第05讲 锐角的三角比（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

第05讲 锐角的三角比（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1、正切和余切 2、正弦和余弦 3、锐角的三角比 4、特殊锐角的三角比的值 题型巩固 一、正弦的概念辨析 二、余弦的概念辨析 三、正切的概念辨析 四、求角的正弦值 五、已知正弦值求边长 六、求角的余弦值 七、已知余弦求边长 八、求角的正切值 九、已知正切值求边长 十、特殊三角形的三角函数 十一、特殊角三角函数值的混合运算 十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 十三、已知角度比较三角函数值的大小 十四、三角函数综合 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1、正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2、正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点3、锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点4、特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 题型巩固 题型一、正弦的概念辨析 1．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 3．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 题型二、余弦的概念辨析 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 5．如果中，那么 （填的三角比） 题型三、正切的概念辨析 6．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 8．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 题型四、求角的正弦值 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，，， ． 11．在Rt中，，，求的值． 题型五、已知正弦值求边长 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 13．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是 ． 14．在⊿ABC中，∠C=90°，BC=2，．求AC的长． 题型六、求角的余弦值 15．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 17．如图，在中，AC、BC边上的中线BE、AD交于点，且，AC=20，AD=12.    （1）求的长. （2）求的余弦值. 题型七、已知余弦求边长 18．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 19．（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 题型八、求角的正切值 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 22．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的值． 题型九、已知正切值求边长 23．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 25．如图，在中，，过点作，垂足为点 求的值﹔ 点是延长线上一点，联结，当时，求线段的长． 题型十、特殊三角形的三角函数 26．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 题型十一、特殊角三角函数值的混合运算 28．下列计算中错误的是（  ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： ． 30．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 题型十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 31．（24-25九年级上·上海·期中）若，则是多少度（   ） A． B． C． D．任意度数 32．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角 度． 33．求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 题型十三、已知角度比较三角函数值的大小 34．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 35．比较大小： ． 题型十四、三角函数综合 36．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 37．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 38．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 分层强化 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 2．计算的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 3．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 4．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ． 8．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 10．已知为锐角，，那么 度． 11．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 12．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 13．如图，已知菱形的边长为6，对角线与相交于点，，垂足为点，，那么________．    14．如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，那么的值为 ． 三、解答题 15．计算：． 16．计算：． 17．计算：． 18．如图，分别求和的正弦､余弦．    19．如图，中，，是的中点，交AC于点，．求的正切值． 20．如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线，使它经过点，与y轴交于点C． (1)求平移后直线的表达式； (2)求的余切值． 21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，M为腰AB上一动点，联结MC、MD，AD＝10，BC＝15，cotB． （1）求线段CD的长． （2）设线段BM的长为x，△CDM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 22．已知：矩形中，，，点，分别在边，上，直线交矩形对角线于点，将沿直线翻折，点落在点处，且点在射线上. （1）如图1所示，当时，求的长； （2）如图2所示，当时，求的长； （3）请写出线段的长的取值范围，及当的长最大时的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 锐角的三角比（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1、正切和余切 2、正弦和余弦 3、锐角的三角比 4、特殊锐角的三角比的值 题型巩固 一、正弦的概念辨析 二、余弦的概念辨析 三、正切的概念辨析 四、求角的正弦值 五、已知正弦值求边长 六、求角的余弦值 七、已知余弦求边长 八、求角的正切值 九、已知正切值求边长 十、特殊三角形的三角函数 十一、特殊角三角函数值的混合运算 十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 十三、已知角度比较三角函数值的大小 十四、三角函数综合 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1、正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2、正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．锐角A的余弦记作cos A． ． 知识点3、锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点4、特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 题型巩固 题型一、正弦的概念辨析 1．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 【答案】60° 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】利用正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵sinB＝， ∴∠B＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义． 3．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型二、余弦的概念辨析 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 5．如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【详解】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 题型三、正切的概念辨析 6．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【知识点】正切的概念辨析 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 8．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】正切的概念辨析 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 题型四、求角的正弦值 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．根据锐角三角函数正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 10．在中，，，， ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦是解题的关键．根据正弦的概念计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故答案为：． 11．在Rt中，，，求的值． 【答案】 【知识点】求角的正弦值 【分析】根据锐角三角函数值解答． 【详解】解：==． 【点睛】此题考查锐角三角函数值，熟记各角度的三角函数值是解题的关键． 题型五、已知正弦值求边长 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得． 【详解】解：∵在中，， ∴ 故选：C． 13．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 14．在⊿ABC中，∠C=90°，BC=2，．求AC的长． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】先利用正弦的定义得到 ，可计算出AB=3，然后根据勾股定理计算AC的长． 【详解】解：△ABC中，∠C=90°， ∵，BC=2， ∴AB=3， ∴AC=． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题关键是三角函数是在直角三角形中的． 题型六、求角的余弦值 15．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 16．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，AC、BC边上的中线BE、AD交于点，且，AC=20，AD=12.    （1）求的长. （2）求的余弦值. 【答案】（1）的长为18；（2）的余弦值为. 【知识点】求角的余弦值 【分析】由BE、AD是AC、BC的中线，根据重心的性质可得AF=AD，BE=2EF，即可求出AF的长，利用勾股定理可求出EF的长，进而求出BF的长，利用BE=BF+EF即可得答案；（2）利用勾股定理可求出AB的长，根据余弦的定义即可得答案. 【详解】（1）∵中线BE、AD交于点 ∴点是的重心， ∴AF=AD，BE=2EF， ∵AD=12， ∴AF=8， ∴DF=AD-AF=12-8=4， ∵BE是边的中线， ∴， ∵AD⊥BE， ∴EF===6， ∴BF=2EF=12， ∴BE=BF+EF=18. （2）在中，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形重心的性质及三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍；在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比值；余弦是邻边与斜边的比值；正切是对边与邻边的比值；余切是邻边与对边的比值；熟练掌握三角形重心的性质是解题关键. 题型七、已知余弦求边长 18．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 19．（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【答案】4 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 题型八、求角的正切值 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查直角三角形中余切值的计算，需根据余切的定义确定邻边与对边的比值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选C． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 【答案】/0.75 【知识点】求角的正切值 【分析】此题考查的是锐角三角函数的定义及互余角的三角函数值，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图：∵垂足为，， 令，，则， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 22．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的值． 【答案】2；2 【知识点】求角的正切值 【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答． 【详解】解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8. ∴，． 即=2，=2． 【点睛】本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键． 题型九、已知正切值求边长 23．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可． 【详解】解：如图所示，    A、由，可得，本选项不符合题意； B、由，可得，本选项不符合题意； C、由，可得，本选项符合题意； D、由，可得，本选项不符合题意； 故选：C． 24．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 25．如图，在中，，过点作，垂足为点 求的值﹔ 点是延长线上一点，联结，当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知正切值求边长 【分析】（1）作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形三线合一性质得到△AGC为直角三角形，然后根据勾股定理计算AG的长，然后计算的值； （2）先利用等面积法计算BD的长度，然后利用的值计算出CD的长的，然后证明，利用比例关系计算CE即可． 【详解】解析：如图，作AG⊥BC于点G ∵AB=AC， ∴CG==1，AG⊥BC， 在Rt△AGC中由勾股定理可得AG=， ∴， （2）∵， ∴BD=， ∵， ∴， ∴CD=， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查余切的计算以及利用相似计算线段长度，构造辅助线，转化角是解题的关键． 题型十、特殊三角形的三角函数 26．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 27．（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据的正弦值等于求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：． 题型十一、特殊角三角函数值的混合运算 28．下列计算中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值进行计算判断即可． 【详解】A、，故错误； B、，故正确； C、，，因此，故正确； D、，，因此，故正确； 故选：A． 【点睛】本题考查特殊三角函数值，比较基础，熟练记忆是关键． 29．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．代入特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 31．（24-25九年级上·上海·期中）若，则是多少度（   ） A． B． C． D．任意度数 【答案】A 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 32．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角 度． 【答案】60 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：∵ ∴锐角度， 故答案为：． 33．求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）解：由得，则；； （2）解：由得，则． 【点睛】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 题型十三、已知角度比较三角函数值的大小 34．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 35．比较大小： ． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】首先将转化成，然后通过比较两个正切值即可得出答案． 【详解】， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比较函数值的大小，将余切转化成正切是解题的关键． 题型十四、三角函数综合 36．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数综合 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ，故A错误； ，故B错误； ；故错误； ，故D正确； 故选：D． 37．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 【答案】 【知识点】三角函数综合 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式． 【详解】解：中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键． 38．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【知识点】三角函数综合、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 分层强化 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： 原式． 故选：C． 2．计算的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得，可得，再由线段中点即可求出答案； 【详解】解：在中，， ， D是的中点， ， 故选：B． 4．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5．已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等知识点，牢记余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 故选：． 6．如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，三角形的内角和定理的应用，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．先证明，再结合锐角的余弦可得答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 故选：C 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题考查了求一个角的余弦值和正切值，根据特殊角的三角函数值进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 8．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】先根据锐角三角函数关系进行等量代换，然后利用锐角正弦值随着角的增大而增大即可判断． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是解题关键． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 【答案】 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】运用三角函数定义求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10， ∴sinA＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义． 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝对边：斜边． 10．已知为锐角，，那么 度． 【答案】20 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值．根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20． 11．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 【答案】等边三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 12．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的余弦值、正切的概念辨析 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 13．如图，已知菱形的边长为6，对角线与相交于点，，垂足为点，，那么________．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求角的正弦值 【分析】菱形对角线互相垂直，，，因为，所以，∴，根据和的值即可求，得． 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直， ∴，， 因为， 所以， ∴， ∵菱形的边长为6，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中正弦函数的计算，菱形对角线垂直平分的性质，本题中求证是解题的关键． 14．如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，那么的值为 ． 【答案】3 【知识点】三角函数综合 【分析】先构造以∠ADB为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图，作正方形ABEF关于直线AB对称的正方形ABGH，连接AG，BH，相交于点O； ∵正方形ABGH， ∴∠AOD=90°，OA=OB=AG， ∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形的边长相等， ∴AG=BD=2OA， ∴OD=OB+BD=3OA， ∴在Rt△AOD中， ==3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了求角的余切值，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查的是特殊三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 先将特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】根据绝对值的性质、负整指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可； 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值的性质、负整指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 17．计算：． 【答案】 【知识点】求角的余弦值、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】 = = = 【点睛】此题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 19．如图，中，，是的中点，交AC于点，．求的正切值． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、已知正切值求边长 【分析】由，设，，则，根据D是的中点，，得出，即，再在中即可求出． 【详解】解：中，， ∴． 设，，则． ∵D是的中点，， ∴， ∴，， 中，， ∴． ∴的正切值为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，利用正切值求边长，解题的关键是得出． 20．如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线，使它经过点，与y轴交于点C． (1)求平移后直线的表达式； (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、求角的正切值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据点在反比例函数图象上可求出点的坐标，进而可求出正比例函数表达式，据平移的性质可设直线的函数解析式为，根据点的坐标利用待定系数法即可求出值，此题得解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，从而得出的值，再根据余切的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 在的图象上， ，解得：． 由平移得：设直线的函数解析式为， 点的坐标为， ， 解得：， 平移后直线的表达式． （2）解：如图，当时，， 点的坐标为， ． ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，根据点的坐标利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． 21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，M为腰AB上一动点，联结MC、MD，AD＝10，BC＝15，cotB． （1）求线段CD的长． （2）设线段BM的长为x，△CDM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】（1）12;（2）y＝90x（0≤x≤13）． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、已知余弦求边长、已知正切值求边长 【分析】（1）如图（见解析），过点A作于H，先推出四边形是矩形，由矩形性质可得，从而可得BH的长，最后在中，利用即可得； （2）如图（见解析），过点M作于E，于F，则四边形MECF是矩形，从而有，由题（1）可知和AB的值，在中利用可得BF的长，由线段的和差可得CF的长，最后利用三角形的面积公式即可得. 【详解】（1）如图，过点A作于H ∴四边形是矩形 在中， ； （2）过点M作于E，于F，则四边形MECF是矩形 在中， ∴ 在中， ，即 故y关于x的函数解析式为，它的定义域为. 【点睛】本题考查了矩形的判定定理与性质、解直角三角形，通过作辅助线，构造矩形和直角三角形是解题关键. 22．已知：矩形中，，，点，分别在边，上，直线交矩形对角线于点，将沿直线翻折，点落在点处，且点在射线上. （1）如图1所示，当时，求的长； （2）如图2所示，当时，求的长； （3）请写出线段的长的取值范围，及当的长最大时的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】三角函数综合 【分析】（1）根据翻折性质可得，得，.结合矩形性质得证，根据平行线性质得..设.得，由可求出x; （2）结合（1）方法可得，，再根据勾股定理求PC,再求，中，； （3）作图分析：当P与C重合时，PC最小，是0；当N与C重合时，PC最大=. 【详解】解：（1）沿直线翻折，点落在点处， . ，. ∵四边形是矩形， . ， . . . . ∵四边形是矩形，. . .设. ∵四边形是矩形，，， . . ， . 解得， 即. （2）沿直线翻折，点落在点处， . ，. ， . . ， ，. . ， . . 在中， ，. . . （3）如图当P与C重合时，PC最小，是0； 如图当N与C重合时，PC最大===5； 所以，此时PB=2,设PM=x,则BM=4-x 由PB2+BM2=PM2可得22+（4-x）2=x2 解得x= , BM=4-x= 所以MN= 综合上述：，当最大时. 【点睛】考核知识点：矩形性质，直角三角形性质，三角函数.构造直角三角形并解直角三角形是关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$