专题05 直角三角形5考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期新教材湘教版

专题05 直角三角形 5大高频考点概览 考点01 直角三角形的性质定理 考点02 勾股定理及其逆定理 考点03 勾股定理的应用 考点04 直角三角形全等的判定 考点05 角平分线的性质 地 城 考点01 直角三角形的性质定理 1．(24-25八下·湖南娄底双峰县·期末)如图，，于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握相关的性质是解题的关键． 根据垂线的性质可得，根据平行线的性质可得，利用“直角三角形两个锐角互余”计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．(24-25八下·湖南怀化·期末)若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余计算得出． 【详解】解：直角三角形中，一个锐角是， 另一个锐角的度数为：， 故选：B． 3．(24-25八下·湖南郴州·期末)在中，是的中点，，若，则的长为（   ） A．5 B．10 C．6 D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接求解． 【详解】解；在中，是的中点，，， ∴． 故选A． 4．(24-25八下·湖南湘潭一中教育集团·期末)如图，在中，，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，又因为，所以可得：． 【详解】解：在中，，为的中点， 又， ． 故选：D． 5．(24-25八下·湖南湘潭一中教育集团·期末)如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 6．(24-25八下·湖南郴州汝城县·期末)如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， 则米， 故选：D． 7．(24-25八下·湖南邵阳邵阳县·期末)如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为（   ）米 A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，理解图示，运用角所对的直角是斜边的一半即可求解． 【详解】解：把物体送到离地面5米高的地方，传送带与水平面所成角度是， ∴物体所经过的路程，即直角三角形斜边的长为米， 故选：D ． 8．(24-25八下·湖南邵阳邵阳县·期末)如图，在Rt中，是斜边上的中线，若，则（   ） A．10 B．6 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，先确定是在直角三角形中，再根据此性质判定即可． 【详解】解：∵中，，是斜边上的中线， ∴， 故选：A ． 9．(24-25八下·湖南郴州资兴·期末)如图，，．若，则的度数为 度． 【答案】56 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 10．(24-25八下·湖南岳阳华容县·期末)如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为 ． 【答案】4.9 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解： ， 是直角三角形， 是的中点，， ， 故答案为：4.9． 11．(24-25八下·湖南株洲攸县·期末)如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为： ． 12．(24-25七下·湖南邵阳新邵县·期末)如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， 故答案为：． 13．(24-25八下·湖南娄底新化县·期末)舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是 ． 【答案】0.58 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，作交的延长线于点G，作于点H，则和均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G，作于点H， 由题意知，， ， ， ， ，， ， 碓头离地面的高度是，即． 故答案为：0.58． 14．(24-25八下·湖南益阳安化县·期末)如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．利用垂线段最短分析可知：与重合时为3，根据含角的直角三角形的性质得出，结合点P不与点C，B重合，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∵点P不与点C，B重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15．(24-25八下·湖南郴州资兴·期末)如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，连接，过点作交直线于点，依题意得，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为线段的长，然后在中，由得，由此即可得出的最小值． 【详解】解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图： 在中，， ， ∵点是的中点， ， ， 根据旋转可得， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 地 城 考点02 勾股定理及其逆定理 1．(24-25八下·湖南长沙雨花区明德雨花实验中学·期末)以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A．6，8，9 B． C．5，7，10 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握其逆定理内容是解题关键． 欲判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，等于就是直角三角形，否则不是． 【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形； B、因为，不能构成直角三角形； C、因为，不能构成直角三角形； D、因为，能构成直角三角形； 故选：D． 2．(24-25八下·湖南娄底·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若、、满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八上·湖南衡阳船山实验中学·期末)已知a，b，c分别为的三条边，下列条件能判断不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理对每个选项进行分析判断．本题主要考查了直角三角形的判定方法，熟练掌握三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，三角形内角和为 ，， 该三角形不是直角三角形． B、 根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形． C、 三角形内角和为 该三角形是直角三角形． D、，设，， 根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形． 故选：A． 4．(24-25八上·湖南长沙华益中学·期末)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题的关键． 设，，建立关于a、b的关系，最后求面积即可． 【详解】解：设，，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 5．(24-25八下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ）    A．90 B．100 C．36 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先求出图中面积为和的正方形的边长是和，再由勾股定理可得正方形的边长，由此即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，图中面积为和的正方形的边长是和， 由勾股定理可得正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 6．(24-25八下·湖南湘潭湘乡·期末)如图，在中，是斜边上的中线，已知，则的长是（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．(24-25八下·湖南邵阳洞口县·期末)在中，，若，，点P是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出的取值范围是解题的关键． 利用勾股定理列式求出，然后根据求出的范围，再选择答案即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 纵观各选项，只有2.5不在此范围内． 故选：A． 8．(24-25八下·湖南益阳安化县·期末)如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 9．(24-25八下·湖南长沙长郡雨花外国语洪塘学校·期末)如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 中，， ， ， ， 故答案为：25． 10．(24-25八下·湖南长沙一中新华都学校·期末)如图，数轴上点A对应的数是4，于点A，，以原点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则线段的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数是4，，， ∴，， 由作图可知：， ∴； 故答案为： 11．(24-25八下·湖南益阳安化县·期末)如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 12．(24-25八下·湖南长沙宁乡·期末)如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】9或25 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论． 分为两种情况，一种是点E在线段上，另一种是点E在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ①如图1，当点E在线段上时， ， ，，E三点共线. ， . ， ； ②如图2，当点E在的延长线上时， ，，， . 设，则， ， ， ， 解得， ， 综上，的值为9或 故答案为：9或 13．(24-25八下·湖南邵阳新宁县乡镇联考·期末)如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 14．(24-25七下·湖南株洲荷塘区·期末)运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 15．(24-25八上·湖南衡阳船山实验中学·期末)如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是、边上的动点，连接、，、，与相交于点F且．其中结论正确的是 ．（填序号） ①是等腰三角形；②；③；④四边形的面积不发生改变 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键. 由等腰直角三角形的性质，利用证明判断①；由等腰直角三角形的性质得出， 由三角形的外角性质得出， 判断②； 由全等三角形的性质得出，即可得到， 由勾股定理得出，判断③；证出判断④即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的中点， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ，③正确； ∵， ∴， 即四边形的面积不发生改变，④正确； 正确的结论有个， 故答案为：①②③④． 16．(24-25八上·湖南常德武陵区·期末)已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键． （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 17．(24-25八下·湖南长沙宁乡·期末)如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， (1)证明：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求出CD的长，进而可得出结论． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形； （2）解：是直角三角形，， ， 18．(24-25八下·湖南长沙雨花区同升湖学校·期末)如图，，，，，．求：四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴，   ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，     ∴． 地 城 考点03 勾股定理的应用 1．(24-25八下·湖南娄底·期末)如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，证明，得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ， ， ， 答：在该空地上种植草皮面积． 2．(24-25八下·安徽亳州利辛县第四中学、利辛二中、利辛中学等联考·期中)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【答案】的长为3.75尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长度为x尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 3．(24-25八下·湖南永州·期末)文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点（塔底部中心）、、在同一条直线上，当测角仪放在处时测得塔顶部的仰角为，测角仪往前移动42.4米到达点，在处测得顶部的仰角为．求文昌塔的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 【答案】文昌塔的高度约为36.68米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出米，再由30度角的性质求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】由题意得米， 则， ∴， ∴米， 在中，， ， 米． 中， （米） 答：文昌塔的高度约为36.68米． 4．(23-24八下·湖南株洲茶陵县·期末)某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 5．(24-25八下·湖南常德临澧县·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1)的长为； (2)滑块B向左滑动的距离为． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）如图2，，，， 故 由物体C升高，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 6．(24-25八上·湖南长沙华益中学·期末)阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是6，7，8，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 【答案】（1）锐角 （2）13或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据判断三角形的形状； 对于（2），根据勾股定理，并分两种情况计算即可. 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：13或. 地 城 考点04 直角三角形全等的判定 1．(24-25八上·湖南常德武陵区·期末)如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八下·湖南郴州·期末)如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八下·湖南郴州资兴·期末)如图，在点C，F，B，E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴和为直角三角形.     ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴,     ∴． 4．(24-25八下·湖南邵阳新邵县·期末)如图，平分且平分，，点F在射线上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再利用证明，推出，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵平分且平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点05 角平分线的性质 1．(24-25七下·湖南长沙师大附中集团·期末)如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 2．(24-25八下·湖南郴州·期末)如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．过点作于点，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， 为的平分线，于点， ， ∵， ， 即点到的距离是2． 故选：B 3．(24-25八下·湖南永州·期末)如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线，，， ∴， ∴的面积为 故选：A． 4．(24-25八下·湖南郴州资兴·期末)如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，点G在边上．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．过点D作于点H，由作法得：平分，根据角平分线的性质可得，可证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作法得：平分， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 5．(24-25八下·湖南娄底双峰县·期末)如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的三边关系，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得，再结合三角形的任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， 故选：B． 6．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，得到的周长等于是解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再利用“”证明可得，然后求出的周长等于即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， ∵的周长为， ∴． 故答案为． 7．(24-25八下·湖南湘潭湘乡·期末)如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，角的性质． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据角的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．(24-25八下·湖南娄底双峰县·期末)如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：． 9．(24-25八下·湖南永州·期末)如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握此性质是解题的关键；过点C作于点F，由角平分线的性质定理得，由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∵分别平分和， ∴，， ∴， 即分别平分， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．(24-25八下·湖南岳阳岳阳县·期末)如图，在中，平分于点E．若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法．如图，过作于，利用角平分线的性质可以证明，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， 平分，于点． ， ∵， ； 故答案为：． 11．(24-25八下·湖南株洲攸县·期末)如图，是的平分线，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，再根据列方程计算即可得解． 【详解】如图，过点作于点， 为的平分线，，， ， ， ， 即， 解得 ． 故答案为：． 12．(24-25八下·湖南邵阳邵阳县·期末)如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边. 根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $null