精品解析：湖南湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学2025-2026学年下学期（期中）段考高一年级数学试卷

湘钢一中2026年上学期段考 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：高一备课组 审核人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 2. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与共线，得， 所以. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 4. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别限定a，b，c的取值范围即可比较出大小. 【详解】由指数函数在R上单调递增可知，，即； 由对数函数在上单调递增可知，，即; 由对数函数在上单调递减可知，，即 所以，可得 故选：C 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 7. 若复数，满足，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】，，根据复数的相等可求得，，平方后与复数，的模长联立求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， 则，即. 又，则，. 所以，， 即，所以. 又， 所以 . 8. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出分段函数图象，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出，再由对数函数性质得出，所求式子可化为，换元后利用函数单调性求范围. 【详解】作函数的大致图象，如图， 当时，，即，化简可得， 所以，所以， 当时，又，即， 则，则， 由图形可知，即，解得， 令，又在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 为方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由复数运算结合共轭复数，虚部定义可判断选项正误；对于B，由A分析结合复数几何意义可判断选项正误；对于C，由复数模计算公式可判断选项正误；对于D，验证是否为方程解即可判断选项正误． 【详解】． 对于A，，则的虚部为，故A错误； 对于B，在复平面对应坐标为，其在第二象限，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因，则是的根，故D正确． 10. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：与两个平行平面分别平行的两条直线的位置关系不能确定，故A错误； 对B：根据条件，要想确定，还需要直线，相交这个条件，故B错误； 对C：根据线面平行的性质定理，可得C正确； 对D：如图， 可以满足所有条件，但，故D错误. 11. 中，内角，，所对的边分别为，，，则以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则的范围是 C. 若是平面内一定点，若点满足（），则点的轨迹一定通过的重心 D. 若为的内心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意可得，结合余弦函数的单调性即可判断；对于B，由正弦定理可得，根据该三角形有两解，可得，即可求解；对于C，设为的中点，化简可得，即点在中线上，结合重心的定义即可判断；对于D，根据三角形内心的性质可得：，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，在中，因为 ，根据大边对大角，所以， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以可以推出，因此选项 A 正确； 对于B，由，，根据正弦定理可得， 所以，由于该三角形有两解， 所以，解得，故B错误； 对于C，设为的中点，所以，即， 所以，则向量与共线，即点在中线上， 而的重心是三条中线的交点，因此点的轨迹一定通过的重心，故C正确； 对于D，若为的内心，则， 由于， 所以， 不妨假设， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 【答案】4 【解析】 【详解】由题意知， 则， 为直角三角形，，高， ． 13. 如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意得到，得到，进而得到，即可求解. 【详解】设， 因为和分别是边和的中点，可得, 又因为，所以， 因为，所以，所以. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出外接圆的半径，内切圆的半径，求出三棱柱外接球半径平方为，得到外接球表面积，结合图形得到的最大值为． 【详解】因为底面是边长为6的正三角形，所以外接圆的半径， 内切圆的半径．设三棱柱外接球的半径为， 因为，所以， 则三棱柱外接球的表面积为． 由题可知，三棱柱外接球的球心与内切圆上点的距离， 故的最大值为． 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面内两个向量，. （1）求的值 （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标公式求解即可； （2）根据，结合向量数量积的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 所以， 解得. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. （1）证明：平面； （2）若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1） 如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）三棱锥的体积为定值 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理进行证明. （2）根据三棱锥的体积的求法判定三棱锥的体积是否为定值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 17. 已知向量，， （1）记，求及的最大值； （2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，.若，且为（1）中取到最大值时的值，求的取值范围. 【答案】（1）；最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式，再结合两角和的正弦公式将函数化成正弦型函数标准形式，借助正弦函数单调性找到函数取最大值时对应的角度和最大值. （2）由（1）知，结合锐角三角形求出角的取值范围，最后根据的范围求出整体角范围，结合正弦函数值域推导出边长比值的取值范围. 【小问1详解】 所以. 由得. 当即时有的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，取最大值时，故. 在中，，则， 又为锐角三角形，故，即，解得. 由正弦定理（为外接圆半径）. 得，代入，. 化简得 因为，所以，则. 故，即的取值范围是. 18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0，1； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； 【小问2详解】 由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为. （1）若中，，求面积的最大值； （2）利用解三角形知识证明“三斜求积”公式：. （3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为，的外接圆面积为.已知，，且，，，试用，，表示，并求的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为，由余弦定理，又，则， 所以， 所以. （3），. 【解析】 【分析】（1）利用“三斜求积”公式结合基本不等式求解； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理和同角三角函数关系式求解； （3）由补形法可得，再由正弦定理和三角形面积公式得，进一步可得的表达式，取倒数，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，当且仅当时，取等号， 所以， 即面积的最大值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，等腰四面体可补形为与其共外接球的长方体，如图，设，则， 设等腰四面体的外接球半径为，所以，故； 因为， 设的外接圆半径为，由正弦定理得，且， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 即，当且仅当时，取等号， 又，所以， 所以，所以，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘钢一中2026年上学期段考 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：高一备课组 审核人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 2. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 7. 若复数，满足，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 为方程的一个根 10. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 11. 中，内角，，所对的边分别为，，，则以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则的范围是 C. 若是平面内一定点，若点满足（），则点的轨迹一定通过的重心 D. 若为的内心，且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 13. 如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________. 14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面内两个向量，. （1）求的值 （2）若，求实数的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. （1）证明：平面； （2）若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 17. 已知向量，， （1）记，求及的最大值； （2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，.若，且为（1）中取到最大值时的值，求的取值范围. 18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为. （1）若中，，求面积的最大值； （2）利用解三角形知识证明“三斜求积”公式：. （3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为，的外接圆面积为.已知，，且，，，试用，，表示，并求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $