第06讲 解直角三角形（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册满分全攻略备考系列

第06讲 解直角三角形（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.解直角三角形的基本类型 2.解直角三角形的应用 题型巩固 一、解直角三角形的相关计算 二、解非直角三角形 三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 五、方位角问题(解直角三角形的应用) 六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 七、其他问题（解直角三角形的应用） 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点2.解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型巩固 题型一、解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线⊥平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：） (1)点到平面镜I的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求：入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 题型二、解非直角三角形 4．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A． 千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 8．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离． （1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米） （2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米） （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 9．（2025·上海青浦·二模）如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测角仪的高度为h米，那么铁塔的高度为 米． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小进利用无人机来测量广场、两点之间的距离，如图所示，小进在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是．此时从无人机测得广场处的俯角为，小进抬头仰视无人机时，仰角为，若小进的身高，（点、、、在同一平面内）．（参考数据：，，，） (1)求仰角的正弦值； (2)求、两点之间的距离．（结果精确到）． 题型五、方位角问题(解直角三角形的应用) 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 13．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东方向、距离小岛120海里的A处，该海轮从A处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东方向的B处． (1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（结果保留根号）； (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：，）． 题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果坡角为的斜坡的坡度，那么的值为 ． 17．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． 题型七、其他问题（解直角三角形的应用） 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 19．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 20．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 分层强化 一、单选题 1．如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为(　　) A． B． C．30° D．60° 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ）    A． B． C． D． 5．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为(   ) A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m 6．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD�为100m，�塔高CD为m，则下面结论中正确的是（  ）． A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30° 二、填空题 8．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= km． 9．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 10．如图，已知点处有一个高空探测气球，从点处测得水平地面上，两点的俯角分别为和．若，则，两点之间的距离为 ． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为 ． 12．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即的长）为 ． 13．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 14．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 15．如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    16．如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为 米．（精确到米，参考数据：；；） 17．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ． 18．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       三、解答题 19．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 20．在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，解这个直角三角形． 21．某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞塔”是公园里一座标志性建筑，某数学活动小组到此公园测量这座塔的高度AB．如图②，他们在地面AC的点C处测得塔顶部点B 的仰角为45°，然后沿着台阶CD 在点D 处测得塔顶部点B的仰角为41°，还测得台阶CD的长为4m，CD与地面AE的夹角为30°，已知AB⊥AC，DE⊥AE，求“点赞塔”的高度AB．(结果精确到1m，参考数据:sin41°≈0.66， 22．如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？ 23．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是．在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面．求 （1）学校主楼的高度（结果精确到）； （2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到）． 24．某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）． （1）求A、D两点之间的距离： （2）求隧道AB的长度． 25．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索DE的长； （2）求最长的斜拉索AC的长． 26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇． （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 解直角三角形（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.解直角三角形的基本类型 2.解直角三角形的应用 题型巩固 一、解直角三角形的相关计算 二、解非直角三角形 三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 五、方位角问题(解直角三角形的应用) 六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 七、其他问题（解直角三角形的应用） 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点2.解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型巩固 题型一、解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值．已知的对边，斜边为，利用正弦函数即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴根据正弦函数的定义，， ∴，故A正确． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线⊥平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：） (1)点到平面镜I的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求：入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用， （1）根据题意作图如下，从点发出的光线经平面镜反射，反射光线恰好经过点，过点作于点，且，在中，，即可求解； （2）如图所示，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点，厘米，厘米，在中，，即可求解； （3）如图所示，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点照射到的点处，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点照射到的点处，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形是矩形，分别求出的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意作图如下，从点发出的光线经平面镜反射，反射光线恰好经过点，过点作于点，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∵入射角等于反射角，即，且， ∴（厘米）， 在中，， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 故答案为：； （2）解：如图所示，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点，厘米，厘米， ∴（厘米）， 由（1）可得厘米， 在中，， ∴， ∴入射角的度数为； （3）解：如图所示，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点照射到的点处，入射光线经过平面镜反射后的反射光线经过点照射到的点处，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形是矩形， 由上述计算可得，，，，厘米，（厘米），（厘米）， ∴（厘米）， 在中，， ∴（厘米），则（厘米）， 在中，， ∴， ∴（厘米）， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 故答案为：． 题型二、解非直角三角形 4．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A． 千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【知识点】解非直角三角形 【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答. 【详解】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键. 5．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解非直角三角形 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 8．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离． （1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米） （2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米） （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】（1）6.3；（2）6.2 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【详解】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可； （2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度． 试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90° ∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°， 在Rt△ABG中， ， ∵BG=2.26，tan20°≈0.36， ∴ ， ∴AB≈6.3， 答：A、B之间的距离至少要6.3米． （2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q， ∵AE和FC的坡度为1：2， ∴， 设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x， ∵EF∥DC， ∴CQ=PD=8﹣x， ∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x， 在Rt△ACD中，， ∵AD=8，∠ACD=20°， ∴CD≈22.22 ∵PE+EF+FQ=CD， ∴2x+EF+16﹣2x=22.22， ∴EF=6.22≈6.2 答：平台EF的长度约为6.2米． 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 9．（2025·上海青浦·二模）如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意，在中得到，在中表示出，利用，求得结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得 ，即， 故选：A． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测角仪的高度为h米，那么铁塔的高度为 米． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角和仰角的问题，理解俯角、仰角的定义和三角函数的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，设线段是铁塔，那么根据已知条件知道，在中利用三角函数可以求出，然后加上测角仪的高度即可求出铁塔的高度． 【详解】解：如图：依题意得：， 在中，， ∵, ∴铁塔的高度为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小进利用无人机来测量广场、两点之间的距离，如图所示，小进在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是．此时从无人机测得广场处的俯角为，小进抬头仰视无人机时，仰角为，若小进的身高，（点、、、在同一平面内）．（参考数据：，，，） (1)求仰角的正弦值； (2)求、两点之间的距离．（结果精确到）． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． （1）过点作的平行线，作直线，垂足为点，利用四边形为矩形得到，，，然后根据正弦的定义求解； （2）记从无人机测得广场处的俯角为，在中利用余切的定义计算出，在中，勾股定理求得，然后计算即可． 【详解】（1）过点作的平行线，作直线，垂足为点， 延长交直线于点． 由题意得，为，四边形为矩形， ，，，， 在中，． （2）记从无人机测得广场处的俯角为， 由题意得，，， 在中，，． 即， 在中，，，， 解得，得． 故． 题型五、方位角问题(解直角三角形的应用) 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 13．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东方向、距离小岛120海里的A处，该海轮从A处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东方向的B处． (1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（结果保留根号）； (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：，）． 【答案】(1)海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离为海里 (2)它从B处到达小岛C的航行时间为小时． 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，解，求出的长即可； （2）解，求出的长，利用时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点D， 由题意，得：海里， ∴（海里）； 答：海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离为海里； （2）由（1）知：海里， 由题意，得：， ∴（海里）， ∴（小时）； 答：它从B处到达小岛C的航行时间为小时． 题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 16．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果坡角为的斜坡的坡度，那么的值为 ． 【答案】/ 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．根据坡角的正切等于坡度即可得到答案． 【详解】解：坡角为的斜坡的坡度， ， 故答案为：． 17．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)15米 (2)古搭的高度约为29米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． （1）根据坡度得到，设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点G，则，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 设，则 ， ， ， ， ， （米）； 答：坡顶B到地面的距离的长为15米； （2）解：延长交于点G，则，四边形为矩形， ∴，， ， ， ， ， ； 在中，， ， ，， ， ， （米）． 答：古搭的高度约为29米． 题型七、其他问题（解直角三角形的应用） 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 19．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 20．（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 【答案】塔高约为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，如图：过点作 ， 垂足为点，设，则，然后解直角三角形即可解答；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解∶ 过点作 ， 垂足为点． 由题意，得 ． 设，则． 在中，，， ∴， ． 在 中，． ∴，即：， 解得： 故塔高约为米． 分层强化 一、单选题 1．如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为(　　) A． B． C．30° D．60° 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠ACB＝90°， 则斜坡AB的坡度为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、解直角三角形的相关计算 【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值． 【详解】解：如图，连接．则，． 都是正方形的对角线， ． ∴，． ，是直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 3．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查解直角三角形应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，，， ， ， （米）， （米）． 故选∶B． 4．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出，进而求出，通过解即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 由旋转得， ∴， 解得：． 故选：C． 5．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为(   ) A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【详解】设CG=xm,由图可以知道:EF=(x+20) ·,FG=x·, 则(x+20) ·+30= x·, 计算出x=, 则FG= x·==m, 故选C. 6．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，那么ADEF平行四边形，所以BE=（BC-AD），而AE已知，所以坡度和坡角就可以解出． 【详解】解：如图， 过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC． ∵ABCD为等腰梯形， ∴BE=（BC-AD）=2． ∴坡度== ∴坡角=∠B=60° 故选D． 【点睛】此题考查了学生对等腰梯形的性质，坡度坡角的计算等知识点的掌握情况． 7．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD�为100m，�塔高CD为m，则下面结论中正确的是（  ）． A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30° 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【详解】解：过点A作AE⊥CD，则DE=AB=50m，AE=BD=100m， 则CE=CD-DE=， ∴tan∠CAE=， ∴∠CAE=30°，即楼顶望塔顶的仰角为30°， 故选C． 二、填空题 8．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= km． 【答案】3（km） 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【详解】试题分析：过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长． 解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB． 直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6， 则CE=CD•cos30°=3=AB． ∴AB=3（km）． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 9．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC． 【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝， ∴＝， ∵AB＝2， ∴AC＝6， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝＝＝10， ∴cos∠ADC＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长． 10．如图，已知点处有一个高空探测气球，从点处测得水平地面上，两点的俯角分别为和．若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作垂直于延长线，垂足为，由题意知，，，设，在中，由列方程求出的值，在根据可得答案． 【详解】解：如图所示，延长，过点作垂直于延长线，垂足为， 由题意知，，， 设， 在中，由可得， 解得，即， 则， 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为 ． 【答案】6 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据已知可得∠A＝30°，从而得∠ABC＝60°，然后利用角平分线的性质求出∠DBC＝30°，进而在Rt△BDC中，求出BC，最后求出AB即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝30°， 在Rt△BDC中，CD， ∴tan30°， ∴BC3， ∴AB＝2BC＝6， ∴AB的长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即的长）为 ． 【答案】米 【知识点】已知正弦值求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查锐角三角函数的应用、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，， （米）， （米）． 故答案为：米． 13．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中， ， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴旗杆的高度为． 故答案为：． 14．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，    ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，C两港之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 16．如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为 米．（精确到米，参考数据：；；） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 根据题意求出，根据平行线的性质求得，过点A作于点F，解直角三角形求得，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 如图，过点A作于点F， 在中，（米）， 踏板的厚度为米， 扶手与踏板之间的距离为（米）． 故答案为：． 17．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ． 【答案】或. 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以题中的这条中线不能是斜边上的中线，然后分两种情况进行讨论：①AC边上的中线等于AC；②BC边上的中线等于BC． 【详解】分两种情况：①BD是AC边上的中线，BD=AC．设AD=DC=k，则BD=AC=2k． 在Rt△BCD中，∵∠C=90°， ∴BC=k， 所以tanA=； ②AD是BC边上的中线，AD=BC．设BD=DC=k，则AD=BC=2k． 在Rt△ACD中，∵∠C=90°， ∴AC=k， ∴tan∠CAB==， 故答案为或． 18．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       【答案】 60 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 三、解答题 19．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】试题分析：首先根据AB和AC的长度以及勾股定理得出BC的长度，最后根据坡比的计算法则得出答案． 试题解析：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米， ∴水平距离BC= =6（m）， 则该斜坡的坡比是：． 20．在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，解这个直角三角形． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据题意得到，求出，得到，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞塔”是公园里一座标志性建筑，某数学活动小组到此公园测量这座塔的高度AB．如图②，他们在地面AC的点C处测得塔顶部点B 的仰角为45°，然后沿着台阶CD 在点D 处测得塔顶部点B的仰角为41°，还测得台阶CD的长为4m，CD与地面AE的夹角为30°，已知AB⊥AC，DE⊥AE，求“点赞塔”的高度AB．(结果精确到1m，参考数据:sin41°≈0.66， 【答案】“点赞塔”的高度AB 约为39 m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，在，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解:如解图，过点作于点，    由题意得：， 在中，，m， ∴（m）， （m）， =2m，设m， ∴m 在中，， ∴（m） 在中，， ∴m ∴ ＝m ∴，解得：， ∴m． 【点睛】本题考察了锐角三角函数，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确理解正切的概念是解本题的关键． 22．如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？ 【答案】公路不会穿越保护区. 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点P作PE⊥AB，E是垂足．AE与BE都可以根据三角函数用PE表示出来．根据AB的长，得到一个关于PE的方程，解出PE的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 【详解】作点P到直线AB的垂线段PE， 则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离， 根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°， 则在Rt△PAE和Rt△PBE中， ， BE=PE， 而AE+BE=AB， 即， ∴PE=， ∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米， ∴公路不会穿越保护区. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 23．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是．在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面．求 （1）学校主楼的高度（结果精确到）； （2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到）． 【答案】（1）约；（2）约 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函数求出DN的长，再加上CN的长度即可求解； （2）过A做AM平行于BC交DC于M，求出DM=DC-AB=13.72m，利用勾股定理即可求出AD的长． 【详解】解：（1）过E做EN平行于BC交DC于N， 由题意可得，∠DEN=30°且BC=EN， ∴DN=EN·tan∠DEN=30·tan30°=10m， DC=DN+NC=DN+EB=10+1.4≈18.72m； （2）过A做AM平行于BC交DC于M， ∵DM=DC-MC且AB=MC， ∴DM=DC-AB=13.72m， 在Rt△AMD中∠AMD=90°， ∵AM=BC=30m，DM=13.72m， 由勾股定理得： ， 代入得：， 解得：AD≈32.99m． 答：学校主楼的高度为18.72米，大门顶部与主楼顶部的距离为32.99米． 【点睛】本题考查三角函数应用题，解题的关键是构造直角三角形，根据仰角的三角函数值求解． 24．某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）． （1）求A、D两点之间的距离： （2）求隧道AB的长度． 【答案】（1）；（2）3km 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离； （2）利用（1）中所求结果，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度． 【详解】解：（1）如图，过点A作，垂足为E， ． 在中，，，， ． ， ． ， ． 在中，， ． A、D两点之间的距离为． （2），， ∴△ADE是等腰直角三角形， ， ， ， 是直角三角形． 在中，，， ． 隧道AB的长度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索DE的长； （2）求最长的斜拉索AC的长． 【答案】（1）最短的斜拉索DE的长为3m；（2）最长的斜拉索AC的长为30m． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长； （2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长． 【详解】（1）∵∠ABC=∠DEB=45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE=BE=×6=3， 答：最短的斜拉索DE的长为3m； （2）作AH⊥BC于H，如图2， ∵BD=DE=3， ∴AB=3BD=5×3=15， 在Rt△ABH中，∵∠B=45°， ∴BH=AH=AB=×15=15， 在Rt△ACH中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=30． 答：最长的斜拉索AC的长为30m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能将实际问题抽象为数学问题，画出符合题意的图形，准确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇． （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 【答案】（1）2小时；（2）甲船追赶乙船的速度是每小时15+15千米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）根据方向角可以得到∠BCA=45°，∠B=30度，过A作AD⊥BC于点D，在直角△ACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在直角△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间； （2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度． 【详解】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G． ∵乙船沿东北方向前进， ∴∠HAB=45°， ∵∠EAC=30°， ∴∠CAH=90°-30°=60° ∴∠CAB=60°+45°=105°． ∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°． ∵∠FCD=75°，∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°， ∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30°． 在直角△ACD中，∠ACD=45°，AC=2×15=30， AD=AC•sin45°=3×=30千米． CD=AC•cos45°=30千米． 在直角△ABD中，∠B=30°． 则AB=2AD=60千米． 则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15-2=2小时； （2）BC=CD+BD=30+30千米． 则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30）÷2=15+15千米/小时． 答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+15千米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的概念、熟练运用勾股定理是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $