精品解析：青海省西宁二中教育集团2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 初三年级数学学科期中考试卷 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：． 3. 已知反比例函数下列结论中不正确的是（ ） A. 图像必经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 若，则 D. 在每个象限内，随的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像性质，逐项判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，符合题意； B、图像位于第二、四象限，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项正确，不符合题意； 故选：A． 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：． 故选：C． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括对称轴、顶点、开口方向和增减性，以及求与y轴的交点． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意可得再解不等式组，从而可得答案； 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：且 故选：B． 7. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数以及反比例函数、一次函数的图象，正确把握图象分布是解题关键．直接利用二次函数图象得出，，的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图形可得：开口向上，则， 对称轴在轴的右侧，则，故， 图象与轴交在正半轴上，故； 则反比例函数图象分布在第一、三象限， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握三种函数的图象与系数的关系是解题的关键． 二、填空题（共20分，每题2分） 9. 若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，把和分别代入，求出、的值，根据求出的值进行比较即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ． 故答案为：． 12. 在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有________人． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 13. 某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 已知抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，由此可得＝0，由此即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上， ∴＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数图象与x轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：＞0时，图象与x轴有两个交点；＝0，图象与x轴有一个交点；＜0，图象与x轴无交点． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 16. 如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，求出解析式，然后令时求出对应的的值，此时水面的宽为两个的差． 【详解】解：建立如图平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， ∵函数图像过点（0，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，或； ∴水面宽度是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，明确题意，求出相应解析式，并根据函数值求值是解题的关键． 17. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：，然后可求得的值，从而可求得矩形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴． ∴矩形的面积． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 18. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有______． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点问题，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与、y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，再结合由对称轴得到，从而易判断④；由图象易判断③；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，图象过点， ∴，图象过点 ∴，， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点， ∴5是方程的一个根，故②正确； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故④正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③错误； ∵函数时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误， ∴正确的有②④， 故答案：②④． 三、解答题（共74分） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以4，根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：， 20. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，再利用配方法解方程即可得； （2）先求出方程中的，再利用公式法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或， ． 【小问2详解】 解：方程中， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点坐标_____，并连接； （2）画出绕着点O顺时针旋转的图形． 【答案】（1），图形见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据轴对称变换得出A点位置进而得出答案； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可． 【小问1详解】 解：∵点A是点关于y轴的对称点， ∴点A的坐标为； 如图，线段即为所求； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 22. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）见解析 （3）①当时，y随x的增大而增大；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）①观察图象即可求解； ②根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如图所示， 0 6 8 6 0 【小问3详解】 解：①由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 23. 如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 【答案】或 【解析】 【分析】当运动时间为时，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值. 【详解】解：当运动时间为时， 依题意得 整理得 ， 解得 ； ∴当为或时, 的面积等于. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 24. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，则的面积______； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集______． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，再根据解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， 由，解得或， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 25. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）满足和，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． 【小问1详解】 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； 【小问3详解】 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 26. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 小问2详解】 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； 【小问3详解】 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 初三年级数学学科期中考试卷 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数下列结论中不正确的是（ ） A. 图像必经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 若，则 D. 在每个象限内，随的增大而增大 4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴交点的坐标是 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 7. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分，每题2分） 9. 若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 11. 已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是_____． 12. 在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有________人． 13. 某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为________． 14. 已知抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m＝___． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 16. 如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为______． 17. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为_________． 18. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有______． 三、解答题（共74分） 19. 解方程 （1） （2） 20. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，每个小方格边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接； （2）画出绕着点O顺时针旋转图形． 22. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 23. 如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 24 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，则的面积______； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集______． 25. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 26. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $