重庆市璧山来凤中学校2025-2026学年高二10月月考数学试题

高2027届高二10月月考数学试题（详解答案） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解】由直线，则， 设直线的倾斜角为，所以，所以. 故选：A 2. 甲、乙两人同时参加某次外语考试, 若甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7, 且两人考试相互独立, 则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( B ) A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解】因为，所以，所以， 所以在上的投影向量为，故选：B 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】由，得，所以或，所以是的充分不必要条件．故选：A 5. 如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且， 所以，故选：D. 6. 已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的方程为 B. 曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C. 曲线C上存在点M，使得 D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】D 【解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 化简得，即，故A错误； 对于B，点到圆上的点的最大距离， 故不存在点D符合题意，故B错误； 对于C，设，由， 得，又， 联立方程消去得，得无解，故C错误； 对于D，C的圆心到直线的距离为， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 故到平面的距离为， 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解】由，要使最大只需到中点距离最大， 又且， 令，则，整理得， 所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内， 故，而，故. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者4分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则事件 A与事件 B相互独立 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解】对于A：由，若，则事件与事件不是对立事件， 若，则事件与事件互为对立事件，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：因为，所以事件A 与事件 B相互独立, 故C正确； 对于D：若 ，所以，即， 所以，所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解】选项A中，直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的周长是； ②曲线C围成的图形的面积是2π； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 其中正确的结论为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AD 【解】当时，曲线C的方程可化为； 当时，曲线C的方程可化为； 当 时，曲线C的方程可化为； 当时，曲线C的方程可化为； 由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形， 即曲线C围成的图形的周长是，故①正确； 曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， 从而曲线C所围成图形的面积为，故②错误； 由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即，故③错误； 因为到直线的距离为，所以， 当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上， 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆， 所以圆心到的距离， 从而， 即，故④正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是______. 【答案】或2 【解】由题可知圆心，半径，圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以，解得或. 故答案为：或2. 13. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________． 【答案】 【解】因为，所以，解得或. 当时，与重合，不符合题意； 当，直线：,：,即，满足， 故直线与之间的距离是. 故答案为:. 14. 现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________. 【答案】或 【解】将沿旋转到平面内，如下图所示， 设点关于对称的点为，线段与的交点为， 此时空间四边形PEFD的周长最小， 因为，所以， 同理可得：， 因为底面ABCD是矩形，所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 异面直线PE与DF所成角的余弦值为： ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分） 已知圆C的圆心为，直线与圆C相切. （1）求圆C的方程；（6分） （2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.（7分） 【答案】（1）； （2）或. 【解】（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即圆心到直线的距离为 ∴圆C的方程为：； （2）当斜率不存在时，的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以； 当斜率存在时，设方程为， 则. 又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则， 所以，解得， 所以直线的方程为. 综上：方程为或. 16.（15分）甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；（5分） (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？（5分） (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？（5分） 解 (1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况. (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是3 (2). (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为12 (5)，乙胜的概率为12 (7). 因此12 (5)＜12 (7)，所以此游戏不公平 17.（15分） 过点作直线分别交轴、轴正半轴于A，B两点. （1）当∆AOB面积最小时，求直线的方程；（7分） （2）当取到最小值时，求直线的方程.（8分） 【答案】（1） （2） 【小问1解】 过点的直线与轴、轴正半轴相交，所以直线的斜率 设直线的方程为（）， 则，， ， 当且仅当（）即时取“”成立， 则直线的方程为：. 【小问2解】 由（1）， ， 当且仅当（）即时，取“”成立， 则直线的方程为：. 18.（17分） 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；（7分） （2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．（10分） 【小问1解】 在翻折过程中总有平面平面， 证明如下：∵点，分别是边，的中点， 又，∴，且是等边三角形， ∵是的中点，∴， ∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴， ∵，平面，平面， ∴平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． 【小问2解】 由题意知，四边形为等腰梯形， 且，，， 所以等腰梯形的面积， 要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可， ∴当平面时，点到平面的距离的最大值为. 假设符合题意的点存在． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，又， 又，且，平面，平面， 平面，故平面的一个法向量为， 设（）， ∵， ，故， ∴，， 平面的一个法向量为， 则，， 即 令，所以 ， 则平面一个法向量， 设二面角的平面角为， 则，即，解得：， 故符合题意的点存在且为线段的中点． 19.（17分） 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程；（5分） （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；（5分） （ii）求的最小值．（7分） 【答案】（1）； （2）（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【小问1解】 由题意得，则，设， 则， 化简得 【小问2解】 （i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二10月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两人同时参加某次外语考试, 若甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7, 且两人考试相互独立, 则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( ) A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的方程为 B. 曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C. 曲线C上存在点M，使得 D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9 7. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者4分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则事件 A与事件 B相互独立 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的周长是； ②曲线C围成的图形的面积是2π； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 其中正确的结论为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是______. 13. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________． 14. 现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分） 已知圆C的圆心为，直线与圆C相切. （1）求圆C的方程；（6分） （2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.（7分） 16.（15分）甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；（5分） (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？（5分） (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？（5分） 17.（15分） 过点作直线分别交轴、轴正半轴于A，B两点. （1）当∆AOB面积最小时，求直线的方程；（7分） （2）当取到最小值时，求直线的方程.（8分） 18.（17分） 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；（7分） （2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．（10分） 19.（17分） 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程；（5分） （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；（5分） （ii）求的最小值．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $