论依据是“SSS”」 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第8页 3.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB上一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：作平角ACB的平分线CF 直线CF就是所求作的垂线： 4.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁； (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D,E; (3)分别以点D,E为圆心，大于2DE长为半径作弧，两弧交于点F: (4)作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线， ⊙)考点7 最短路径问题 1.理论依据：“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等。 2.常见类型 A. 书 在直线1上求 在直线1上求 在1、2上分别求点M、 在11、山2上分别求点 问题 点P,使PA+ 点P,使PA+PB N,使△PMN的周长 M、N,使四边形 PB值最小. 值最小 最小 PQMN的周长最小 作B关于1的对 分别作点P关于1和l2 分别作点Q、P关于 连接AB,与I称，点B',连接 的对称点P'和P”,连接 11、l2的对称，点Q'和 作法 交点即为P. AB',与1交点即 PP",与l和l2交点即为 p',连接Q'P′，与l1、l2 为P. M、N. 的交点即为M、N. P 图示 3 3.造桥选址问题：解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后线段相等，把未知的 线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题， 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第9页 叁针对练习 1.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( 卯馕韵几 2.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E 的度数为( A.25° B.20° C.15o D.7.5° 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,CD⊥AB于点D,则AD的长为 40以409 D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接 AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于E,在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变， 当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是 5.如图，在△ABC中 (1)作∠ABC的平分线交AC于D,作线段BD的垂直平分线EF分别交AB于E,BC于F, 垂足为点O:(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接DF,判断DF与边AB的位置关系，并说明理由. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第10页答案详解详析·易错剖析 十”十十十十十"十 4.110°或80°【解析】.AB=AC,..∠B=∠C=40°，①当 《课本知识集锦》答案 AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∠AED>∠C,.此时 第11章平面直角坐标系 不符合；②当DA=DE时，即LDAE=∠DEA=2×(I80 1.D 40)=70°，∠BAC=180°-40°-40°=100°，.∠BAD= 100°-70°=30°，∴.∠BDA=180°-30°-40°=110°；③当 2.C【解析】点P向右平移m个单位长度可得P'(n-2+ EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴.∠BAD=100°-40°= m,2n+4)..P'(4,6),.n-2+m=4,2n+4=6,解得n=1, m=5.故选C. 60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°：综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°. 第12章函数与一次函数 5.解：(1)如图所示： 1.A 2.2【解析】直线y=- 2+b-1变形为x+2y-2b+2=0,所 1 以-b=-2b+2,解得b=2. 3.解：(1)20 (2)设打折销售后，销售总额y与销售量x之间的函数 (2)DF∥AB.理由：，∠ABC的平分线交AC于D,. 表达式为y=hx+b,.打八折出售，.k=20×0.8=16,..y ∠ABD=∠CBD,·EF是线段BD的垂直平分线，·.BF= =16x+b,把(40.，800)代入，得b=160..y=16x+160,当y DF,∴.∠BDF=∠FBD,∴.∠ABD=∠BDF,∴.AB∥DF. =1120时，x=60,x的取值范围为40≤x≤60： 4十“十4十十十“十十十十4十4十十4十 (3)1120-10×60=520(元)，答：这批袜子销售完后获得 的利润为520元. 《课本回头练》答案 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 1.C【解析】第三边的取值范围是大于4且小于8，又因 基础知识抓分练1 为第三边是偶数.故第三边是6.则该三角形的周长是6 1.D2.B +6+2=14.故选C. 3.C【解析】小点A(a,b)在第四象限，a>0,b<0,.-a< 2.B 0,.点B(b,-a)在第三象限.故选C. 3.D【解析】由题意得，∠ABE=∠EBD,∠EBD=∠DBC, 4.A5.A ∠CDB=∠C'DB=74°，.·.∠ABE=∠EBD=∠DBC,. 6.C【解析】由题意得：点A,的坐标为A,(-3,3),点A6的 ∠ABC=3∠DBC,在△BCD中，∠DBC+∠C+∠CDB 坐标为A(-3+7,3),即A6(4,3),点A,的坐标为A7(-4, 180°，.∠DBC+∠C=180°-74°=106°，在△ABC中，. 4),观察可知，点Ax1的坐标为(-1,1)，点Ax2的坐 ∠A+∠ABC+∠C=180°，..20°+2∠DBC+(∠DBC+∠C) 标为(-2,2)，点Ax1的坐标为(-3,3)，点Ax41的坐标 =180°，即20°+2∠DBC+106°=180°，.∠DBC=27°， 为(-4,4)，归纳类推得：点A2m1的坐标为(-n,n)(其 ∠C=106°-27°=79°.故选D. 中，n为正整数)，2025=2×1013-1，.点A2s的坐标 4.解：(1).：∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BAE=40°，..∠ABE 为(-1013,1013).故选C. =60°-40°=20°，.·BE平分∠ABC,.·.∠ABC=2∠ABE= 7.1(答案不唯一)8.(-3,2) 40°，.·AF为高，.∴.∠AFB=90°，∴.∠BAF=90°-∠ABF= 9.-4或0【解析】点M(-2,a)与点N(x,a)的纵坐标 90°-40°=50°： 都是a,.MW∥x轴，M与N之间距离是2，∴.1-2-x= 2,解得x=0或-4. (2):AD为中线BC=2BD=10,:SaC=2AF·BC 10.(1)4(2)(-4,1)【解析】(1)根据题意得，1-a= =40,∴.AF= -3,解得a=4;(2)a=4,.2a-12=2×4-12=-4,.P 第14章全等三角形 (-4,-3).点Q是由点P向上平移4个单位得到的， .点Q(-4,1). 1.A2.D 3.D【解析】小：△ABD≌△ACE,∴.BD=CE=BE-DE=6, 11.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求； (2)如图所示，△A,B,C2即为所求. BC=BE+EC=16+6=22.故选D. 4.(1)证明：.AB∥CD,∴.∠BAE=∠DCF,,AF=CE,∴.AE (AB=CD =CF,在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF,.·.△ABE AE=CE 上 ≌△CDF(SAS): (2)解：：∠BCE=30°，∠CBE=70°，∴.∠AEB=∠BCE+ tt时 ∠CBE=30°+70°=100°，，'△ABE≌△CDF,.∴.∠CFD= ∠AEB=100°. (3)Sac=2x3- 2×1x3- 2×1x2- 2×2x1=5 第15章轴对称图形与等腰三角形 12.解：(1)：点M在x轴上，.a+3=0,.a=-3,则2a-4= 1.A 2×(-3)-4=-10,.M(-10,0): 2.C【解析】△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°.： (2),·MNx轴，N的坐标为(2,5)，.∴，a+3=5,解得a= ∠ACB=∠CGD+∠CDG,.∠CGD+∠CDG=60°.CG= 2,则2a-4=2×2-4=0,∴.M(0,5). CD,.∠CGD=∠CDG=30°..·∠CDG=∠DFE+∠E,· 13.解：(1)如图所示，点A、B、D、C、M、N即为所求： ∠DFE+∠E=30°..：DF=DE,∴.∠E=∠DFE=15°.故选 (3,2)(1,-2) 3.3【解析】.∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,.∠B=60°， BC=2AB=2,CD LAB,.∠BDC=S90°，.∠BCD= 30BD=2BC1AD=4B-BD=3. 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版ZBK·八年级数学上第1页