精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

长沙市第一中学2025-2026学年度高一第一学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 2. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，即可求解与的值，再将代入解析式即可得的值，进而求解答案即可. 【详解】令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 3. 式子的化简结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：D 4. 函数的大致图象为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除D；利用函数值正负排除AC，即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 而， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当时，，排除C； 当时，，排除A，而B满足条件． 故选：B 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 6. 学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象． 【详解】设行进的速度为 ，行走的路程为， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②． 故选：A． 7. 设，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解. 【详解】法一：由， ， 又函数增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得：.再由当时，，可求出，从而求解答案即可. 【详解】中，令，得， 即，所以； 又，所以，所以. 因为，所以，， 所以. 因为，当时，， 所以，所以， 所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有3个元素 D. 有8个真子集 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出集合，逐项判断即可. 【详解】，，A正确； ，B正确； 中有3个元素，C正确； ,有7个真子集，D错误. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题可判断A；根据充分必要条件的定义可判断B；根据复合函数的值域可判断C；根据对数函数的定义域可判断D. 【详解】由存在量词命题的否定是全称命题可知 “存在，使得”的否定是“对任意，均有”，故A正确； 若，，并且关于的方程的两根， 所以两根必是一正一负，所以充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根， 则，解得，所以必要性也成立， 所以“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，故B正确； 令，则原函数可化为由对勾函数单调性可知， 在上单调递增，所以，无最小值，即无最小值，故C错误； 由对数函数定义域可知使得对数有意义，则有，解得，故D正确； 故选：ABD 11. 给定数集，，方程①，则（ ） A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则 D. 存在方程①的两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义判断A,B易得；对于C，由题意得到，，化简整理得，根据推得，展开即可判断；对于D，运用反证法，假设也是方程①的解，通过，替代化简推出，得出矛盾即可. 【详解】对于A，由①可得，，对于任意的，都有唯一确定的值与之对应， 故为函数，故A正确； 对于B，由①可得，因，若取，则，此时不存在实数与之对应， 若考虑虚数解，会出现两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，依题意，，， 两式相减，整理得， 因且，则有， 即得，展开整理，即得，故C正确； 对于D，由题意，，， 假设也是方程①的解，则有（*）， 因，则， 代入（*）式，整理得：，即得，这与题意不符，故D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 13. 设，，且，若恒成立，则实数最大值为________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用基本不等式和“1”妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 14. 若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若是的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由必要不充分条件的定义可得集合是集合的真子集，由集合关系列出不等式即可求解. （2）由题可得，分类讨论的范围，求出集合，由集合关系列出不等式即可求解. 【小问1详解】 不等式可化为，所以或， 所以，由于是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 对于集合，设，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合是集合的真子集， 则，即，解得：， 所以a的取值范围为： 【小问2详解】 因为，则 当时， ，满足； 当时，， 要使，则，解得：； 当时，， 要使，则，解得：； 综上：实数m的取值范围为： 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 17. 某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 【答案】（1）0.6元/（kW·h） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益 当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 【小问1详解】 由题意知，下调电价后新增用电量为. 故电力部门的收益，. （1）当时，. 由题意知且. 化简得. 解得. 或 又 .· 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% 【小问2详解】 当时，. 令，，· ， 当且仅当时取等号. 故收益的最小值. 18. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得：，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 （方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. 【小问2详解】 当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. 【小问3详解】 当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故，即从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以从而. 综上，实数的取值范围是. 19. 我们称函数为双曲正弦函数，称函数为双曲余弦函数. （1）证明：对任意实数成立； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意，均有：，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）在上单调递增，在上是奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按照等式化简即可证明； （2）根据单调性的定义证明函数单调递增，根据奇偶性判断为奇函数； （3）根据（2）得到的结论，化简不等式，利用分离参数和换元的方法求解即可. 【小问1详解】 由题， 故对任意实数成立. 【小问2详解】 由已知得，知的定义域为， 任取实数，且，则， 因为，所以，所以， 于是由的任意性，知函数在上单调递增， 又，所以是上的奇函数. 【小问3详解】 由题意知，即，因为函数在上单调递增， 所以 ， 而，又为增函数，故， 故两边除以，得， 令，，因为在上单调递减， 在上单调递增，所以在上的值域为， 所以的值域为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2025-2026学年度高一第一学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A B. C. 0 D. 2 3. 式子的化简结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 函数大致图象为（ ）． A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 7. 设，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有3个元素 D. 有8个真子集 10. 下列说法正确的是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义实数的范围是 11. 给定数集，，方程①，则（ ） A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则 D. 存在方程①的两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上减函数，则实数______． 13. 设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 14. 若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合． （1）若是的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 17. 某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 18. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 19. 我们称函数为双曲正弦函数，称函数为双曲余弦函数. （1）证明：对任意实数成立； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意，均有：，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $