4.2平方根与立方根（第3课时估算）数学鲁教版五四制2024七年级上册

4.2第3课时 估算 第四章 实数 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 学会利用夹逼估算法求无理数的范围，能通过估算检验计算结果的合理性. 能通过估算比较两个数的大小，解决实际问题. 新课导入 你还记得在“无理数”一节中，我们是怎样估计的值的吗？ 新知探究 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ ，解得x= 这个数大约是多少呢？ 小明 如果宽是1000米，那么面积应该是：2000×1000=2000000. ∵2000000 >400000， ∴宽没有1000米. 新知探究 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x= 可以先判断它的整数部分. ∵ 4002=160000，4502=202500， ∴ ＜＜ ∵ 4402=193600，∴＜＜ 这样就能求出宽大约是440多米. 还能再精确一些吗？ 新知探究 (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计 它的半径是多少吗？（误差小于1 m） πr2=800，r= ≈ ∵ 152=225，162=256，∴＜＜16 精确到个位数即可！ ∴花圃的半径大约为15 m. 找到无理数附近能开方的两个数，进行夹逼！ 新知探究 你能估算 的大小吗？（误差小于 0.1） ∵ 93 = ，103=1000 ， ∴ ＜10 . ∵ 9.63 =884.736，9.73=912.673 ， ∴ ＜9.7 . 利用逼迫原理，不断缩小范围，估算出无理数的值！ 新知探究 一、无理数的估算 夹逼法：对于带根号的无理数的估算，可以通过平方运算或 立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法)逐级 夹逼，先确定整数部分，再确定十分位、百分位等 小数部分. 新知探究 你能比较 与 的大小吗？ 与 的分母相同， 只要比较它们的分子就可以了， ∵ ＞2，∴ ＞1， ∴ 这种想法对吗？ 新知探究 比较下列两组数的大小，想一想，比较大小有哪些方法？ 和 2.5 夹逼估算法 用夹逼估算法合适吗？ 平方比较法 ∵ ）2= 6，2.52=6.25 ∴ 还有其他方法吗？ 新知探究 二、比较两数的大小 (1)数轴比较（数轴右边的数大于左边的数）； (2)平方比较法（适用于只有一个根号的数进行比较）； (3)夹逼估算法（估算无理数的范围）； (4)作差或作商比较法（作差与0比较，作商与1比较）. 拓展延伸 你能准确表示出的整数部分和小数部分吗？ 如何准确表示无理数的整数部分和小数部分？ 任何数的小数部分都等于这个数减去整数部分. ∵ ，∴2， ∴的整数部分为2，小数部分为-2. 典例1.估算数的大小 典例分析 例1.估算下列数的大小： （1） （误差小于 0.1）； （2） （误差小于 1）． 解：(1)∵ ∴ ∵ 解：(2)∵ 93 = ，103=1000 ， ∴ ＜10 在本章中误差小于1m就是估算到个位，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一. 变式训练 ∵ ，∴2， ∴2+11+113+11 ∴a=13，b=14 ∴==3 先估算出在哪两个整数中！ 3 典例2.比较大小 典例分析 要比较 与 的大小，只要比较-1）与5 的大小，即与9的大小，再根据无理数的比较方法即可得. 解 析 与含分母的无理数比较大小 方法技巧 先通分，变成分母相同 变成分母相同 再估算无理数的范围 比较分子的大小 典例3.求无理数的整数部分和小数部分 典例分析 判断出无理数的整数部分，根据小数部分=这个数-整数部分即可求出. 解 析 典例4.利用估算解决实际问题 典例分析 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现在有一个长度为6m的梯子，当梯稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗？ 将实际场景转化成几何图形，通过构造 直角三角形，利用勾股定理求出直角边，再与墙 高进行比较即可. 解 析 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯 子长度的，根据勾股定理，有： x2+（×6）2=62 解得：x2=32，x= ∵5.62=31.36<32,∴＞5.6 ∴梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头. 课堂练习 B ∵ ， ∴6， ∴3 课堂练习 找到小数部分的表示方法试关键！ ∵89， ∴a=8,b=-8， 课堂练习 3.小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8m 高的墙头上，他请爸爸帮他取．爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m. 你能帮小明一起算算吗？ 解：设梯子梯子底端离墙的距离为x m，此时梯子的长度为3x m 根据勾股定理，有：x2+4.82=（3x）2 解得：x2=2.88，x= ∵1.672=2.7889<2.88,∴＞1.67 ∴3x＞5.01 ∴梯子的长度大于5m. 一、无理数的估算 课堂小结 夹逼法：对于带根号的无理数的估算，可以通过平方运算或 立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法)逐级 夹逼，先确定整数部分，再确定十分位、百分位等 小数部分. 二、比较两数的大小 课堂小结 (1)数轴比较（数轴右边的数大于左边的数）； (2)平方比较法（适用于只有一个根号的数进行比较）； (3)夹逼估算法（估算无理数的范围）； (4)作差或作商比较法（作差与0比较，作商与1比较）. $