专题22.2 直角三角形全等的判定（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题22.2 直角三角形全等的判定 教学目标 1. 学会直角三角形的“HL”判定定理； 2. 利用直角三角形的判定定理求解； 3. 掌握直角三角形的判定定理证明。 教学重难点 1.重点 （1）作图操作引出直角三角形全等的判定定理； （2）证明直角三角形全等的判定定理； （3）直角三角形全等判定的另一种方法； （4）直角三角形全等的判定定理的应用。 2.难点 （1）直角三角形全等的判定的有关证明； （2）直角三角形全等的判定的综合应用。 知识点1 直角三角形全等的判定 复习引入：在“三角形”一章中，我们已经知道，在两个三角形中如果仅已知两边分别相等且一组等边的对角相等，一般不能判定这两个三角形全等.但如果这两个三角形对应相等的角是直角，它们全等吗? 操作： 如图22-1-6,已知线段b、c(c>b). 求作Rt△ABC,使∠ACB=90°,AB=c,AC=b. 作法： (1)作线段AC=b; (2)过点C作直线MN⊥AC; (3)以点A为圆心、以c的长为半径作弧，交直线MN于点B; (4)连接AB.△ABC就是所求的直角三角形(图22-1-7). 思考： 上面以点A为圆心、以c的长为半径作弧，还可交直线MN于另一点B′,从而作出了满足要求的另一个直角三角形△AB′C(图22-1-8),它与△ABC全等吗?为什么? 分析 如图22-1-8,△ABB′是等腰三角形，从而∠B=∠B'.又由∠ACB=∠ACB′,AB=AB′,即可证得△ABC≌△AB'C. 进一步可以证明直角三角形全等的判定定理： 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. （有资料显示，该定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 如图22-1-9,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B′C'. 证明 如图22-1-10,延长BC到点D,使得CD=C′B′,连接AD.又因为∠ACD=∠A′C′B′=90°,AC=A'C',所以△ACD≌△A′C'B'.由此得AD=A'B′. 又因为AB=A'B′,所以AB=AD.于是，△ABD是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”,因为AC是△ABD的高，所以CB=CD.又因为∠ACB=∠ACD=90°,AC是公共边，所以△ACB≌△ACD. 根据“三角形全等的传递性”,得△ABC≌△A'B'C'. 例 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. 如图22-1-12,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，∠ACB=∠A'C′B′=90°,AC=A′C′,CD⊥AB,C′D′⊥A'B',垂足分别为D、D',CD=C′D'.求证：△ABC≌△A'B′C'. 证明 在Rt△ACD与Rt△A'C′D'中， ∵ ∴ Rt△ACD≌Rt△A'C′D′(直角三角形全等的判定定理). ∴∠A=∠A'. 在△ABC与△A'B'C′中， ∵ ∴ △ABC≌△A′B′C'. 【即学即练】 1．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 2．如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 3．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的定义是关键．根据全等得出是的平分线，可得，再利用余角性质得到结果即可． 【详解】解：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【详解】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 5．如图，是的高，，，，则大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键；首先证明，得；再由得，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的高， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理）及全等三角形的性质，解题的关键是通过证明两组直角三角形全等，得到线段之间的等量关系，进而推导出的长度． 利用定理证明得到再用定理证明得到结合已知线段长度和等量代换，推导出与、、的关系，计算出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型01 直角三角形全等的判定辨析 【典例1】．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 【变式1】．下列命题中，假命题是（    ） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】本题主要考查真假命题以及两个直角三角形全等的判定，判定两个直角三角形全等的方法有：SSS、AAS、ASA、HL四种，对每个选项依次判定解答． 【详解】A、两直角相等，两个锐角对应相等，只有两个角相等，不能判定全等，选项是假命题，符合题意； B、两个直角对应相等、斜边及锐角对应相等，构成AAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意； C、两个直角对应相等、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意； D、两个直角相等、一条直角边和斜边对应相等，构成了HL，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意． 故选：A． 【变式2】．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可． 【详解】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确； ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等，故②正确； ③两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故③错误； ④有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，因为该角不一定是两边的夹角，故④错误； ⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据判定它们全等．故⑤正确； ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形，可以根据判定它们全等．故⑥正确； 综上所述，错误的说法有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型02 直角三角形全等判定的依据 【典例1】．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案． 【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°， ∴△AOB和△COD是直角三角形， AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等， 所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD， 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键． 【变式1】．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F， ∴∠ADC＝∠BFE＝90°， ∵CD＝EF， ∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【变式2】．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AD是三角形的高，得到∠BDF=∠ADC=90°，故可根据HL可以判定． 【详解】∵AD是三角形的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°， ∵BF=AC，FD=CD， ∴（HL）， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 题型03 直角三角形全等判定的应用Ⅰ 【典例1】．如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 【变式1】．如图，在和中，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】．已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和性质列式计算得，结合，，，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故选：B． 题型04 直角三角形全等判定的应用Ⅱ 【典例1】．如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 证出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．过点Q作交的延长线于点N，先证明，得，再证明，得，然后证明，据此即可得出结论． 【详解】解：如图，过点Q作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 【变式3】．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 题型05 作图题的应用 【典例1】．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点P，Q，作直线，交于点D，交于点E，F是上一点，且，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，由作图可得垂直平分，从而可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项C正确． 【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：C． 【变式2】．如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用可证明，可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点， ∴垂直平分， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， , ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 综上，A、B、D正确， 故选：C． 题型06 动点问题（分类讨论） 【典例1】．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 【变式1】．如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为 秒时，才能和全等． 【答案】或 【分析】根据全等三角形的判定条件（），分两种情况讨论：当时和当时，结合点的运动速度求出运动时间．本题考查了直角三角形全等的判定（），即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；分情况讨论与、与分别相等的两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时，， ∴， ∴秒． 当时，， ∴ ∴秒． 故答案为：或 ． 【变式2】．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8． 题型07 综合辨析 【典例1】．如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用全等三角形的判定证明，得出，，推出平分，再根据直角三角形的性质得到，则有，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、C结论成立，不符合题意；选项D结论不成立，符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．根据，易证，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得，结论②成立，和只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，故①结论正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； 和仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等，故③结论错误． 故选：B． 【变式2】．如图，在三边都不相等的中，，垂足为，，垂足为，且，在上，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定等等：先证明得到，再由等边对等角推出，则，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，其中正确的有3个． 故答案为：3． 题型08 解答题 【典例1】．如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， 在和中， ∵，， ∴() ， ∴， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式1】．如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据证明，得，则． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】．如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，得和都是直角三角形，再根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 和都是直角三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式3】．如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明，得，根据等角对等边得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 【详解】证明：∵， ∴和是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴是边上的高， ∴． 【变式4】．如图，，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式5】．如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果； （2）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 一、单选题 1．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是 （    ） A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等 【答案】D 【详解】试题分析：当两直角边对应相等可以根据SAS来进行判定三角形全等，或者也可以根据一条直角边和一条斜边对应相等，根据HL进行判定. 考点：直角三角形的全等 2．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 【答案】D 【分析】根据判定定理即可得． 【详解】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意； B、添加，需用定理判定，则此项不符题意； C、添加，需用定理判定，则此项不符题意； D、添加，能用定理判定，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 4．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 5．如图，在中，，点在上，，点在上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】或 【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， 或， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想． 8．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 【答案】2 【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解． 【详解】解： AB⊥AD，CE⊥BD， ， 在与中， ， ， AD＝5，CD＝7， ，BD=CD＝7， 故答案为：2 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 9．结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式： 在和中，， ， ． 【答案】 【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空． 【详解】AC和DF为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等． ∴填AB=DE． 故答案为：AB=DE． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键． 10．下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直角三角形全等的判定条件可直接进行逐一排除． 【详解】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，由“HL”可判定全等，故正确； ②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形，由“SAS”可判定全等，故正确； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可由“AAS”或“ASA”判定全等，故正确； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形，无法判定全等，因为没有对应边的相等，故错误； 所以正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形的全等判定条件是解题的关键． 11．如图，在和中，，，．若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故答案为：55． 12．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE= 【答案】8 【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， 在Rt△ADB和Rt△CEA中， ∵AB=AC，BD=AE， ∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL）， ∵BD=3，CE=5， ∴AE=BD=3，AD=CE=5， ∴DE= AD+ AE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 13．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【详解】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 14．如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】连接． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明得到，根据三角形周长公式推出，再由，可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3．    16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 【答案】 【分析】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H， ∵AD⊥BC于点D， ∴AG=AB，∠H=∠ADG=90° ∴∠AGD=∠B， ∵AE//BC， ∴∠EAH=∠B， ∴∠EAH=∠AGD， ∵AE=AB， ∴AE=AG， 在△AEH和△GAD中， ， ∴△AEH≌△GAD（AAS）， ∴EH=AD，AH=GD， 在Rt△EHF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL）， ∴FH=CD， ∴FH-AH=CD-GD， ∴AF=GC， ∴， ∴S△AEF=S△GAC， 设GD=BD=m，则CD=4BD=4m， ∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 18．如图：是等腰的高，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质、角平分线的性质及等腰三角形性质，根据等腰三角形性质先证明，，即可证明从而得出结论． 【详解】证明：，是等腰的高， ， ， ， 在和中， ， ， ． 19．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据条件证明，得出，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】证明：∵， ∴． 又 ∴在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． 20．如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】题考查尺规作图---作垂线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理；掌握判断全等三角形是关键； （1）以点C为圆心，以任意长度为半径作弧，交线段于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点K，连接并交线段于点E，即可完成作图； （2）先证明，从而得到，进而即可得到结论 【详解】（1） （2）证明：∵，， ∴． 在和中， ∵， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 21．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 22．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， 23．在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与的面积相等，则的度数为或 【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ， 在中，， 在中，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点于点， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.2 直角三角形全等的判定 教学目标 1. 学会直角三角形的“HL”判定定理； 2. 利用直角三角形的判定定理求解； 3. 掌握直角三角形的判定定理证明。 教学重难点 1.重点 （1）作图操作引出直角三角形全等的判定定理； （2）证明直角三角形全等的判定定理； （3）直角三角形全等判定的另一种方法； （4）直角三角形全等的判定定理的应用。 2.难点 （1）直角三角形全等的判定的有关证明； （2）直角三角形全等的判定的综合应用。 知识点1 直角三角形全等的判定 复习引入：在“三角形”一章中，我们已经知道，在两个三角形中如果仅已知两边分别相等且一组等边的对角相等，一般不能判定这两个三角形全等.但如果这两个三角形对应相等的角是直角，它们全等吗? 操作： 如图22-1-6,已知线段b、c(c>b). 求作Rt△ABC,使∠ACB=90°,AB=c,AC=b. 作法： (1)作线段AC=b; (2)过点C作直线MN⊥AC; (3)以点A为圆心、以c的长为半径作弧，交直线MN于点B; (4)连接AB.△ABC就是所求的直角三角形(图22-1-7). 思考： 上面以点A为圆心、以c的长为半径作弧，还可交直线MN于另一点B′,从而作出了满足要求的另一个直角三角形△AB′C(图22-1-8),它与△ABC全等吗?为什么? 分析 如图22-1-8,△ABB′是等腰三角形，从而∠B=∠B'.又由∠ACB=∠ACB′,AB=AB′,即可证得△ABC≌△AB'C. 进一步可以证明直角三角形全等的判定定理： 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. （有资料显示，该定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 如图22-1-9,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B′C'. 证明 如图22-1-10,延长BC到点D,使得CD=C′B′,连接AD.又因为∠ACD=∠A′C′B′=90°,AC=A'C',所以△ACD≌△A′C'B'.由此得AD=A'B′. 又因为AB=A'B′,所以AB=AD.于是，△ABD是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”,因为AC是△ABD的高，所以CB=CD.又因为∠ACB=∠ACD=90°,AC是公共边，所以△ACB≌△ACD. 根据“三角形全等的传递性”,得△ABC≌△A'B'C'. 例 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. 如图22-1-12,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，∠ACB=∠A'C′B′=90°,AC=A′C′,CD⊥AB,C′D′⊥A'B',垂足分别为D、D',CD=C′D'.求证：△ABC≌△A'B′C'. 证明 在Rt△ACD与Rt△A'C′D'中， ∵ ∴ Rt△ACD≌Rt△A'C′D′(直角三角形全等的判定定理). ∴∠A=∠A'. 在△ABC与△A'B'C′中， ∵ ∴ △ABC≌△A′B′C'. 【即学即练】 1．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 3．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 5．如图，是的高，，，，则大小为 ． 6．如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 题型01 直角三角形全等的判定辨析 【典例1】．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【变式1】．下列命题中，假命题是（    ） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 【变式2】．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 题型02 直角三角形全等判定的依据 【典例1】．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【变式1】．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 题型03 直角三角形全等判定的应用Ⅰ 【典例1】．如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在和中，，，，若，则 ． 【变式2】．已知和按如图所示的位置放置，已知，，且，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04 直角三角形全等判定的应用Ⅱ 【典例1】．如图，在中，，于点，．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 【变式2】．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【变式3】．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 题型05 作图题的应用 【典例1】．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点P，Q，作直线，交于点D，交于点E，F是上一点，且，若，则的度数为 ． 【变式1】．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型06 动点问题（分类讨论） 【典例1】．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【变式1】．如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为 秒时，才能和全等． 【变式2】．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 题型07 综合辨析 【典例1】．如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 【变式1】．如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 【变式2】．如图，在三边都不相等的中，，垂足为，，垂足为，且，在上，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 题型08 解答题 【典例1】．如图，，，，求证：． 【变式1】．如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【变式2】．如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，，．求证：． 【变式3】．如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 【变式4】．如图，，，且，求证：． 【变式5】．如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 一、单选题 1．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是 （    ） A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等 2．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 4．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在上，，点在上，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 二、填空题 7．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    8．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 9．结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式： 在和中，， ， ． 10．下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 11．如图，在和中，，，．若，则 °． 12．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE= 13．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 14．如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 15．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．    16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 三、解答题 17．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 18．如图：是等腰的高，，求证： 19．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：． 20．如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 21．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 23．在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$