八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷（沪教版五四制2024，举一反三，测试范围：第19章 实数～第21章 一元二次方程）

八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 测试范围：第19章 实数~第21章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列选项正确的是（　　） A． B． C．的算术平方根是1 D． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ） A．或 B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： ； 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 10．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 12．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 14．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是 ． 16．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的4倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是 ． 17．（25-26八年级上·全国·阶段练习）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为 （2）分析发现，当非负实数x取 时，该程序无法输出y的值． 18．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先将看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再将看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值 时，近似公式中的a是 ，r是 ． 三．解答题（共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 21．（6分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 22．（6分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算 ______； (2)若 ，求值． 23．（6分）（24-25七年级上·重庆·开学考试）阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：，所以是快乐数．根据上述材料，解决以下问题： (1)试说明：是“快乐数”； (2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是，求出这个“快乐数”． 24．（6分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 25．（8分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 26．（8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列选项正确的是（　　） A． B． C．的算术平方根是1 D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】A．，故该选项是错误的，不符合题意； B．，故该选项是错误的，不符合题意； C．没有算术平方根，故该选项是错误的，不符合题意； D．，故该选项是正确的，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 5．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：设秒后，的面积等于， 依题意得：， ∴， ∴，， 当时，，即不合题意，舍去． 所以10秒后，的面积等于． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可． 【详解】解： 与 可以合并，， 则 与 是同类二次根式， 即 （ 为正整数）， 两边平方得 ， 当 时， 取最小值，即 ， 验证： 与 可以合并， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 解得 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义．解题的关键在于明确．先由二次根式有意义的条件得到：，再化简原等式，利用算术平方根的含义求解 从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：符合题意； ∴． 故答案为：2017． 12．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 14．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程． 根据题意，另一个根需比小且比大，取另一个根为，满足条件，与已知根2共同构造一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比小，比大，不妨设另一个根为， ∴一元二次方程可写为， 展开得． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的4倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是 ． 【答案】1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算它的平方，再减去它的4倍后加上4，结果等于这个数，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或4． 17．（25-26八年级上·全国·阶段练习）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为 （2）分析发现，当非负实数x取 时，该程序无法输出y的值． 【答案】 0或1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把代入按程序计算即可求出值； （2）0的算术平方根和立方根都是0，1也是一样，不会是无理数，不能输出y值． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，； 故答案为：； （2）当时，，，一直计算，0的算术平方根和立方根都是0，不会是无理数，不能输出y值， 当时，，，一直计算，1的算术平方根和立方根都是1，不会是无理数，不能输出y值， ∴当非负实数x取0或1，该程序无法输出y值， 故答案为：0或1． 18．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先将看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再将看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值 时，近似公式中的a是 ，r是 ． 【答案】 或 或 【分析】根据近似公式得到 ，然后解方程组即可． 【详解】由近似值公式得到， ∴a+， 整理得204a2-577a+408=0， 解得a1=，a2=， 经检验a1=，a2=均为方程的根， 当a=时，r=2-a2=； 当a=时，r=2-a2=． 故答案为或；或． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的应用，利用类比的方法进行解答是解题的关键. 三．解答题（共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 21．（6分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 22．（6分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算 ______； (2)若 ，求值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用平方差公式进行分母有理化，代数求值，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）先对二次根式进行化简，再变形代数求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴ ， ，即， ∴， ∴． 23．（6分）（24-25七年级上·重庆·开学考试）阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：，所以是快乐数．根据上述材料，解决以下问题： (1)试说明：是“快乐数”； (2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是，求出这个“快乐数”． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数的乘方运算，明确“快乐数”的含义是解决本题的关键。 （1）按照“快乐数”的定义，进行计算即可求解； （2）根据“快乐数”的定义可得当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或，分别结合“快乐数”的定义，求出这个数，再根据这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被除余数是，确定这个“快乐数”即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 则是“快乐数”． （2）解：因为，， 故当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或； 当经过第一次运算结果是时，， 此时这个“快乐数”可以是，，，， 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 符合题意的“快乐数”是； 当经过第一次运算结果为时，， 此时这个“快乐数”可以是，，，， 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 符合题意的“快乐数”是； 综上，这个“快乐数”为或． 24．（6分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)， 营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． 25．（8分）（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 26．（8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10，，这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分=原数-整数部分． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 这个值在3与4之间； （2）， ，， （3）①点A表示的数为，正方形的边长为， 点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n,则， ， ， 为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等式不成立．即不存在正整数n 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $