第10讲 二次函数综合问题（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制九年级数学上册满分全攻略备考系列

第10讲 二次函数综合问题（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数中线段相等与和差倍关系 2.抛物线中的线段最值问题 3.角相等问题 4.二倍角问题 5.特殊角问题 6.二次函数中的面积最值问题 题型巩固 一、线段周长问题(二次函数综合) 二、面积问题(二次函数综合) 三、角度问题(二次函数综合) 四、特殊三角形问题(二次函数综合) 五、特殊四边形(二次函数综合) 六、相似三角形问题(二次函数综合) 七、其他问题(二次函数综合) 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点2.抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 知识点3.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点4.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点5.特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点6.二次函数中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型巩固 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 1．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 2．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标． 3．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 题型二、面积问题(二次函数综合) 4．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    6．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 7．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 题型三、角度问题(二次函数综合) 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 10．（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 11．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 13．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 14．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 15．如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 16．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大，最大值为 ． 17．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 18．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 19．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 20．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 21．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：P为上的一点，满足，求的长； (2)如果点P在上移动（点P与点A、D不重合），且满足，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么 ①当点Q在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式； ②当时，求的长． 22．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 题型七、其他问题(二次函数综合) 23．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 25．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），横坐标为的点C在二次函数的图象上，二次函数的图象在C，B之间的部分记为M（包括点C，B）．图象M上恰有2个点到直线的距离为2时，m的取值范围是 ． 26．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 分层强化 一、单选题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 2．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 4．如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 8．如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是 ． 9．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 10．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 11．已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为 ． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，，则点E的坐标为 ． 13．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 14．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为 ． 三、解答题 15．已知二次函数， (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标； (2)若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 16．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ．（填 序 号） ①；② ③． (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求当取最大值时点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求抛物线对称轴； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若，，求的长，的面积； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求a的取值范围． 21．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线交轴负半轴于点，连接的余切值为， (1)用关于的代数式表示； (2)若抛物线对称轴在轴左侧，小佳同学选取了抛物线一部分分析，她发现选取的部分，当时随着的增大而增大，求的取值范围； (3)若抛物线开口向下，与形状相同（二次项系数互为相反数），且的顶点在上，则称为的“Maths抛物线”．已知为的“Maths抛物线”，的顶点，对称轴交轴于交轴于，若，且，求抛物线的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数综合问题（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数中线段相等与和差倍关系 2.抛物线中的线段最值问题 3.角相等问题 4.二倍角问题 5.特殊角问题 6.二次函数中的面积最值问题 题型巩固 一、线段周长问题(二次函数综合) 二、面积问题(二次函数综合) 三、角度问题(二次函数综合) 四、特殊三角形问题(二次函数综合) 五、特殊四边形(二次函数综合) 六、相似三角形问题(二次函数综合) 七、其他问题(二次函数综合) 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点2.抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 知识点3.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点4.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点5.特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点6.二次函数中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型巩固 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 1．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 2．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可． 【详解】（1）解：由已知可设：， 则，得： 进而有 所以抛物线的解析式为： （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴的解析式为：， 设点，则点， 则， 而， ∵， 即， 解得：（舍去）或， 即点； 3．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型二、面积问题(二次函数综合) 4．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 6．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 7．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出的值，根据二次函数图象的对称性及已知表格可求得点B、A、C的坐标，再过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图，则D、E的坐标可求，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象与性质以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 题型三、角度问题(二次函数综合) 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、已知两点坐标求两点距离、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 10．（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；；的条件是正确的，理由见详解 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等； （1）将点代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则， ∵轴， ∴，        ∵，， ， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，即； 答案的个数为个，没用的是；的条件是正确的， 故答案为：；． 11．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C．若P为第二象限抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，勾股定理的逆定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，通过判断是直角三角形，得到，则有，取的中点，连，先证出，再证出，待定系数法求直线的解析式为，从而得到直线的解析式为，联立得方程组，进而即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】令，则， 解得或， ，； 令，则， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ∴ ， 取的中点，连，过两点作直线， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ，， ，即 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴联立， 解得：（舍去）或， ∴． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 13．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 14．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 15．如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 16．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大，最大值为 ． 【答案】 5 12.5 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为，则，进而求出，再求出最值即可． 【详解】解：设，四边形ABCD面积为S，则， 则：， ∵， ∴S有最大值， 当时，四边形ABCD的面积最大， 即当时，四边形ABCD面积最大， ， 故答案为：5，12.5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键． 17．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 18．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将点A，点B坐标，利用对称性可求抛物线的对称轴； （2）先求出直线解析式，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标； （3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：点，点， 直线解析式为， 当时，， 点， 点位于的中点， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立方程组可得：， 解得：或（舍去）， 点，； （3）解：若为边， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， 点与点重合， ，， ，， ， ； 若为对角线， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 设点，则点， ， ， ， （舍去），， ； 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 19．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求角的正切值、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可． 【详解】 如图所示：抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可． 20．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：P为上的一点，满足，求的长； (2)如果点P在上移动（点P与点A、D不重合），且满足，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么 ①当点Q在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式； ②当时，求的长． 【答案】(1)或 (2)①；② 或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形； （1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）是梯形，，． ， ，， ， ． ，即：， 解得：或． （2）如图， ①由（1）可知： ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或， 或． 22．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 题型七、其他问题(二次函数综合) 23．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围． 【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：， ∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”， ∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点， 当二次函数恰好经过时，则， 解得：或（舍去）； 如当二次函数恰好经过时，则， 解得或（舍去）； ∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”， 故选D． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了新定义“简朴点”，结合新定义“简朴点”确定的值是解题关键．首先根据“简朴点”的定义可知当时，可有，进而解得的值，即可确定该抛物线解析式，再确定点坐标，然后确定的坐标即可． 【详解】解：根据题意，抛物线上一点的简朴点是， 即当时，可有， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，可得， ∴， ∴该抛物线上点的简朴点的坐标为． 故答案为：． 25．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），横坐标为的点C在二次函数的图象上，二次函数的图象在C，B之间的部分记为M（包括点C，B）．图象M上恰有2个点到直线的距离为2时，m的取值范围是 ． 【答案】或或 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】先求出二次函数的最大值为9，根据题意可得到直线的距离为2的点在直线或上，再求出分别求出点，，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的最大值为9， 根据题意得：到直线的距离为2的点在直线或上， 当时，， ∴点， 当时，， 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴点， 如图，当点C在点B的左侧时，同时点在直线的下方时，   ， 当时，函数的最大值为9， 当时，， 当时，， ∴当时，图象M上恰好有2个点到直线的距离为2； 如图，当点C在点B的左侧时，同时点在直线的上方时，    若，此时或， 若，此时， ∴当时，图象M上恰好有2个点到直线的距离为2； 如图，当点C在点B的右侧时，    若，此时或， ∴当时，图象M上恰好有2个点到直线的距离为2； 综上所述，当或或时，图象M上恰好有2个点到直线的距离为2． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 26．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质与几何应用，准确计算是解题的关键． （1）利用抛物线过已知点及与y轴交点求表达式； （2）利用抛物线对称性求水平线段长度； （3）通过设参数求交点坐标，计算线段比值； 【详解】（1）抛物线过点、， 可设 ， 与轴交于点， 当时，， ， 抛物线表达式为； （2）抛物线过点、， 可设， 与轴交于点， ，其中， 过点作轴交抛物线于点， 则和纵坐标相同，均为， 代入抛物线方程：， ， ，即， ， 解得：或， 对应点， 对应点， ， ． （3）设原抛物线为 ， 则，顶点， 由（2）知， 抛物线顶点为，且过， 顶点在， 对称轴为轴，即 ，且， ， 代入，， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为，代入， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为， 代入， ， ， ． 分层强化 一、单选题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】D 【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知， ，，，，，，， ∵，，∴，， 又，∴，， 则①当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， ②当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， 综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解． 2．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 4．如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与图形的面积． 用割补法，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积，计算即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和，，， ∴阴影部分的面积等于底为，高为的平行四边形的面积， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C． 5．已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 6．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 二、填空题 7．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 8．如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的解析式中的、、对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了数形结合的方法，展开讨论是解题的关键． 由于抛物线的顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），分别讨论抛物线的顶点在正方形各个顶点上时的取值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∵顶点是正方形上的一个动点， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， ∵顶点在正方形内部， ∴． 故答案为：． 9．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 10．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 11．已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点F作FH⊥x轴于点H，由题意易得点，则AB=4，进而可得，然后可求直线AC的解析式为，直线FB的解析式为，联立二次函数及直线FB的解析式可求点F的坐标，进而可得△AFB≌△EBF，最后根据两点距离公式可求解． 【详解】解：过点F作FH⊥x轴于点H，如图所示： ∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∴AB=4， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A、E分别到FB的距离相等， ∴AE∥FB， 设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得： ，解得：， ∴直线AC的解析式为， ∴直线FB的解析式为， 把点B代入得：c=-1， ∴直线FB的解析式为， 联立，解得：或， ∴点F， ∵， ∴, ∴EB=AF， ∵FB=FB， ∴△AFB≌△EBF（SAS）， ∴AB=EF=4， 设点E， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点E坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及几何知识点是解题的关键． 13．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 14．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．已知二次函数， (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标； (2)若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为 (2) (3)见详解 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、平移、与 轴交点及不等式证明，运用代数运算与转化思想；关键是熟练二次函数性质及代数变形，易错点是平移后解析式错误、判别式应用不当或完全平方展开出错． （1）用对称轴公式和代入法求顶点； （2）平移后用判别式求； （3）先由条件得对称轴求，再代入点坐标整理式子，利用完全平方非负性证明． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， 对称轴公式为，此时，，所以； 将代入函数得； 所以顶点坐标为； （2）解：函数图像向下平移个单位后，解析式为 因为平移后与轴只有一个交点，所以判别式 解得； （3）解：的对称轴为，解得； 此时函数解析式为 ∵点，在抛物线上， ∴， 则 ∵ ∴ 又∵是不同的两点 ∴，即 ∴ 16．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ．（填 序 号） ①；② ③． (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． （1）根据“纵三倍点”的定义，可设“纵三倍点”的坐标为，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）设交点坐标为，把代入可得交点的坐标为，再把代入可得，然后联立得：，根据抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，可得，可求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：设“纵三倍点”的坐标为， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点” ； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上的“纵三倍点”为 或； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点”； 故答案为：①③ （2）解：∵该交点是“纵三倍点”， 可设交点坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴交点的坐标为， 把代入得： ， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， 解得：， 此时， ∴抛物线解析式为． 17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 18．如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为8 (3)点的坐标为和 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入解析式求解即可； （2）然后令解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再将二次函数解析式变为顶点式求出点M，进而即可求解； （3）设的高为h，由求出h，然后代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入， 得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴，， ∴． ∵， ∴顶点． 的高为顶点到轴的距离， ∴面积为 ； （3）解：设的高为h， 由，得 解得， 即点P的纵坐标为5或． 当时， 解得或， ∴或． 当时， ， ∴， ∴方程无实数解， 综上所述，存在点P，坐标为和． 19．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求当取最大值时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)存在，当点的坐标为或时，使得； (3) 【分析】（1）令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标； （2）分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可； （3）如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴， ∵， ∴顶点； （2）设直线的解析式为：，则将，代入可得： ，解得：，即：直线的解析式为：， 当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于， ∵ ∴，即，， ∵ ∴ ∴， ∴ 当时，，得：，∴ 则， ∴， 易知直线的解析式为：， 联立：，解得：或 即； 当点在直线的上方时， ∵， ∴ ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为： 联立：，解得：或 即； 综上，当点的坐标为或时，使得； （3）∵点与点关于对称轴对称， ∴， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，的最大值为． 则 此时点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比． 20．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求抛物线对称轴； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若，，求的长，的面积； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线对称轴是直线 (2)①，的面积是2；②或 【分析】本题考查了二次函数与三角形的面积的综合问题，二次函数的图象与性质，抛物线开口方向的不同以及增减性的变化研究是解题的关键． （1）把的坐标代入，求得，得到抛物线的解析式为：，从而可求得答案； （2）①当，时，抛物线得解析式为：，抛物线的解析式为，点的坐标为，即可求得答案； ②先求出和，得到，进一步证明抛物线的顶点在抛物线上，即可讨论抛物线的开口方向及画出图形：若，且时，，此时，根据题意，可求得a的取值范围；若，且时，，此时，但不符合题意；若，则，，在点P的运动过程中始终满足题意；综合上述即可得出结论． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， ， 抛物线得解析式为：， ， 其对称轴为直线； （2）解：①当，时，抛物线得解析式为：，抛物线得解析式为，点的坐标为， 此时点P与点M重合， ， 当时，， ， ， 的面积为； ②把点的坐标代入抛物线：，得， ， 把点的坐标代入抛物线：，得， ， 则， 抛物线：的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的顶点在抛物线上， 若，且时，， 此时， 在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大， 必须在对称轴直线的左侧， ， ， ； 若，且时，， 此时， 在点P从点O运动到点的过程中，必须，且，的面积才随的长的增大而增大， 这与不符，舍去； 若，则， ， 此时，在点P从点O运动到点的过程中，点P始终在对称轴直线的左侧，的面积总是随的长的增大而增大， ； 综上所述，满足题意的a的取值范围是或． 21．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)2； (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合； （1）把和代入抛物线解析式计算即可； （2）①当，时，，，计算即可； ②由题意可得，，，，则，，， 再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：2；； （2）解：①∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可得，，，， ∴，，， ∵点从点沿着直线运动到点， ∴点在上，即在上， ∴， 解得， 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线交轴负半轴于点，连接的余切值为， (1)用关于的代数式表示； (2)若抛物线对称轴在轴左侧，小佳同学选取了抛物线一部分分析，她发现选取的部分，当时随着的增大而增大，求的取值范围； (3)若抛物线开口向下，与形状相同（二次项系数互为相反数），且的顶点在上，则称为的“Maths抛物线”．已知为的“Maths抛物线”，的顶点，对称轴交轴于交轴于，若，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得和，代入抛物线有即可； （2）由（1）知，，则抛物线的对称轴为，结合对称轴得求解即可； （3）根据题意设，则抛物线：，可得点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得直线的解析式为，将点代入即可得，进一步求得点，并得到，即，那么，，求得或，即可得到抛物线． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的余切值为， ∴，即， ∴， ∵抛物线， ∴，解得， 即； （2）解：由（1）知，，则抛物线的对称轴为， ∵当时随着的增大而增大， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵的顶点，且的顶点在上， ∴设， ∵抛物线开口向下，与形状相同（二次项系数互为相反数）， ∴抛物线：， ∵交轴于， ∴点， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∵令，则，解得，， ∴点， ∵的顶点，对称轴交轴于， ∴点， 如图， ∵， ∴，即， ∴， 则，即， ∴， 将代入解得或， 当时，，则抛物线：， 当时，，则抛物线：， 综上所述，抛物线：或． 【点睛】本题依托“Maths抛物线”考查二次函数的性质和几何的结合，涉及二次函数的性质、解不等式、待定系数法求解析式、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $