精品解析：　江苏省苏州市虎丘区苏州高新实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省苏州市高新实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 9，6，15 B. 8，10，20 C. 14，7，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边．验证每组数中较小两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．9 + 6 = 15，故不能摆成三角形，不符合题意； B．，故不能摆成三角形，不符合题意； C．，故不能摆成三角形，不符合题意； D．，能摆成三角形，不符合题意； 故选：D． 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；因式分解是将多项式分解为几个整式的积的形式，由此可排除选项． 【详解】解：∵因式分解是将多项式变形为整式的积； A中左边是积，右边是多项式，为乘法运算，不是因式分解； C中右边含有分式，不是整式，因此不是整式的积； D中右边是乘积与常数的和，不是积的形式； ∴只有B中是将多项式变形为整式的积，属于因式分解； 故选：B． 4. 把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（    ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的字母同时扩大相同倍数时，通过计算新分式并简化，与原分式比较即可判断值的变化即可． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴新分式为， ∴分式的值不变； 故选：D． 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为( ) A. 15cm B. 18cm C. 22cm D. 25cm 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为14cm，∴AB+BD+AD＝14cm， ∴AB+BD+CD＝14cm，即AB+BC＝14cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm， 故选C. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形周长的计算，属于常考题型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键. 7. 如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 8. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系． 分、、三种情况，根据折叠的性质及等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，， ， ， ∵， ， ， 当时，， ∵， 则， ， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴，即点F与C重合，不符合题意； 综上所述，或， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：因为代数式有意义，所以分母，解得； 故答案为． 10. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可． 【详解】∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 11. 分式和的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母的概念，熟练掌握取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母是解题的关键；因此此题根据最简公分母可进行求解． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，x的最高次幂是，y的最高次幂是，因此最简公分母为； 故答案为：． 12. 若多项式可分解因式为的形式，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，， ∴， 故答案为：． 14. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______． 【答案】36°或90° 【解析】 【分析】设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x，根据三角形内角和定理构建方程即可； 【详解】设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x， ∵x+x+2x=180°或2x+x=180° 解得x=45°或72° ∴2x=90°，x=36°， 故它的顶角的度数是90°或36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键，需要注意分类讨论． 15. 如图，在中，，平分与相交于点I，于点H，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．根据角平分线性质定理得到，再求出，，由求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，于点， ∴， ∵，，， ∴，， ∵ ∴ 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】以为边，在的左侧作等边，连接，先根据“"证明，从而得出，然后根据，，可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图：以为边，在的左侧作等边，连接， 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ，， ， 点F，A，C在同一条直线上， ， ， 当点C，E，F在同一直线上时，取最小值，最小值为， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造，从而把求的最小值转化为的最小值是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解．掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）直接利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用分式的除法的法则进行运算即可； （2）先通分，再进行减法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值． 【答案】，当时，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，找一个合适的数代入求值． 【详解】解：原式 ， 当x取，1时分式无意义，； 且， 当时，原式． 20. 如图，点、在上，且．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ 在中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】略 21. 要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】略 22. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：，， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“______阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 【答案】（1）6 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式的加减计算即可求解； （2）根据“5阶分式”的定义，分式与分式A的和为5，建立等式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴， 解得． 24. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 25. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） ． ， ． 多项式的值总是一个正数． （3）为等边三角形， 理由如下： ， ． ． ，． ． 为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据示例即可求解； （2）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证； （3）将分成分别配方即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式的结构形式是解题关键． 26. 将两个全等的直角三角形和按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点 （1）求证：； （2）若将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，请在备用图中画出变换后的图形，并直接写出之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图1中，连接， 由题意知 ， 在和中， ， ， ， ； （2） 当时，图如下：； 当时，； 当时，C，E，F重合， 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出，进而得出答案； （2）分三种情形利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：当，； 理由如下：如图所示，延长交与点F，连接， 在和中， ， ， ， ； 当时，； 理由如下：如图所示，连接， 在和中， ， ， ， ， ； 当时，C，E，F重合，． 【点睛】本题属于三角形综合题目，主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，根据已知得出全等三角形是解题关键． 27. 如图，在中，，，，，垂足为动点P以的速度从点A出发沿三角形的顶点匀速运动，同时动点Q以的速度从点C出发沿向点A方向匀速运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止．设点P运动的时间为 （1）如图1，若点P在线段上运动，连接，交于点E，连接当______s时，； （2）如图1，当______s时，点P恰好落在的角平分线上． （3）如图2，当时，连接，交于点F，求的值． 【答案】（1） （2）或8或0或5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，可得，据此建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点P在的平分线上时，利用等面积建立方程求解即可，其他情况直接得解即可； （3）先证，可得，连接，可证，设，在中利用勾股定理求出x值，进而求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， ∴， ， 由题可知，当点P在上时，， ， ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意可知：，平分， 当点P在的平分线上时，如图， 过P分别作和的垂线段，垂足分别为M、N，则， ， ，即， 解得； 当点P在的平分线上时，此时点P与点D重合， ； 当点P在点或点处时，也符合题意，此时或； 故答案为：或8或0或5； 【小问3详解】 在中，， 当时，此时点P运动到上， ， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，连接， 在和中， ， ， 设， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省苏州市高新实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 9，6，15 B. 8，10，20 C. 14，7，6 D. 3，4，5 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A. B. C. D. 4. 把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（    ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为( ) A. 15cm B. 18cm C. 22cm D. 25cm 7. 如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则_______． 11. 分式和的最简公分母为______． 12. 若多项式可分解因式为的形式，则m的值为______． 13. 若，，则的值是______． 14. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______． 15. 如图，在中，，平分与相交于点I，于点H，若，，，则的长为______． 16. 如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为___________ 三、解答题：本题共11小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1）； （2） 18. 计算： （1）； （2） 19. 先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值． 20. 如图，点、在上，且．求证：． 21. 要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 22. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 23. 定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“______阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 24. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 25. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 26. 将两个全等的直角三角形和按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点 （1）求证：； （2）若将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，请在备用图中画出变换后的图形，并直接写出之间的数量关系． 27. 如图，在中，，，，，垂足为动点P以的速度从点A出发沿三角形的顶点匀速运动，同时动点Q以的速度从点C出发沿向点A方向匀速运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止．设点P运动的时间为 （1）如图1，若点P在线段上运动，连接，交于点E，连接当______s时，； （2）如图1，当______s时，点P恰好落在的角平分线上． （3）如图2，当时，连接，交于点F，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $