精品解析：江西省景德镇市2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

江西省景德镇市2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题 命题：景德镇二中 李昊 浮梁一中 王利军 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】根据题意可知直线的斜率， 直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：D 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 3. 在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行关系判断AC；利用线面垂直关系判断BD. 【详解】对于A，由，得或是异面直线，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得或，C错误； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：D 5. 已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知圆与圆内切，进而得，再结合不等式求解即可. 【详解】将圆的一般方程化为标准方程得： 圆，即圆心为，半径为； 圆，即圆心为，半径为； ∵圆与圆恰有一条公切线， ∴圆与圆内切， ∴，即， ∴， ∴由不等式得，即，当且仅当时等号成立， ∴实数的最大值为. 故选：C 6. 已知某圆锥的表面积为，它的侧面展开是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥表面积公式、侧面展开图的弧长求出母线与底面半径，进而求出高，求出体积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线为，高为， 由题意解得， 则，， 故选：B. 7. 已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题知即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 8. 在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知点在底面上的投影是的外心，记为，进而将问题转化为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内及边界上的弧，再求弧长即可得答案. 【详解】因为， 所以三棱锥为正三棱锥，底面三角形是边长为的等边三角形， 所以点在底面上的投影是的外心，记为， 所以平面， 取中点，连接，则为的三等分点靠近点的点， 所以 所以， 因为点在的内部及边界上运动，且， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内及边界上的弧，如图所示， 所以，点的轨迹的长度为的长度， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 所以点的轨迹的长度为的长度占以为圆心，为半径圆的周长的 所以，点的轨迹的长度 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 10. 在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面判断A；由于平面，进而结合等体积法求解即可判断B；将问题转化为以为邻边的长方体的外接球的表面积求解即可判断C；平面展开使得与面共面，再根据两点之间线段最短求解即可判断D. 【详解】对于A，直三棱柱中，平面,平面,故， 由于，故，即， 因为，平面,平面, 所以平面， 因为是棱上一点，平面， 所以，故A选项正确； 对于B，在直三棱柱中，，平面，平面，故平面， 所以， 过作，垂足为，由等面积法得， 在直三棱柱中，平面,平面,故， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以，即四棱锥的体积为，故B选项错误； 对于C，由题知两两垂直， 所以直三棱柱外接球与以为邻边的长方体的外接球相同， 所以直三棱柱外接球的直径为， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D，将平面展开，与平面共面，得到如下图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（ ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值和最大值，且最小值为，最大值为，对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 当在直线无限远处时， 则，故B不正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确.    故选：AD. 第II部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】由直线的一个方向向量为得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 13. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的直观图，利用斜二测画法确定的特征，进而求出的周长. 【详解】依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16. 已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. 【小问1详解】 解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴，解得，满足， ∴圆的方程为 【小问2详解】 解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 17. 如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，. （1）求证：平面平面ABC； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，如图， ∵是一个边长为2的正三角形，∴，且， ∵，∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵，∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，进而根据边长关系证明平面即可证明结论； （2）取的中点连接，进而得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点连接 ∵为的中点∴，且， ∴是异面直线与所成的角或其补角， 取中点，连接， ∵在中，为中点，∴，， ∵在中，，，， ∴由余弦定理得，即， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∴，即， ∴在中，， ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面. （2） 证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或9； （3）是定值，. 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，由，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． 【小问3详解】 由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题 命题：景德镇二中 李昊 浮梁一中 王利军 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆锥的表面积为，它的侧面展开是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 10. 在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四棱锥的体积为6 C. 直三棱柱外接球的表面积为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（ ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 第II部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线在轴上的截距为__________. 13. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 16. 已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 17. 如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，. （1）求证：平面平面ABC； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $