江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

江西省景德镇市乐平三中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知直线l过点A（1，2），B（3，4），则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 3．（5分）“”是“两条直线x+my﹣1＝0，（3m﹣2）x+y﹣1＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）定义：将24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度；其中小雨（0mm﹣10mm），中雨（10mm﹣25mm），大雨（25mm﹣50mm），暴雨（50mm﹣100mm）；小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（　　） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 5．（5分）直线关于x＝1的对称直线为l，直线l的方程是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 7．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（　　） A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 8．（5分）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（　　） A．若向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 （多选）10．（6分）用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（　　） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 （多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（　　） A．直线BD1⊥平面A1C1D B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2，则m＝ 　 　． 13．（5分）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 　 　（结果用π表示）． 14．（5分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点．则 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）． （1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程． 16．（15分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2． （1）求证：BF∥平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 17．（15分）如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，，． （1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求直线PB与直线CD所成角的大小； （3）设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 18．（17分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为，底面ABCD为正方形，，点E为BB1的中点，点F为CC1的中点，动点P在平面ABCD内． （1）若O为AC中点，求证：A1O⊥AO； （2）若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值． 19．（17分）在空间直角坐标系中，若平面α过点P（x0，y0，z0），且平面α的一个法向量为（a，b，c），则平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+z（z﹣z0）＝0，该方程称为平面α的点法式方程，整理后为ax+by+cz+t＝0（其中t＝﹣ax0﹣by0﹣cz0），该方程称为平面α的一般式方程．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，BC，BD，BC1两两垂直，AD＝1，，直线CC1与平面ABCD所成的角为，以B为坐标原点，，，的方向分别是x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面DC1D1的一般式方程． （2）求A1到直线C1D1的距离． （3）在棱BB1是否存在点M，使得平面A1DM1平面C1D1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B C D D D 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知直线l过点A（1，2），B（3，4），则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解． 【解答】解：由直线l过点A（1，2），B（3，4）， 得，所以直线l的倾斜角为． 故选：C． 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 2．（5分）直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用直线的斜率和方向向量对应相等求出结果 【解答】解：直线x﹣2y+1＝0的斜率k．即与向量（2，1）共线， 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：直接利用直线的斜率和方向向量的关系式求出结果． 3．（5分）“”是“两条直线x+my﹣1＝0，（3m﹣2）x+y﹣1＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用直线平行的条件计算可得结论． 【解答】解：因为直线（3m﹣2）x+y﹣1＝0的斜率存在且为2﹣3m， 由两直线平行，所以x+my﹣1＝0的斜率存在且为， 所以，解得m＝1或， 当m＝1时，直线方程均为x+y﹣1＝0，此时直线重合，故m＝1不符合题意，舍去； 当时，两条直线3x﹣y﹣3＝0，3x﹣y+1＝0，两直线平行， 所以“”是“两条直线x+my﹣1＝0，（3m﹣2）x+y﹣1＝0平行”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线平行的性质以及充分必要条件的判断，属于基础题． 4．（5分）定义：将24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度；其中小雨（0mm﹣10mm），中雨（10mm﹣25mm），大雨（25mm﹣50mm），暴雨（50mm﹣100mm）；小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（　　） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【分析】由圆锥的体积公式计算圆锥的体积，除以圆面的面积即可得到降雨量，由题意即可得到答案． 【解答】解：由题意，一个半径为（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为（mm），高为150（mm）的圆锥， 所以积水的厚度为（mm）， 由题意可知，这天降雨属于中雨． 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥几何结构的应用，圆锥的体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于基础题． 5．（5分）直线关于x＝1的对称直线为l，直线l的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】在直线上任取一点（），再计算出它关于x＝1对称的点，最后结合选项可解． 【解答】解：因为直线与直线l关于x＝1对称， 则可以在直线上任取一点（）， 则点（）关于x＝1对称的点为（2）， 则点（2）在直线l上， 结合选项可知C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查直线的对称问题，属于基础题． 6．（5分）若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】根据PA⊥BC，PB⊥AC，利用线面垂直的判定定理得到BC⊥OA，OB⊥AC即可． 【解答】解：如图所示： 因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P， 所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA， 同理得OB⊥AC， 所以 O 是△ABC的垂心． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的五心，属于基础题． 7．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（　　） A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 【分析】根据初始时刻ED与BF所成角可判断BC，由题可知D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，进而某一时刻EP⊥BF，可得DE与BF所成角为，可判断AD． 【解答】解：由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B，C错误， 在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC， 所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB， 所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上， 所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE， 所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成角为，然后α开始变小， 故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查异面直线所成角，属于基础题． 8．（5分）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据条件求出以三个小球的球心O1、O2、O3构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可． 【解答】解：三个小球的球心O1、O2、O3构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为2． 设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A． 如图，经过点O、O1、A作半球的截面，半圆⊙O的半径OC⊥OA，O1B⊥OC于点B． 则OA＝O1B＝2． 在 Rt△OAO1中，由． 故选：D． 【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（　　） A．若向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【分析】根据空间向量基底的含义可判断A；举反例，用空间的一组单位正交基底可判断B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可判断C；由空间向量基本定理可判断D． 【解答】解：选项A，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底， ∴，只能为共线向量，∴，即A正确； 选项B，举反例，例如空间的一组单位正交基底满足，，且⊥，不符合∥，即B错误； 选项C，当倾斜角都是90°时，满足倾斜角相等，但此时直线没有斜率，即C错误； 选项D，∵，，是空间的一组基底， ∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t，使， ∴，，也是空间的一组基底，即D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查空间向量的基本定理以及基底的含义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． （多选）10．（6分）用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（　　） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【分析】画出平面截正方体得三角形、四边形、五边形、六边形，再结合选项判断即可． 【解答】解：当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 【点评】本题考查平面基本性质及推论，考查的核心素养为直观想象，属于中档题． （多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（　　） A．直线BD1⊥平面A1C1D B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 【分析】在选项A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D； 在选项B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值； 在选项C中，异面直线AP与A1D所成角转化为直线AP与直线B1C的夹角，可求取值范围； 在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：对于选项A，正方体中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，且B1D1，BB1⊂平面BB1D1， ∴A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1， 同理，DC1⊥BD1， ∵A1C1∩DC1＝C1，且A1C1，DC1⊂平面A1C1D， ∴直线BD1⊥平面A1C1D，A选项正确； 对于选项B，正方体中∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D， ∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动， ∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值， ∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，B选项正确； 对于选项C，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角， 易知△AB1C为等边三角形， 当P为B1C的中点时，AP⊥B1C； 当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为60°， 故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°，90°]，C选项错误； 对于选项D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，点P竖坐标为a，0≤a≤1， 则P（a，1，a），B（1，1，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1）， 所以， 由选项A正确：可知是平面A1C1D的一个法向量， ∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为： ， ∴当a时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2，则m＝ 　10　． 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可． 【解答】解：直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2， 即， 则， 解得m＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查向量垂直的坐标表示相关知识，属于基础题． 13．（5分）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 　5π　（结果用π表示）． 【分析】本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱形铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解． 【解答】解：∵圆柱形铁管的高为3π，底面半径为1， 又∵铁丝在铁管上缠绕2圈， 且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如图示： 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π， 则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值． 此时铁丝的长度最小值为：5π 故答案为：5π． 【点评】解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案． 14．（5分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点．则 　　． 【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解． 【解答】解：已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点， 可设|PN|＝y，|PM|＝x，|PS|＝z， 则有，，， 由O为底面△ABC中心，连接OA，PO，如图所示， 根据空间向量的线性运算可得： ， 由图可知S，M，N，O四点共面，则由向量共面相关知识可得： 所以且， 所以，即， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的线性运算相关知识，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）． （1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程． 【分析】（1）验证k＝0时，直线l是否符合要求，当k≠0时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；（2）先求直线在x轴和y轴上的截距，表示△AOB的面积，利用基本不等式求其最小值． 【解答】解：（1）当k＝0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为x＝﹣2，不经过第一象限； 当k≠0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为， 要使直线不经过第一象限，则， 解得﹣2≤k＜0． 综上，k的取值范围为[﹣2，0]． （2）由题意可得k＞0， 由x﹣ky+2+k＝0取y＝0得x＝﹣2﹣k， 取x＝0得， 所以， 当且仅当时，即k＝2时取等号， 综上，此时Smin＝4，直线l的方程为x﹣2y+4＝0． 【点评】本题主要考查了直线方程的应用，还考查了直线交点坐标的求解，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 16．（15分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2． （1）求证：BF∥平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 【分析】（1）由题意以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CF＝h，求出平面ADE的法向量，，若两向量的数量积为零，则可得结论， （2）求出平面BDE的法向量，利用空间向量求解即可． 【解答】证明：（1）因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AE⊥AB，AE⊥AD， 因为AD⊥AB， 所以AB，AD，AE两两垂直， 所以以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设CF＝h（h＞0），因为CF⊥平面ABCD，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2， 所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），F（1，2，h）， 因为AB，AD，AE两两垂直，所以为平面ADE的一个法向量， 因为， 所以，所以， 因为BF⊄平面ADE， 所以BF∥平面ADE； 解：（2）由（1）可得， 设平面BDE的法向量为（x，y，z），则 ，令z＝1，则， 所以， 设直线CE与平面BDE所成角为θ，则sinθ＝|cos，|， 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为． 【点评】本题考查线面平行及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题． 17．（15分）如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，，． （1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求直线PB与直线CD所成角的大小； （3）设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 【分析】（1）先证明MN∥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用线线平行可得∠PBA是直线PB与直线CD所成角，利用面面垂直可得PD⊥AB，结合已知条件可得，利用线面垂直可得AB⊥PA，可得出tan∠PBA的值，即可求解． （3）根据题意可得EC∥l，利用平行的传递性，可证明l⊥平面ABCD． 【解答】（1）证明：连结PC，交DE于N，连接MN， ∵PDCE为矩形， ∴N为PC的中点， 在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点， ∴MN∥AC， 因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE， 所以AC∥平面MDE． （2）解：∵∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠PBA是直线PB与直线CD所成角， ∵PDCE为矩形， ∴PD⊥CD， ∵平面PDCE⊥平面ABCD， 又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD， ∴PD⊥平面ABC， ∵AD，AB⊂平面ABCD， ∴PD⊥AD，PD⊥AB， 在Rt△PDA中，∵AD＝1，， ∴， ∵∠BAD＝90°， ∴AB⊥AD， 又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD， ∴AB⊥PA， 在Rt△PAB中，∵AB＝1， ∴， ∴， 即直线PB与直线CD所成的角为； （3）解：l与平面ABCD垂直． 证明如下： ∵PDCE为矩形， ∴EC∥PD， ∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD， ∴EC∥平面PAD， 又EC⊂平面EBC，平面PAD∩平面EBC＝l， ∴EC∥l， 则l∥PD， 由（2）可知PD⊥平面ABCD， ∴l⊥平面ABCD． 【点评】本题考查了空间线线、线面的位置关系，属中档题． 18．（17分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为，底面ABCD为正方形，，点E为BB1的中点，点F为CC1的中点，动点P在平面ABCD内． （1）若O为AC中点，求证：A1O⊥AO； （2）若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值． 【分析】（1）由条件先求，，，再证明，由此完成证明； （2）建立空间直角坐标系，设P（m，n，0），求平面D1AE的法向量和直线FP的方向向量，由条件列方程确定m，n的关系，再求的最小值即可． 【解答】解：（1）证明：由已知，，，， ∴，，， ∵O为AC中点，∴， 又， ∴0， ∴，∴A1O⊥AO； （2）连接A1D，A1B， ∵，，∴， ∵，，∴， 连接BD，由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点， ∴A1O⊥BD， 由（1）知A1O⊥AO，AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O， ∴A1O⊥平面ABCD， ∴以OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图： 则A（1，0，0）、D（0，﹣1，0）、A1（0，0，1）、B（0，1，0）、C（﹣1，0，0）， ∴，， 设平面D1AE法向量为， 则，∴，取， ∵点P在平面ABCD内，∴设点P的坐标为（m，n，0）， ∵， ∴，，∴3m+n+1＝0， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为． 【点评】本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法求解距离的最值问题，考查了化归转化思想，属中档题． 19．（17分）在空间直角坐标系中，若平面α过点P（x0，y0，z0），且平面α的一个法向量为（a，b，c），则平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+z（z﹣z0）＝0，该方程称为平面α的点法式方程，整理后为ax+by+cz+t＝0（其中t＝﹣ax0﹣by0﹣cz0），该方程称为平面α的一般式方程．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，BC，BD，BC1两两垂直，AD＝1，，直线CC1与平面ABCD所成的角为，以B为坐标原点，，，的方向分别是x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面DC1D1的一般式方程． （2）求A1到直线C1D1的距离． （3）在棱BB1是否存在点M，使得平面A1DM1平面C1D1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线CC1与平面ABCD所成的角求得BC1，根据平面的点法式方程求得正确答案； （2）利用等面积法来求得A1到直线C1D1的距离； （3）设出M点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案． 【解答】解：（1）由于BC1⊥BC，BC1⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面ABCD， 所以BC1⊥平面ABCD，所以∠C1BC是直线CC1与平面ABCD所成的角， 所以，所以BC1＝BC＝1． 所以， 所以， ， 设平面DC1D1的法向量为， 则，则， 故可设，D∈平面DC1D1， 则平面DC1D1的方程为， 即． （2）在Rt△BCD中，，， 设B到CD的距离为h，则， 由于平行四边形ABCD和平行四边形A1B1C1D1全等， 所以A1到直线C1D1的距离等于设B到CD的距离， 即A1到直线C1D1的距离为． （3）B1（﹣1，0，1），，，， 即，而， 所以， 设， 则，即M（﹣λ，0，λ）， 所以，， ，， 设平面A1DM的法向量为， 则，则， 故可设， 设平面C1D1M的法向量为， 则，则， 故可设， 若平面A1DM⊥平面C1D1M，则， 即3（λ﹣1）+λ（λ﹣1）+6λ＝λ2+8λ﹣3＝0， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点M，且． 【点评】本题考查向量法的应用，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $$