精品解析：浙江省环大罗山联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025学年第一学期环大罗山联盟期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l斜率为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 4. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若圆：与圆：相交，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（） A. 点S可以是棱的中点 B. 点S的轨迹是矩形 C. 点S轨迹所围成图形面积为 D. 点S轨迹的长度为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若空间向量，，，满足，，则 C. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线倾斜角越大，则斜率越大 B. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线有条 C. 若直线l经过点、，则直线的倾斜角是 D. 直线的倾斜角θ的取值范围是 11. 已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A 曲线C关于原点对称 B. 直线与曲线C有公共点 C. 曲线C上任一点横坐标的取值范围是 D. 曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的方程为（a为常数）恒过定点______. 13. 已知点、、，则点C到直线AB的距离为______. 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点. （1）求与； （2）求的长. 16. 已知点，直线，圆：. （1）过点作圆的切线l，求直线l的方程； （2）若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 17. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T：的焦点为F，点A在T上，点，其中. （1）若直线AF斜率为1，且与T另一个交点为B，求的面积； （2）经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明：. 18. 平面内沿着等腰直角的腰AC作底角的等腰，，如图1.将沿AC翻折至，如图2. （1）当平面平面ABC时， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若G是的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值. （2）求二面角的余弦值的最小值. 19. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期环大罗山联盟期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线焦点求出标准方程即可. 【详解】若抛物线焦点坐标为，则标准方程为，且， 则标准方程为， 故选：D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l斜率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方向向量与斜率的关系求解即可. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l斜率， 故选：B 3. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理计算即可求解. 【详解】因为向量，，共面，所以可设，其中， 则，解得. 故选：A 4. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】“直线与直线互相垂直”的充要条件为：或. 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得，又，，则直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 故选：A 6. 若圆：与圆：相交，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为， 由与相交得，，解得. 故选：B. 7. 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【详解】设，由椭圆的定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（） A. 点S可以是棱的中点 B. 点S的轨迹是矩形 C. 点S轨迹所围成的图形面积为 D. 点S轨迹的长度为 【答案】C 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果． 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为2，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为，所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取， 连接，则， 则， ， 所以，， 又，且平面平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故B错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故C正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若空间向量，，，满足，，则 C. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，判断与的关系即可判断B，根据空间向量共面定理判断C，得到，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，，则或与共面但不共线，故B错误； 对于C：因为，所以，，必共面，故C正确； 对于D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以， 则或，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线倾斜角越大，则斜率越大 B. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线有条 C. 若直线l经过点、，则直线的倾斜角是 D. 直线的倾斜角θ的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；分直线是否过原点讨论即可判断B；根据直线的斜率公式即可判断C；根据直线的斜率与倾斜角的关系、倾斜角的范围可判断D. 【详解】对于A选项，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，A错； 对于B选项，若直线过原点，设直线方程为，则有，此时直线的方程为， 若直线不过原点，设直线方程为，即， 则有，此时直线方程为. 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有条，B对； 对于C选项，直线的倾斜角满足， 因为为任意角，所以不一定有，C错； 对于D选项，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，D对. 故选：BD. 11. 已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 直线与曲线C有公共点 C. 曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 D. 曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线方程的特点可判断A的真假；根据一元二次方程根的判别式可判断B的真假；把方程看成关于的一元二次方程，利用可求的取值范围，判断C的真假；利用基本不等式可判断D的真假. 【详解】对A：用代替，代替，可得，即，与原方程一致，故曲线关于原点对称.故A正确； 对B：当时，， 由，所以方程无解， 即直线与曲线C无公共点.故B错误； 对C：把曲线方程看成关于的一元二次方程，，因为该方程有解， 所以.故C正确； 对D：因为， 当且仅当或时取等号； 又， 所以，当且仅当或时取等号. 综上，， 即曲线C上任一点与原点距离的取值范围是.故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的方程为（a为常数）恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，解得即可. 【详解】由，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 13. 已知点、、，则点C到直线AB的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由点到直线距离的空间向量法计算． 【详解】因为，， 所以， 所以. 所以点C到直线AB的距离为. 故答案为： 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图， 设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点. （1）求与； （2）求的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体所有棱长都等于2， 得到，故. 【小问2详解】 因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 16. 已知点，直线，圆：. （1）过点作圆的切线l，求直线l的方程； （2）若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断点在圆上，利用，得到切线斜率，进而可得到切线的方程； （2）转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【小问1详解】 由圆，可得，圆心，半径. ∴在圆C上， 又，∴切线的斜率， ∴过点P的圆C的切线方程是， 即. 【小问2详解】 由题可知圆心到直线的距离， ∴， ∴. 17. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T：的焦点为F，点A在T上，点，其中. （1）若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求的面积； （2）经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点以及AF斜率为1得出直线l：，与抛物线联立，由韦达定理代入面积表达式求解即可； （2）设直线l：与抛物线联立，设，由A是线段DQ的中点，结合韦达定理，求出点坐标，即可证明. 【小问1详解】 由题意知抛物线的焦点为， 直线的方程为l：，联立抛物线T和直线l的方程：，得. 设，，由韦达定理得，， . 【小问2详解】 设直线l：，，，， 不妨设，因为A是D，Q中点，所以，得，即. 由，所以，即， 所以，结合，所以. 18. 平面内沿着等腰直角的腰AC作底角的等腰，，如图1.将沿AC翻折至，如图2. （1）当平面平面ABC时， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若G是的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值. （2）求二面角的余弦值的最小值. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据面面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（ii）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求空间角的正弦值； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量分别求出两个平面的法向量，然后即可求空间角的余弦值，结合函数知识即可求解二面角余弦值的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）∵等腰直角三角形，，∴，∴， 又∵平面平面ABC，平面平面，∴平面KAC， ∵平面KAC，∴. （ⅱ）以A为原点，AB，AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为平面平面ABC，所以z轴平面KAC 则，，，，， 所以，， 又平面ABC法向量可取， 所以， 所以BG与平面ABC所成角的正弦值为. 【小问2详解】 作，垂足O，在平面ABC中，过O作， 因，OM，平面KOM，则平面KOM. 则由（1），，设，， 以O为原点，OM，OC分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则点K在平面xOz内， ，，，，， 所以，，， 设平面KAC一个法向量为，则， 即，取，则得； 平面KBC的一个法向量为，则， 即，取，则得， 设二面角的平面角为，且为锐角 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 19. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可； （2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值； （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线. 【小问1详解】 连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆. 【小问2详解】 由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 则 . 【小问3详解】 设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $