专题06 解决问题的策略（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年苏教版数学五年级上册专项培优讲练

专题06 解决问题的策略 【解析版】 考向一：列举法的基本概念易错点 对“一一列举”理解不深刻：一一列举是指按照一定的顺序，把符合条件的所有答案一个一个地列举出来，关键在于不重复、不遗漏。学生可能会在列举过程中随意列举，导致结果有重复或遗漏。例如，在列举用1、2、3组成的所有三位数时，如果不按顺序列举，可能会出现重复写某个数或者漏写某些数的情况。正确的做法可以是先确定百位上的数字，再依次确定十位和个位上的数字，按从小到大或从大到小的顺序进行列举。 忽略列举的顺序性：不按顺序列举是常见错误。比如在解决“用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少”的问题时，如果不按照长从大到小（或从小到大）的顺序来确定长和宽的值，就容易出现重复或遗漏的围法。应该先求出长方形长与宽的和，再有序地列表找出不同的围法。 考向二：用列举法解决图形问题易错点 围长方形问题 长和宽的取值错误：在已知长方形周长求长和宽的可能取值时，可能会出现计算错误。例如，已知周长是20米，长与宽的和应该是20÷2=10米，但有些学生可能会直接用周长来列举长和宽。而且在列举长和宽的组合时，可能会忽略长和宽必须是正整数的条件。 面积计算错误：在列举出不同的长和宽后，计算长方形面积时容易出错。比如长是6米、宽是4米的长方形，面积应该是6×4=24平方米，但可能会出现计算失误。另外，在比较不同围法的面积大小时，也可能会出现比较错误，导致找不到面积最大的围法。 图形拼接或分割问题：在解决图形拼接或分割后周长、面积变化的问题时，列举不同的拼接或分割方式容易出现遗漏。例如，将两个相同的正方形拼成长方形，有且只有一种拼法，但如果是多个相同的长方形进行拼接，就可能有多种拼接方式，需要按一定顺序列举，否则容易遗漏某些情况。同时，在计算拼接或分割后图形的周长和面积时，也容易出现错误，比如没有正确分析拼接处的边长变化对周长的影响。 考向三：用列举法解决搭配问题易错点 搭配遗漏或重复 简单搭配问题：在解决如“几种物品搭配成不同的套餐”的问题时，可能会出现搭配不完整的情况。例如，有3件上衣和2条裤子，搭配成不同的套装，如果不按顺序搭配，可能会少算一些搭配方式。正确的做法可以先固定一件上衣，依次与每条裤子搭配，再换另一件上衣进行同样的操作，这样就能保证不遗漏。 复杂搭配问题：当搭配的元素较多或者搭配规则较复杂时，更容易出现重复或遗漏。比如，从3种饮料、4种小吃和2种水果中各选一种组成一份套餐，需要分三步进行搭配，学生可能会在列举过程中思路混乱，导致结果出错。 对搭配问题中“有序”理解不准确：在搭配问题中，“有序”不仅指按一定顺序进行搭配，还包括对不同类型元素的合理分类。例如，在解决“用0、1、2、3组成没有重复数字的两位数”的问题时，要先考虑十位上不能为0，然后按十位上数字从小到大的顺序进行列举，同时要注意每个数字在不同数位上的使用情况，避免重复和遗漏。 考向四：排列与组合问题易错点 区分不清排列和组合：排列是有顺序的，而组合是没有顺序的。例如，爸爸、妈妈、我排列照相， 有2×3=6种排法（ABC、BAC等不同）；而5个球队踢球，每两队踢一 场，要踢4+3+2+1=10场（AB和BA是同一场比赛）。学生可能 会在具体问题中混淆排列和组合的概念，导致解题方法错误。 计算排列组合的数量错误：在计算排列组合的数量时，可能会出现公式运用错误或计算失误。比如在计算n个元素中选m个元素的排列数或组合数时，如果对公式理解不透彻，就会得出错误的结果。对于简单的排列组合问题，可以通过列举法来验证结果的正确性。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.42（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（2022五年级上·江苏·专题练习）箱子里有2个白球，2个黄球（球除颜色外完全相同），一次摸出两个球，可能有（    ）种结果。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】一次摸出两个球，有两种情况：都是同一种颜色，或是不同的颜色；据此列举即可。 【规范解答】有3种情况：白、白；黄、黄；白、黄。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查列举法解决问题，关键是利用列举法找到这组数据出现的规律，并利用规律做题。 2．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）元旦期间，小新、小怡、小瑶和小诺四位好朋友互相发了一条祝福短信，她们一共发了（    ）条短信。 A．12 B．8 C．6 【答案】A 【思路引导】根据一共有4人，每人将发送短信（4－1）×1＝3（条），进而得出这四人共发送短信总条数。 【规范解答】（4－1）×1＝3（条） 3×4＝12（条） 故答案为：A。 【考点剖析】此题主要考查了数学问题的实际应用，根据已知得出每人将发送短信的数量是解题关键。 3．（21-22五年级下·江苏镇江·期末）中午休息时，小玲与小军两人玩起了数学游戏，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第⑧个图案有（    ）枚黑色棋子。 A．24 B．16 C．19 D．22 【答案】D 【思路引导】根据题意和图案中黑色棋子的变化规律，可以得到第⑧个图案中黑色棋子的个数，从而可以解答本题。 【规范解答】由图可得， 第①个图案中，黑色棋子的个数为1， 第②个图案中，黑色棋子的个数为1＋3， 第③个图案中，黑色棋子的个数为1＋3×2， 第④个图案中，黑色棋子的个数为1＋3×3， …… 因此第⑧个图案在，黑色棋子的个数为： 1＋3×7 ＝1＋21 ＝22 故答案为：D 【考点剖析】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是发现每个图案中黑色棋子的变化规律。 4．（2023·江苏无锡·小升初真题）用写有0、3、4、5的四张数字卡片，能摆出（    ）不同的三位数。 A．6个 B．12个 C．16个 D．18个 【答案】D 【思路引导】由于百位上不能为0，减去百位为0的情况数，百位数有3种选择，十位数有3种选择，个位数有2种选择。运用乘法原理解答。 【规范解答】3×3×2 ＝9×2 ＝18（个） 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 5．（24-25五年级上·江苏·单元测试）如图一共有（    ）个长方形。 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【思路引导】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。如图所示，先数出单个的长方形，有4个；再数出由两个长方形组成的长方形，有2个；然后数出由三个长方形组成的长方形，有1个；最后数出由四个长方形组成的长方形，有1个；据此即可求得图中的长方形的总个数。 【规范解答】4＋2＋1＋1 ＝6＋1＋1 ＝7＋1 ＝8（个） 则图中一共有8个长方形。 故答案为：B 【考点剖析】本题属于巧数图形的题目，解题的关键是掌握数图形的方法，分别数出1、2、3、4个图形组成的长方形各有几个，再把所得的数相加即可求解，题目有一定抽象性，应认真分析，从而确定解题思路。 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共12分． 6．（24-25五年级上·江苏·课后作业）柜台里陈列有3种不同的书包，4种不同的文具盒。妈妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有( )种不同的买法。 【答案】12 【思路引导】每一个书包可以搭配4个不同的文具盒，有3种不同的书包，就有（3×4）种搭配方式，可以用字母表示书包和文具盒，列举出所有的搭配方法。 【规范解答】3种不同的书包用字母A、B、C表示；4种不同的文具盒a、b、c、d表示。 搭配方式：Aa、Ab、Ac、Ad； Ba、Bb、Bc、Bd； Ca、Cb、Cc、Cd； 3×4＝12（种） 所以，妈妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有12种不同的买法。 7．（21-22五年级上·江苏泰州·期末）到早餐店吃早餐，有豆浆、油条、馒头三种早点可供选择，最少吃一种，最多吃三种，有( )种不同的选择方法。 【答案】7 【思路引导】分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种有几种方法，然后利用加法原理解答即可。 【规范解答】①吃一种，有豆浆、油条、馒头三种选择方法； ②吃两种有豆浆、油条，豆浆、馒头，油条、馒头三种选择方法； ③吃三种就是三种一起吃，有一种选择方法； 一共有：3＋3＋1＝7（种） 他有7种不同的选择方法。 8．（2020六年级·全国·竞赛）一次围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分。已知选手们的得分各不相同，且没有选手得0分，如果获得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等，那么获得第三名的选手得分是 分。 【答案】13 【思路引导】围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，则赛出了36场比赛，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分，就是每场比赛都会产生2分，则整场比赛产生72分，没有选手得0分，则第一名不可能全部都赢，肯定有一场是平的，这样的情况下第一名的分数就是15分（剩了7场平了1场），得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相，设第五名的分数是x分，那么最后4名的总分也是x分。分情况进行讨论。 【规范解答】8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（场） 36×2＝72（分） 设第五名的分数是x分，那么最后4名的总分也是x分。 第一种情况：15＋14＋13＋12＋x＋x＝72 54＋2x＝72 2x＝72－54 2x＝18 x＝9 第二种情况：14＋13＋12＋11＋x＋x＝72 50＋2x＝72 2x＝72－50 2x＝22 x＝11 选手们的得分各不相同，则不成立 … 最后结论得出只有第一种情况成立。 则获得第三名的选手得分是13分。 9．（23-24五年级上·河南平顶山·期末）萱萱和他的3个好朋友进行乒乓球循环赛，每两人都要比赛一场，一共要比赛( )场；如果采用淘汰赛（每进行1场比赛，淘汰1人），那么只要比赛( )场。 【答案】 6 3 【思路引导】萱萱和他的3个好朋友一共四个人，设四个人是A、B、C、D。则A和B赛一场以后，相当于B和A赛了一场，就是说A和B赛了一场。淘汰赛就是每比赛一场就有一个人被淘汰。 【规范解答】设这四个人是A、B、C、D。 A分别和B、C、D各赛一场，一共3场。 B分别和C、D各赛一场，一共2场。 C和D赛一场，为1场 3＋2＋1＝6（场） 则循环赛，一共要比赛6场。 A分别和B、C、D各赛一场，假设A赢了，就比赛了3场 则淘汰赛，只需要比赛3场。 10．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。 【答案】 6 4 【思路引导】列举出所有用数字卡片8、2、5组成的没有重复数字的三位数，然后按照从小到大的顺序排序即可解答。 【规范解答】2在百位上可以组成：258、285； 5在百位上可以组成：528、582； 8在百位上可以组成：825、852； 一共可以组成6个没有重复数字的三位数； 258＜285＜528＜582＜825＜852 所以按照从小到大排列，582应该排在第4个。 11．（21-22五年级上·江苏·单元测试）学校组织了艺术、电脑、体育三种兴趣小组，小玲准备至少参加一种，她一共有( )种不同的参加方式。 【答案】7 【思路引导】按照一种、两种和三种这3种情况将参加的方法一一列举出来再合并即可。 【规范解答】参加方法有： ①一种：从三种兴趣小组任选一种，共有3种方法； ②两种：可以有：艺术和电脑、体育和艺术、电脑和体育共有3种； ③三种：三种都参加，只有1种方法； 共有：3＋3＋1＝7（种） 【考点剖析】解决本题的关键是根据题意将参加方法分3种情况考虑，再将所有方法相加即可。 12．（21-22五年级上·江苏·单元测试）3路公交车每隔15分钟发一辆，早晨6：00发第一辆，第六辆车的发车时间是( )，中午12：15发第( )辆车。 【答案】 7时15分 26 【思路引导】根据题意，早晨6：00发第一辆，到第六辆车发车，之间有6－1＝5个间隔时间，即经过了15×5＝75分钟，据此用开始发车的时间＋经过的时间即可求出第六辆车的发车时间；用中午12：15减去第一辆车发出的时间，求出经过的时间，再除以15，求出间隔数，加上1即可解答问题。 【规范解答】15×5＝75（分钟） 75（分钟）＝1小时15分 6时＋1时15分＝7时15分 12时15分－6时＝6时15分 6时15分＝375分 375÷15＋1 ＝25＋1 ＝26（辆） 【考点剖析】查了日期和时间的推算，本题的难点是求出中间的时间，发车间隔的次数．同时注意单位的换算。 13．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）志愿者要从学校到少年宫进行服务，如果只允许向东或向北走，一共有( )种不同的线路。 【答案】6 【思路引导】把每条路线用数字标出来，并且根据图来看总共有几条路线，列出来即可。注意只许向东或向北走，否则会有重复的情况。 【规范解答】 第一条路线：从学校出发走1→2→3→4→少年宫 第二条路线：从学校出发走1→8→11→4→少年宫 第三条路线：从学校出发走1→8→9→7→少年宫 第四条路线：从学校出发走5→10→11→4→少年宫 第五条路线：从学校出发走5→10→9→7→少年宫 第六条路线：从学校出发走5→6→12→7→少年宫 一共有6种不同的路线可走。 【考点剖析】解决本题要有顺序地写出路线，把走的路线列出来并且一定要注意不要走回头路。 三、判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 14．（21-22五年级上·江苏·单元测试）今天是星期三，47天后是星期日。( ) 【答案】× 【思路引导】星期是以7为周期的数列，只要算出47里有几个7还多几天即可求出47天后的那一天是星期几。 【规范解答】47÷7＝6……5 今天是星期三，47天后是星期日，此说法错误，今天是星期三，再过47天是星期一。 故答案为：× 【考点剖析】考查数列的周期性，和整数被7分所得的余数和周几之间的关系。 15．（21-22五年级上·江苏·单元测试）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形，有8种不同的拼法。 ( ) 【答案】× 【思路引导】正方形的边长是1厘米，则24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，有四种拼法；第一种：是24个正方形拼成1行，第二种是2行12列；第三种是3行8列；第四种是4行6列。由此即可判断。 【规范解答】由分析可知，24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形有4种拼法； 故答案为：×。 【考点剖析】本题主要考查图形的拼组，仔细找全拼的长方形种类。 16．（21-22五年级上·江苏·单元测试）8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法。( ) 【答案】× 【思路引导】根据题意，列举将8个相同的小球分成三堆的分法，将其相加即可解答。 【规范解答】根据题意，将8个相同的小球分成三堆，可分为： 1、1、6 1、2、5 1、3、4 2、2、4 2、3、3 共计5种。 原题干8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法，说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】解答本题的关键是列举分法有几种，再进行解答。 17．（23-24三年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）有5个小朋友，每两个小朋友握一次手，不能重复，那么他们一共握10次手。( ) 【答案】√ 【思路引导】由于每个小朋友都要和另外的4个小朋友握一次手，一共要握了（5×4）次，即20次；又因为两个小朋友只握一次手，去掉重复计算的情况，实际只握了（20÷2）次，即10次；据此解答。 【规范解答】（5－1）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（次） 所以，有5个小朋友，每两个小朋友握一次手，不能重复，那么他们一共握10次手。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况。 18．（23-24五年级上·江苏·单元测试）菲菲和他的3个好朋友，他们每人都给其他人寄一张贺卡，一共要寄6张贺卡。( ) 【答案】× 【思路引导】根据题干可知，每一个人要给其他3个人寄一张贺卡，共寄3张，一共4人，所以一共要寄3×4＝12张贺卡。 【规范解答】（4－1）×4 ＝3×4 ＝12（张） 故答案为：× 【考点剖析】此题考查的是排列组合问题，解答此题应注意做到不遗漏，不重复按一定的顺序排列。 四、解答题：本题共12小题，共68分 19．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）乐乐从家到少年宫，如果只能向南、向西走，一共有多少种不同的路线可走？ 【答案】6种 【思路引导】如图，把每一顶点和交点都标上字母，根据行走的规定（只能向西或向南走），用字母一一列举即可； 从点A出发有两条不同的路线；其中ABF可以直接到达，从点A出发走到点K的时候，出现两条，经过AKJHGF和AKJHEF这两条； 从点A出发走到点K的时候，经过AKICEF、AKIHEF和AKIHGF，有三条。 【规范解答】 路线可以是：ABF、AKJHGF、AKJHEF、AKICEF、AKIHEF和AKIHGF。 1＋2＋3＝6（条） 答：一共有6种不同的路线可走。 20．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）红红有5元和2元的人民币若干张，她要拿出47元，有多少种不同的拿法？ 【答案】5种 【思路引导】根据题意，5元人民币的数量×5＋2元人民币的数量×2＝47，根据47÷5＝9（张）……2（元）可知5元的人民币最多只能有9张，据此逐渐减少5元人民币的数量，同时增加2元人民币的数量，直到找出所有总金额等于47元的组合方式即可。 【规范解答】47÷5＝9（张）……2（元） 拿9张5元1张2元：5×9＋2×1 ＝45＋2 ＝47（元） 拿7张5元6张2元：5×7＋2×6 ＝35＋12 ＝47（元） 拿5张5元11张2元：5×5＋2×11 ＝25＋22 ＝47（元） 拿3张5元16张2元：5×3＋2×16 ＝15＋32 ＝47（元） 拿1张5元21张2元：5×1＋2×21 ＝5＋42 ＝47（元） 答：有5种不同的拿法。 21．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）有1克、5克、10克的砝码各一个。选择其中的一个或几个，在天平上能称出多少种不同质量的物品？（砝码只放在右边的托盘里） 【答案】7种 【思路引导】依据题意，结合质量不同的砝码可以组合成的情况，采取列举的方法，写出把所有情况列举出来，然后再将列举的情况相加即可解答。 【规范解答】选择其中的一个砝码时可以称出：1克、5克、10克，这3种不同质量的物品； 选择其中的两个砝码时可以称出：1＋5＝6（克），1＋10＝11（克），5＋10＝15（克），这3种不同质量的物品； 选择这三个砝码时可以称出：1＋5＋10＝16（克）质量的物品。 3＋3＋1＝7（种） 答：选择其中的一个或几个，在天平上能称出7种不同质量的物品。 22．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·单元测试）下面是某家纺织厂职工食堂一天中作的菜单，刘师傅准备买一荤两素共三个菜，他一共有多少种不同的选择？ 【答案】12种 【思路引导】素菜有三种，选择其中的两种素菜有3种不同的选择，每种选择又都可以搭配一种荤菜，所以，刘师傅一共有3×4＝12种不同选择。据此解答即可。 【规范解答】3×4＝12（种） 答：他一共有12种不同的选择。 23．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）用3、0、5这三个数字一共可以组成多少个不同的三位数？它们分别是多少？ 【答案】4个；305、350、530、503 【思路引导】根据百位上的不同数字分类，因0不能放在百位，所以有两种情况：1.百位上是3，可以组成305、350；2.百位上是5，可以组成530、503。据此解答。 【规范解答】百位上是3，可以组成305、350； 百位上是5，可以组成530、503。 答：用3、0、5这三个数字一共可以组成4个不同的三位数，它们分别是305、350、530、503。 24．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）小力和小朗分别有红、黄、蓝三种信号旗各1面，每人拿出1面信号旗，一共有多少种不同的拿法？ 【答案】9种 【思路引导】根据题意可知，小力拿出红旗时，小朗可以拿出红、黄、蓝三种信号旗中的1面，即有3种拿法。小力还可以拿出黄旗或蓝旗，那么一共有（3×3）种不同的拿法即可。 【规范解答】（种） 答：一共有9种不同的拿法。 25．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）小明、小华、小力、小强和小海五名同学进行象棋比赛，每两人都要赛1盘。现在，小明赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘。小海已经赛了几盘？分别是和谁赛的？（先在如图中连线表示已赛的盘数，再回答） 【答案】图见详解；小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的 【思路引导】5位同学进行象棋比赛，那么每人最多下4盘比赛，根据“小明已经赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘”，在图中连线表示已赛的盘数，找出都有谁和小海下了棋，从而找出小海下了几盘。据此解答即可。 【规范解答】 由图可知：小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的。 答：小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的。 26．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）用20个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个大长方形，有多少种不同的拼法？它们的周长各是多少？拼一拼，算出结果，填在下表中。 长/厘米 20 宽/厘米 1 周长/厘米 观察上表，你有什么发现？ 【答案】有3种不同的拼法，它们的周长分别是42厘米、24厘米、18厘米；图表见详解； 发现：长和宽的差越大，周长越大；长和宽相差越小，周长越小。（答案不唯一） 【思路引导】根据分析知拼成后图形的面积不变，长方形的面积＝长×宽，20＝20×1＝10×2＝5×4，可知长方形可以是长20厘米宽1厘米，或长10厘米宽2厘米，或长5厘米宽4厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此分别求出各个长方形的周长。 【规范解答】长20厘米，宽1厘米 周长是：（20＋1）×2 ＝21×2 ＝42（米） 长10厘米，宽2厘米 周长是：（10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（米） 长5厘米，宽4厘米 周长是：（4＋5）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 共有3种不同的拼法： 长/厘米 20 10 5 宽/厘米 1 2 4 周长/厘米 42 24 18 42＞24＞18 答：用20个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个大长方形，有3种不同的拼法，它们的周长分别是42厘米、24厘米、18厘米； 发现：长和宽的差越大，周长越大；长和宽相差越小，周长越小。（答案不唯一） 27．（本题6分）（23-24五年级上·江苏·课后作业）到早餐店吃早餐，有包子、馒头、油条和大饼四种早点可供选择。最少吃一种，最多吃4种，有多少种不同的选择方法？ 【答案】15种 【思路引导】吃一种有4种选择方法，吃两种有6种选择方法，吃三种有4种选择方法，吃四种有1种选择方法，如表： 【规范解答】4＋6＋4＋1 ＝10＋4＋1 ＝14＋1 ＝15（种） 答：有15种不同的选择方法。 【考点剖析】本题主要考查用列举法解决实际问题的能力。 28．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？ 【答案】16桶 【思路引导】2台抽水机1分钟可以抽出18＋14＝32桶水，那么50分钟就抽出去32×50＝1600桶水，船体本来有800桶水，那么50分钟内，漏进船体的水为1600－800＝800桶水，所以每分钟进水：800÷50＝16（桶）。 【规范解答】[（18＋14）×50－800]÷50 ＝[32×50－800]÷50 ＝[1600－800]÷50 ＝800÷50 ＝16（桶） 答：每分钟进水16桶。 【考点剖析】此题属于“牛吃草”问题，求出50分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键。 29．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？ 【答案】50米 【思路引导】小平每分钟比小红多走20米，30分钟后小平比小红多走20×30＝600（米），即这时小红距离小平家600米。小平到家后立即原路返回，在离家350米处遇到小红，这时小红距离小平家350米。说明小平走350米的时间内，小红走了600－350＝250（米）。在相同的时间内，小平比小红多走了350－250＝100（米），已知小平每分钟比小红多走20米，则小红在小平返回时又走了100÷20＝5（分钟）。小红5分钟走了250米，用250除以5即可求出小红的速度。 【规范解答】20×30－350＝250（米） （350－250）÷20 ＝100÷20 ＝5（分钟） 250÷5＝50（米） 答：小红每分钟走50米。 【考点剖析】小平到家时小红距离小平家的路程是600米，再次与小平相遇时距离小平家的路程是350米，两者之差就是小平走350米的时间内小红所走的路程。 30．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？ 【答案】用35辆大卡车和1辆小卡车来运输时耗油最少。 【思路引导】此题要求耗油量最少是多少，可先求出大卡车与小卡车运一吨货物的耗油量，尽量安排耗油量低的，由于177除以5有余数，此时再考虑是否可改用小卡车更为划算一些。 【规范解答】从题目可得用大卡车为2升一吨（10÷5＝2），小卡车为2.5升一吨（5÷2＝2.5），则大卡车每吨的消耗油量比小卡车少，所以都用大卡车比较好； 但177吨货，要用35辆5吨和1辆2吨，大卡车1辆车拖2吨用油10升，小卡车1辆车拖2吨用油5升，所以剩下的2吨货由小卡车跑划算。 答：用35辆大卡车和1辆小卡车来运输时耗油最少。 【考点剖析】本题主要考查了最优化问题，解题关键是求出大卡车与小卡车哪个更为划算一些，易错点是最后余下的2吨可改用小卡车来运。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解决问题的策略 【原卷版】 考向一：列举法的基本概念易错点 对“一一列举”理解不深刻：一一列举是指按照一定的顺序，把符合条件的所有答案一个一个地列举出来，关键在于不重复、不遗漏。学生可能会在列举过程中随意列举，导致结果有重复或遗漏。例如，在列举用1、2、3组成的所有三位数时，如果不按顺序列举，可能会出现重复写某个数或者漏写某些数的情况。正确的做法可以是先确定百位上的数字，再依次确定十位和个位上的数字，按从小到大或从大到小的顺序进行列举。 忽略列举的顺序性：不按顺序列举是常见错误。比如在解决“用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少”的问题时，如果不按照长从大到小（或从小到大）的顺序来确定长和宽的值，就容易出现重复或遗漏的围法。应该先求出长方形长与宽的和，再有序地列表找出不同的围法。 考向二：用列举法解决图形问题易错点 围长方形问题 长和宽的取值错误：在已知长方形周长求长和宽的可能取值时，可能会出现计算错误。例如，已知周长是20米，长与宽的和应该是20÷2=10米，但有些学生可能会直接用周长来列举长和宽。而且在列举长和宽的组合时，可能会忽略长和宽必须是正整数的条件。 面积计算错误：在列举出不同的长和宽后，计算长方形面积时容易出错。比如长是6米、宽是4米的长方形，面积应该是6×4=24平方米，但可能会出现计算失误。另外，在比较不同围法的面积大小时，也可能会出现比较错误，导致找不到面积最大的围法。 图形拼接或分割问题：在解决图形拼接或分割后周长、面积变化的问题时，列举不同的拼接或分割方式容易出现遗漏。例如，将两个相同的正方形拼成长方形，有且只有一种拼法，但如果是多个相同的长方形进行拼接，就可能有多种拼接方式，需要按一定顺序列举，否则容易遗漏某些情况。同时，在计算拼接或分割后图形的周长和面积时，也容易出现错误，比如没有正确分析拼接处的边长变化对周长的影响。 考向三：用列举法解决搭配问题易错点 搭配遗漏或重复 简单搭配问题：在解决如“几种物品搭配成不同的套餐”的问题时，可能会出现搭配不完整的情况。例如，有3件上衣和2条裤子，搭配成不同的套装，如果不按顺序搭配，可能会少算一些搭配方式。正确的做法可以先固定一件上衣，依次与每条裤子搭配，再换另一件上衣进行同样的操作，这样就能保证不遗漏。 复杂搭配问题：当搭配的元素较多或者搭配规则较复杂时，更容易出现重复或遗漏。比如，从3种饮料、4种小吃和2种水果中各选一种组成一份套餐，需要分三步进行搭配，学生可能会在列举过程中思路混乱，导致结果出错。 对搭配问题中“有序”理解不准确：在搭配问题中，“有序”不仅指按一定顺序进行搭配，还包括对不同类型元素的合理分类。例如，在解决“用0、1、2、3组成没有重复数字的两位数”的问题时，要先考虑十位上不能为0，然后按十位上数字从小到大的顺序进行列举，同时要注意每个数字在不同数位上的使用情况，避免重复和遗漏。 考向四：排列与组合问题易错点 区分不清排列和组合：排列是有顺序的，而组合是没有顺序的。例如，爸爸、妈妈、我排列照相， 有2×3=6种排法（ABC、BAC等不同）；而5个球队踢球，每两队踢一 场，要踢4+3+2+1=10场（AB和BA是同一场比赛）。学生可能 会在具体问题中混淆排列和组合的概念，导致解题方法错误。 计算排列组合的数量错误：在计算排列组合的数量时，可能会出现公式运用错误或计算失误。比如在计算n个元素中选m个元素的排列数或组合数时，如果对公式理解不透彻，就会得出错误的结果。对于简单的排列组合问题，可以通过列举法来验证结果的正确性。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.42（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（2022五年级上·江苏·专题练习）箱子里有2个白球，2个黄球（球除颜色外完全相同），一次摸出两个球，可能有（    ）种结果。 A．2 B．3 C．4 2．（20-21五年级上·江苏扬州·期末）元旦期间，小新、小怡、小瑶和小诺四位好朋友互相发了一条祝福短信，她们一共发了（    ）条短信。 A．12 B．8 C．6 3．（21-22五年级下·江苏镇江·期末）中午休息时，小玲与小军两人玩起了数学游戏，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第⑧个图案有（    ）枚黑色棋子。 A．24 B．16 C．19 D．22 4．（2023·江苏无锡·小升初真题）用写有0、3、4、5的四张数字卡片，能摆出（    ）不同的三位数。 A．6个 B．12个 C．16个 D．18个 5．（24-25五年级上·江苏·单元测试）如图一共有（    ）个长方形。 A．7 B．8 C．10 D．12 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共12分． 6．（24-25五年级上·江苏·课后作业）柜台里陈列有3种不同的书包，4种不同的文具盒。妈妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有( )种不同的买法。 7．（21-22五年级上·江苏泰州·期末）到早餐店吃早餐，有豆浆、油条、馒头三种早点可供选择，最少吃一种，最多吃三种，有( )种不同的选择方法。 8．（2020六年级·全国·竞赛）一次围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分。已知选手们的得分各不相同，且没有选手得0分，如果获得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等，那么获得第三名的选手得分是 分。 9．（23-24五年级上·河南平顶山·期末）萱萱和他的3个好朋友进行乒乓球循环赛，每两人都要比赛一场，一共要比赛( )场；如果采用淘汰赛（每进行1场比赛，淘汰1人），那么只要比赛( )场。 10．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。 11．（21-22五年级上·江苏·单元测试）学校组织了艺术、电脑、体育三种兴趣小组，小玲准备至少参加一种，她一共有( )种不同的参加方式。 12．（21-22五年级上·江苏·单元测试）3路公交车每隔15分钟发一辆，早晨6：00发第一辆，第六辆车的发车时间是( )，中午12：15发第( )辆车。 13．（24-25五年级上·江苏扬州·期末）志愿者要从学校到少年宫进行服务，如果只允许向东或向北走，一共有( )种不同的线路。 三、判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 14．（21-22五年级上·江苏·单元测试）今天是星期三，47天后是星期日。( ) 15．（21-22五年级上·江苏·单元测试）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形，有8种不同的拼法。 ( ) 16．（21-22五年级上·江苏·单元测试）8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法。( ) 17．（23-24三年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）有5个小朋友，每两个小朋友握一次手，不能重复，那么她们一共握10次手。( ) 18．（23-24五年级上·江苏·单元测试）菲菲和他的3个好朋友，他们每人都给其他人寄一张贺卡，一共要寄6张贺卡。( ) 四、解答题：本题共12小题，共68分 19．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）乐乐从家到少年宫，如果只能向南、向西走，一共有多少种不同的路线可走？ 20．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）红红有5元和2元的人民币若干张，她要拿出47元，有多少种不同的拿法？ 21．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）有1克、5克、10克的砝码各一个。选择其中的一个或几个，在天平上能称出多少种不同质量的物品？（砝码只放在右边的托盘里） 22．（本题5分）（24-25五年级上·江苏·单元测试）下面是某家纺织厂职工食堂一天中作的菜单，刘师傅准备买一荤两素共三个菜，他一共有多少种不同的选择？ 23． （本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）用3、0、5这三个数字一共可以组成多少个不同的三位数？它们分别是多少？ 24．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）小力和小朗分别有红、黄、蓝三种信号旗各1面，每人拿出1面信号旗，一共有多少种不同的拿法？ 25．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）小明、小华、小力、小强和小海五名同学进行象棋比赛，每两人都要赛1盘。现在，小明赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘。小海已经赛了几盘？分别是和谁赛的？（先在如图中连线表示已赛的盘数，再回答） 26．（本题6分）（24-25五年级上·江苏·课后作业）用20个面积为1平方厘米的小正方形拼成一个大长方形，有多少种不同的拼法？它们的周长各是多少？拼一拼，算出结果，填在下表中。 长/厘米 20 宽/厘米 1 周长/厘米 观察上表，你有什么发现？ 27．（本题6分）（23-24五年级上·江苏·课后作业）到早餐店吃早餐，有包子、馒头、油条和大饼四种早点可供选择。最少吃一种，最多吃4种，有多少种不同的选择方法？ 28．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？ 29．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？ 30．（本题6分）（2021五年级上·江苏南京·专题练习）甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $