精品解析：宁夏银川九中教育集团阅海一校区2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

银川九中教育集团阅海一校区2025——2026学年第一学期九年级期中考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 2. 下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 4. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 5. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB∥CD∥EF，则下列比例式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 10. 如图是一个几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则这个几何体的表面积是________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 12. 若，则________． 13. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果． 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50 根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）． 14. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 15. 如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 16. 如图，已知：射线，点在射线上，点在射线上，均为直角三角形，若，将各边边长分别扩大2倍得到，将各边边长分别扩大2倍得到，……，则的面积为______． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 19. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 20. 银川市位于中国西北部，地处黄河上游，依傍贺兰山，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．枸杞，B．葡萄酒，C．滩羊肉，D．八宝茶这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）该班的小张同学抽取的卡片上是八宝茶的概率是______． （2）用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 21. 如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上． （1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． （2）如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 22. 如图，在四边形中，，．点E、F分别为的中点，连接． （1）证明：； （2）连接，当时，求的大小． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 26. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中教育集团阅海一校区2025——2026学年第一学期九年级期中考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 2. 下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个； 故选B． 3. 已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A. ﹣1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件写出，，，代入化简得到，结合，求出的值为． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握比例的基本性质，运用比例的基本性质把比例式变形，代入所求式子，提公因式化简． 4. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质、菱形的判定、三角形全等的判定等，掌握相关知识点是解题关键． 由矩形性质得到、，结合中点得到，用证明，得到，同理可得，四边形是菱形得证． 【详解】解：由题画图，得 如图，四边形是矩形点分别是的中点． 四边形是矩形， ， ， 点分别是的中点， ， 又， ， ∴在和中， ， （）， ， 同理可得， 四边形是菱形， 故选：B． 5. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 6. 如图，AB∥CD∥EF，则下列比例式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴，，故A选项不符合题意，D选项符合题意； ∴，故C选项不符合题意，B选项不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知定理是解题的关键． 7. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为： 【详解】解：是方程的两根， ， 故选：C． 8. 我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过E作于H，证得，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答． 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：． 10. 如图是一个几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则这个几何体的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，即可求出俯视图的面积，再根据侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，即可求出几何体的表面积． 【详解】根据题意得：正三角形的高为：cm； ∴俯视图的面积为：4cm； ∴整个几何体的表面积S=3×4×10+2×4=120+8cm²． 故答案为120+8． 【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是方程有两个不相等的实数根，则，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 故答案为：且. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由已知比例，可设参数表示和，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设，， 则, ， ∴， 故答案为：． 13. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果． 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50 根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于0.50，即可估计出其概率约为0.50． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近， ∴估计这组游戏参与者投中的概率约为0.5 故答案为：0.5． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 14. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为： 15. 如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键． 16. 如图，已知：射线，点在射线上，点在射线上，均为直角三角形，若，将各边边长分别扩大2倍得到，将各边边长分别扩大2倍得到，……，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律探究问题，根据图形分别求出的面积，的面积，的面积，……，得到规律：的面积，即可求出的面积，正确理解图形得到计算规律是解题的关键． 【详解】∵均为直角三角形，， ∴的面积； ∵将各边边长分别扩大2倍得到， ∴ ∴的面积； ∵将各边边长分别扩大2倍得到， ∴， ∴的面积； ……， ∴的面积， ∴的面积， 故答案为． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则 ∴ ∴ 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质作图即可； （2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解． 【小问1详解】 解：作图如下， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为， ∴， 作图如下， ∵， ∴， ∴即为所求图形． 19. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; 【小问2详解】 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 银川市位于中国西北部，地处黄河上游，依傍贺兰山，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．枸杞，B．葡萄酒，C．滩羊肉，D．八宝茶这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）该班的小张同学抽取的卡片上是八宝茶的概率是______． （2）用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该班的小张同学抽取的卡片上是D．八宝茶的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果有12种， 班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率为． 21. 如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上． （1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． （2）如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【答案】（1）见解析 （2）1米 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案； （2）证明，根据相似三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：路灯,即为所求； 【小问2详解】 ， ， ， 灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离， ， 解得： ∴乙影子的长度为． 22. 如图，在四边形中，，．点E、F分别为的中点，连接． （1）证明：； （2）连接，当时，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形中位线定理得到，根据，即可证明； （2）先由等腰三角形的三线合一得到，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，则，，再由三角形的外角定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是的中点． ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识点． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过对角线互相平分证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证该平行四边形有一个直角，从而得矩形； （2）由矩形性质得菱形边长，结合菱形内角条件，用直角三角形性质和勾股定理求对角线长，再用菱形面积公式计算． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（）可知：四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的对角线性质及矩形的判定条件是解题的关键． 25. 【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可； ②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意，∵， 又∵， ∴，， ∴； （2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为， ∴矩形面积； ② ， 故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米． 26. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论；其中相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由矩形的性质及折叠的性质易得，从而可证明； （2）设，则由勾股定理得；由折叠的性质及矩形的性质得：，由此可求得a的值；由即可求得的长； （3）分两种情况：①当时，；②当时，；分别利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则由勾股定理得：， ∵沿折叠为， ∴，，， ∵四边形是矩形，， 即， ∴， 则， ， 由（1）得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，，则， ∵， ①当时，，如图， 此时，， 即， ∴； ②当时，，如图， 此时， 即， ∴， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $