2024年沪教版九年级中考数学C专题 中考冲刺 压轴题突破-动点产生的等腰三角形问题 讲义

-动点产生的等腰三角形问题( ) 1.理解等腰三角形的性质和判定定理; 2.通过观察了解因动点产生的等腰三角形问题的特点,熟悉对应的解题方法, 掌握“动中取静,以静窥动”的解题策略; 3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力; 4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件,从未知到已知的一个转变; 5.掌握动点产生的等腰三角形的分类讨论情况,并能根据题目中的条件进行求解. ( “ 知识结构 ” 这一部分的教学,可采用下面的策略: ) 1.本部分建议时长5分钟. 2.请学生先试着自行补全上图,发现学生有遗忘时教师帮助学生完成. ( “ 典例精讲 ” 这一部分的教学,可采用下面的策略: ) 1.本部分建议时长20分钟. 2.进行例题讲解时,教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答,则不必做过多的讲解;若学生不能正确解答,教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题. 3.在每一道例题之后设置了变式训练题,应在例题讲解后鼓励学生独立完成,以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型. 4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系,宜采用讲练结合的方式,切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题. 在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5.E为底边BC上一点,以点E为圆心,BE为半径画⊙E交直线DE于点F. (1)如图,当点F在线段DE上时,设BE,DF,试建立关于的函数关系式, 并写出自变量的取值范围; (2)联接AF、BF,当 ABF是以AF为腰的等腰三角形时,求的值.( ) 解答方法:由于在直角梯形中,我们可以先计算各边长和一个锐角的三角比,于是可以考虑过点D做垂线,会发现得到的直角三角形包括DE,从这个直角三角形中我们很容易知道通过勾股定理可以建立函数关系式,定义域的求取需要注意点F在线段DE上,我们发现随着BE的增大,DF逐渐减小,所以考虑到当DF为0时即y为0时求x的最大值; 等腰三角形要注意是以AF为腰,只需考虑两种情况,当AF=AB时,由于BE=EF,我们马上就应该能考虑到联结AE得到全等三角形,从而可以得到∠AFE=90 ,再考虑Rt ADF已知AD、AF,并且DF就是y,所以根据勾股定理求得x,当AF=BF时,发现AB为底边,马上作底边的高即可得到平行线,从而可知点F为DE中点. 答案:(1) 过点作于点. 可得,; 在Rt DEG中,∴,即 ∴(负值舍去) 定义域:< (2) 当时, 如图由BE=EF,AE=AE,有 ABE和 AEF全等, ∴,即 在中,= 由=3,解得; 当时,如图过点F作于点Q,有AQ=BQ,且AD∥BC∥FQ ∴, =,(负值舍去); 综上所述,当 ABF是以AF为腰的等腰三角形时时,或. 如图,已知在直角梯形中,∥,,,,.动点、分别在边和上,且.线段与相交于点,过点作∥,交于点,射线交的延长线于点,设. (1)求的值. (2)当点运动时,试探究四边形的面积是否会发生变化?如果发生变化,请用的代数式表示四边形的面积;如果不发生变化,请求出这个四边形的面积. (3)当 是以线段为腰的等腰三角形时,求的值. ( A B Q C G F E P D ) 解答方法:如何求的值,我们通过图形可以看到其在A字形中,马上考虑转换线段比,再看已知,马上想到了在X形中,可以求得,于是求得;第二问应该先答变化或者不变化,注意答题规范,通过观察图形,当点P和点Q运动时,点E、F为定点,同时可以发现CG=2DP=BQ,因此可以求得QG=BC=13,所以可以知道四边形面积不变化;第三问分类讨论时要注意是以PQ为腰,只需考虑两种情况,由于在直角梯形中,所以可以考虑作下底的垂线,得到直角三角形,通过勾股定理以及等腰三角形的性质求解. 解:(1)在梯形ABCD中, ∵AD∥BC,∴. ∵EF∥BC,∴. 又∵BQ=2DP,∴. (2)不发生变化. 在 BCD中, ∵EF∥BC,∴. 而BC=13,∴. 又∵PD∥CG,∴. ∴CG=2PD. ∴CG=BQ,即QG=BC=13. 作EM⊥BC,垂足为点M. 可求得EM=8. ∴. (3)作PH⊥BC,垂足为点H. (i)当PQ=PG时, . ∴. 解得. (ii)当PQ=GQ时, . 解得或. 综上所述,当 PQG是以PQ为腰的等腰三角形时,x的值为、2或. 如图1,在直角坐标平面内有点A(6, 0),B(0, 8),C(-4, 0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P. (1)求证:MN∶NP为定值; (2)若 BNP是等腰三角形,求CM的长. 图1 解答方法:1.第(1)题求证MN∶NP