专题27.10 圆锥的侧面积（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.10 圆锥的侧面积（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 求圆锥的侧面积】 2 【题型2 求圆锥底圆的半径】 3 【题型3 求圆锥的高】 4 【题型4 求圆锥母线长】 5 【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】 5 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 6 【题型7 圆锥与最短距离】 7 【题型8 求圆锥的全面积】 8 知识点 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求圆锥的侧面积】 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，为圆锥底面直径，为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【变式1-3】（2025·广东·二模）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍． 【题型2 求圆锥底圆的半径】 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）将母线为的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【变式2-2】（2025·内蒙古·二模）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在 （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为 ． 【变式2-3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【题型3 求圆锥的高】 【例3】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ． 【变式3-2】在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 【题型4 求圆锥母线长】 【例4】如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为，则母线长为 ． 【变式4-3】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】 【例5】（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【变式5-1】在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【变式5-2】一个圆锥底面半径是母线长度的，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 【例6】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【变式6-1】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【变式6-2】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【变式6-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【题型7 圆锥与最短距离】 【例7】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【变式7-2】如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【题型8 求圆锥的全面积】 【例8】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 【变式8-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）圆锥的底面直径是，母线长，则圆锥的全面积为 【变式8-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【变式8-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.10 圆锥的侧面积（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 求圆锥的侧面积】 2 【题型2 求圆锥底圆的半径】 5 【题型3 求圆锥的高】 7 【题型4 求圆锥母线长】 10 【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】 12 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 14 【题型7 圆锥与最短距离】 18 【题型8 求圆锥的全面积】 24 知识点 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求圆锥的侧面积】 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求出，进而求得圆锥的侧面积． 【详解】解：设，则， 根据题意，得 解得， ， 圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，为圆锥底面直径，为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆锥的侧面积公式，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：，， ， 在中，， ， ， 这个圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 【变式1-3】（2025·广东·二模）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，设母线长为l，底面圆半径为r，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出l与r的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】解：设母线长为l，底面圆半径为r， 由题意得，该圆锥的侧面积为，， ∴， ∴底面积为， ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故答案为：3． 【题型2 求圆锥底圆的半径】 【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）将母线为的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，弧长公式，设该圆锥底面圆的半径为，根据圆锥的侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，列方程计算，即可求解． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，根据题意得， ， 解得：； 故答案为：． 【变式2-2】（2025·内蒙古·二模）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在 （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为 ． 【答案】 内 【分析】连接，，交于点，由四边形是正方形，可得，，，，由勾股定理可得，则，即可得出正方形的中心在内；设圆锥的底面直径为，则，解得． 【详解】解：如图，连接，，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点在内， 即正方形的中心在内， 设圆锥的底面直径为， ∴，解得， ∴圆锥的底面直径为， 故答案为：内，． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，圆锥的有关计算，点与圆是位置关系，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式2-3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 求圆锥的高】 【例3】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 【变式3-1】将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， ∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， ∴ 解得， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握知识点是解题的关键．设这个圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程，求出半径r，然后再根据勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， 由题意得，， 解得：， ∵圆锥的母线长为， ∴这个圆锥的高为：， 故选：B． 【变式3-3】如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm， ∴． （2）设圆锥底面圆的半径为r， ∴，解得， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是解本题的关键． 【题型4 求圆锥母线长】 【例4】如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键． 连接，求出，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，熟练掌握其性质并能灵活运用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程是解决此题的关键．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得：， 故选：A ． 【变式4-2】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为，则母线长为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．先求出圆锥底面积，再根据此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，求出侧面积，根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面积为，且圆锥模型的侧面积是底面积的3倍， ∴圆锥的侧面积为， ∴圆锥的母线长， 故答案为：． 【变式4-3】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】 【例5】（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出的长，根据旋转的方式，得到底面圆的半径为，母线为，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 【变式5-2】一个圆锥底面半径是母线长度的，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，圆的面积公式． 设圆锥底面半径为r，则母线长度为，设扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开后扇形的弧长=圆锥的底面积计算即可． 【详解】设圆锥底面半径为r，则母线长度为，设扇形的圆心角是， ∴， 解得： 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 【例6】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 【变式6-1】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积与底面积的计算，先由扇形面积公式计算出帐篷的侧面需要的材料，设帐篷的底面半径为，则，求出底面半径，从而得出帐篷的底面需要的材料，即可得解． 【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：， 设帐篷的底面半径为，则， 解得：， 帐篷的底面需要的材料为， 制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：． 【变式6-2】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 【变式6-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【题型7 圆锥与最短距离】 【例7】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【变式7-2】如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 【变式7-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【题型8 求圆锥的全面积】 【例8】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则，得到，可知时，，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：． 【详解】解：设小圆的直径为x， 若扇形弧长与底面圆的周长相等， 则， ∴， ∵随着的增大而增大， 且当时，， 即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）圆锥的底面直径是，母线长，则圆锥的全面积为 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的全面积，先求出圆锥的底面积和底面圆的周长，再求出圆锥的侧面积，进而即可求解，掌握圆锥的侧面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面积，底面圆的周长， ∴圆锥的侧面积， ∴圆锥的全面积， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是， 则围成的圆锥的全面积是． 【变式8-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积 (2)圆锥的底面圆的半径是 (3)圆锥的全面积是 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 【详解】（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $