4.2 平方根与立方根 第3课时 立方根 导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

本文围绕立方根展开，介绍其概念、性质及运算。承接平方根知识背景，为后续根式运算奠基。通过实际问题探究、对比分析等环节，培养学生抽象能力、运算能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计创新点在于结合生活实例，采用问题驱动教法。从学生层面看，提升思维能力；从教师角度，提供清晰授课路径；课堂效果上，有效突破教学难点。

2 平方根与立方根 第3课时 立方根 [学习目标] 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根； 2.会用立方运算求千以内的完全立方数（及对应的负整数）的立方根。 3.了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质； [复习回顾] 1、什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根? 2、正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平 根？0的平方根是什么？ 3、平方和开平方运算有何关系？ 4、算术平方根和平方根有何区别与联系？ [新知探究] [任务一 探究立方根的定义] 活动1：阅读课本，回答下列问题： 问题1： 如图.一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个休积为216的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 问题2：如果一个数的立方等于﹣，这个数是多少？与同伴进行交流。 总结：如果一个数x的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根（也叫作三次方根）. [任务二 探究立方根的性质及开立方] 活动2 问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有儿个呢? 问题2：求8，0，-27的立方根. 问题3：正数有儿个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？ 总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”； （2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数. （3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方. 拓展：平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根 正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数 零 为零 为零 负数 无 有一个，是负数 例1求下列各数的立方根: (1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5. [即时测评] 1．8的立方根是（　　） A． B．±2 C．2 D．4 2．一个正方体木块的体积为125cm3，则它的棱长为 　 　cm． 3．若x+2的立方根是﹣2，则2x+69的平方根是 　 　． 4．一个正数m的两个平方根分别为2n+3和n﹣6，求m，n的值以及2m+14n的立方根． [任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简] 活动3：根据例1，回答下列问题. 问题1：在例1中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ 问题2:在例1中、=-3，也就是=﹣3、一般地，=a成立吗？ 问题3:＝a成立吗？与同伴进行交流. 例2求下列各式的值: (1) ; (2); (3)-; (4)()3. [即时测评] 1．下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 2．若，，则x﹣y＝　 　． 3．已知与相等，则b的值为 　 　． 4.求下列各式的值： （1） ；（2） ；（3）﹣ ；（4） ；（5） 通过以上计算，你发现了什么规律？ [当堂达标] 1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（　　） A． B． C． D．73 2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 3．已知，则a＝　 　，b＝　 　． 4．若，则a﹣b的立方根是 　 　． 5．已知是m+16的立方根，B是n+1的算术平方根，求A﹣B的值． 6.已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求x﹣b的立方根． 7．解方程： （1）（x﹣2）3﹣3＝5； （2）2（x+1）3＝128。 答案： [任务一 探究立方根的定义] 活动1： 问题1：正方体的棱长是6cm 问题2：这个数是﹣。 [任务二 探究立方根的性质及开立方] 活动2 问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有1个. 问题2：答案：因为=8，所以8的立方根是2； 因为=0，所以0的立方根是0； 因为=﹣27，所以-27的立方根是﹣3。 问题3：答案：正数、0和负数的立方根都是1个。 问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？ 总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”； （2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数. （3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方. 拓展：平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根 正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数 零 为零 为零 负数 无 有一个，是负数 例1解：（1）因为=27，所以27的立方根是3，即=3； （2）因为=，所以的立方根是，即=； （3）=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6； （4）﹣5的立方根是. [即时测评] 1．C 2．5 3．±7 4．解：根据题意得2n+3+n﹣6＝0， 解得n＝1， 所以2n+3＝5， 所以m＝52＝25， 所以2m+14n＝2×25+14×1＝64， 因为64的立方根是4， 所以2m+14n的立方根是4． [任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简] 活动3：根据例1，回答下列问题. 问题1：答案：这些数的某个数的三次方。 问题2:成立 问题3:成立 例2解：（1）==﹣2； （2）==0.4； （3）-=-=﹣； （4）()3=9. [即时测评] 1．D 2．﹣31 3．6 4.解：（1） =0.5 ； （2） =-4 ； （3）﹣ =﹣（-3）=3； （4） =5； （5）=16 [当堂达标] 1．B 2．B 3．1.285，2.342 4．﹣2 5．解：根据题意得， 解得， 所以A3，B4， 所以A﹣B＝3﹣4＝﹣1． 6.解：（1）因为一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6， 所以a+3+2a﹣6＝0， 所以a＝1； 因为b+3的立方根是﹣2， 所以b+3＝（﹣2）3＝﹣8， 所以b＝﹣11； （2）由（1）得a+3＝4， 所以x＝（a+3）2＝16， 所以x﹣b＝16﹣（﹣11）＝27， 所以x﹣b的立方根为3． 7．解：（1）2（x+1）3＝128， 所以（x+1）3＝64， 所以x+1＝4， 所以x＝3； （2）（x﹣2）3﹣3＝5， 所以（x﹣2）3＝8， 所以x﹣2＝2， 所以x＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$