第5章直角三角形 章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

章未对点导练 色单元考点整合 考点② 勾股定理及其逆定理 考点①直角三角形的相关性质 5.如图，点B在正方形ADEC的内部，连接 1.若一个等腰三角形的顶角是一个底角的4 AB,BC.若∠B=90°，AB=1,BC=2,则正 倍，腰长为10cm,则底边上的高为( 方形ADEC的面积是 () A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025贵阳期未)一技术人员用刻度尺测量 某三角形部件的尺寸，如图所示，已知 ∠ACB=90°，D为边AB的中点，点A,B 对应的刻度分别为1,7，则CD的长度为 第5题因 第7题图 6.已知a,b,c是△ABC三边的长，且满足关 A.3.5 cm B.3 em C.4.5 cm D.6 cm 系式1c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则△ABC 的形状是 7.一题多解法如图，在边长为4的正方形 B ABCD中，点E,F分别在BC和CD边上， 0cml23456789 m9n9 第2题图 第3题围 且CE=BC,F为CD的中点，连接AE, 3.如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 AF,EF,则∠AFE的度数为 1.5m,为了方使卸货，常用一块木板搭成一 8.古代数学文化出入相补 个斜面.若要使斜面与水平地面的夹角不大 原理是我国古代数学的重 于30°，则这块木板的长度至少为 m 要成就之一，最早由三国 4.(2025吉首期末)如下图，树AB垂直于地 时期数学家刘徽创建.“将 面，小明为测树高，在C处测得∠C一15°，又 第8题图 一个几何图形任意分割成 沿CB方向走了20m,到达D处，测得 多块小图形，几何图形的总面积保持不变， ∠ADB一30°.请你帮助小明计算出树的 等于所分割成的小图形的面积之和”是该原 高度 理的重要内容之一，如图，在长方形ABCD 中，AB=CD=12,AD=BC=16,对角线 AC与BD交于点O,且AO=CO=BO= DO,E为BC边上的一个动点，EF⊥AC, EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF十EG= 9.如图，有一块绿地为Rt△ABC,量得两直角 边AC-8m,BC-6m.现在要将这块绿地 扩充成等腰三角形ABD,且扩充部分 (△ADC)是以8m为直角边长的直角三角 八年级数学划版 形，求扩充后等腰三角形ABD的周长」 考点④角平分线的性质与判定 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°，AD平分∠BAC交BC于点 0 m D,在AB上找一点E,连接DE,使∠ADE 图② 图③ =15°.若CD=3,则DE的长为() (1)在图①中，当AB=AD= m A.33 B.32 时，△ABD的周长为 m. C.6 D.5 (2)在图②中，当BA=BD= 时，△ABD的周长为 m. (3)在图③中，当DA=DB时，求△ABD的 周长 第12题图 第13题因 13.如图，已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于 点C,且DB=DC,∠BAC=40°，∠ADG= 130°，则∠DGF的度数为 14.如图，△ABC的面积是 12,AB-8,∠CAB的平 分线交BC于点D.若 第14题图 M,N分别是线段AD,AC上的动点，则 CM+MN的最小值是 15.如右图，在△ABC中， 考点③直角三角形全等的判定 ∠ABC=50°，∠ACB=60°， 10.如图，在Rt△ABC与 点E,F分别在BC,BA的 Rt△DEF中，∠B=∠E 延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE =90°，AC=DF,AB= 第10题图 的平分线CD相交于点D,连接AD DE,∠A=50°，则∠DFE (1)求证：AD是△ABC的外角平分线， 的度数为 (2)直接写出∠BDC和∠DAC的度数. 11.下图所示的是一个风筝的设计图，其主体 部分为四边形ABCD.已知AB⊥AD,BC ⊥CD,且AB=BC,求证：AD=CD. 上册第5章 △ 已中考真题演练 深度，其示意图如图②，其中AB=AB', 16.(2024陕西A卷改编)如图，在△ABC中， AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2 ∠ABC+∠ACB=90°，AD是BC边上的 尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 高，E是BC的中点，连接AE,则图中的直 角三角形共有 0 诗文：波平知轨一湖西，半尺 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 高处生红莲，亭亭多婆湖中立】 突遭狂风吹一边，喜开原处二 尺运，花殆期面象睡蓬 图 图2 第20题图 第16题图 结17题图 21.(2024宿迁)如图，在 17.(2024南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系 △ABC中，∠B=50, 证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图” ∠C=30°，AD是高，以 是由四个全等直角三角形和中间的小正方 点A为圆心，AB长为半 第21题图 形拼成的一个大正方形.设直角三角形的 径画弧，交AC于点E,再分别以B,E为 两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正 方形面积为5，(m十n)=21,则大正方形 圆心，大于2BE的长为半径画孤，两孤在 面积为 ( ∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则 A.12 B.13 C.14 D.15 ∠DAF- 18.(2024淮安)如图，用9个直角三角形纸片 22.分类过论思想(2024新疆改编)如下图，在 拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB= 角三角形都有一条直角边长为1.记这个图 8.若点D在直线AB上（不与点A,B重 形的周长（实线部分）为1，则下列整数与1 合)，且∠BCD=30°，求AD的长 最接近的是 A.14 B.13 C.12 D.11 第18题调 第19题周 19.(2024安徽}如图，在R1△ABC中，AC BC=2,点D在AB的延长线上，且CD AB,则BD的长是 A.√10-√2 B.√6-2 C.22-2 D.22-√6 20.(2024吉林)图①中有一首古算诗，根据诗 中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水 412 /八年级数学X划版所以OE=OF, 所以DB=CD,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 所以AO平分∠BAC. 所以∠ADB=∠ADC=90,所以90°-∠BAD=90 (2)因为OC⊥CP, -∠CAD 所以∠BCO十∠PCD=90° 因为EF⊥AC,所以∠AFE=∠CFE=90° 所以，∠PCD=90°-∠BCO 因为∠B=90°-∠BAD,∠DGE=∠AGF=90°-∠CAD, 因为∠ABC和，∠ACB的平分线交于点O, 所以∠B=∠DGE. 所以∠P8C+∠B00=2180-∠A=90 因为DE平分，∠ADB, 所以∠BDE=∠GDE, 所以∠PBC=90-7-∠00， ∠B=∠DGE, 在△BDE和△GDE中，∠BDE=∠GDE, 所以∠P=∠PCD-∠PBC=90°-∠BCO-（90- DE=DE, 所以△BDE2△GDE(AAS), ∠o-7a 所以DB=DG,所以DG=CD (2)如图，作DP⊥DF交AC的延长线于 实线应用专题直角三角形中的“项目” 点P,则∠FDP=∠ADC=∠AFE (中考热点) =90°， 1.解：如图，连接AC. 所以∠PDC=∠FDG=90°-∠CDF, 在△ABC中，∠ABC=90',AB=2,BCD ∠ACD=∠AGF=90°-∠CAD, =2√3， 所以∠PCD=180°-∠ACD=180 由勾股定理，得AC=√AB+BC=4. ∠AGF=∠FGD 因为在△ACD中，AC+AD2=32,CD ∠PCD=∠FGD, =32, 在△PCD和△FGD中，CD=GD, 所以AC2+AD2=CD, ∠PDC=∠FDG, 所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90° 所以△PCD2△FGD(ASA), 所以5n=Sam-Sa-号AD,AC 人 AB·BC=8 所以PD=FD, 所以∠DFC=∠P=45 -23. 所以∠DFE=90°-∠DFC=45, 故该模型零件平面图的面积为8一2W3。 所以∠DFE=∠DFC, 2.解：设AB=xm,则AE=(x-1Dm,AC=(x十2)m, 所以FD平分∠EFC. 在Rt△ACE中，CE=9m, 章末对点导练 由勾股定理，得AC=AE十CE, 1.B2.B3.3 所以(x十2)°=(x-1)2十92，解得x=13. 4.解：因为∠ADB=30,∠C=15, 故学校旗杆AB高度为13m 所以∠CAD=∠ADB-∠C=15. 单元整合训练等腰（直角）三角形中全等的 所以，∠C=,∠CAD, 判定与性质的运用（跨单元） 所以AD=CD=20m. 1.解：(1)证明：如图，连接AD,BD, 又因为∠ABD=90”, 因为DG是AB的垂直平分线， 所以AB-受AD-10n,围树的高度为10m 所以BD=AD. 因为CD平分∠BCA,DE⊥BC,DF 5.C6,等腰直角三角形7.90°8.4 ⊥AC, 所以DE=DF 9.解：(1)1032(2)10(20+45) 在Rt△DFA和Rt△DEB中， (3)因为AD=BD,所以设DC=xm,则AD=BD=(6+ AD=BD, x)m.在Rt△ADC中，根据勾股定理，得DC2+AC=AD, DF-DE. 即x+8=(6+x),解得x=3,因为AC=8m,BC= 所l以Rt△DFA≌R:△DEB(HL), 所以AF=BE, 6m,所以根据勾股定理，得AB=√AC十BC=√/8+6 (2在Rt△CDE和Rt△CDF中，DE=DF, (CD=CD, =10(m).故当DA=DB时，△ABD的周长为AD十BD十 所I以Rt△CDE≌Rt△CDF(HL), AB=2×(号+6)+10- 3(m). 所以CE=CF, 10.40 设BE=AF=x. 11.证明：因为AB⊥AD,BC⊥CD,所以∠BAD=∠PCD=90 因为BC=24,AC=10, 所I以CE=CB-BE=24-x,CF=AC十AF=10十x, 在R△AaD有R△cBD中，知-码， 所以24一x=10十x,解得x=7, 所以△ABD≌△CBD(HL),所以AD=CD 所以BE的长为7. 12C13.150°14.3 2证明：(1)因为AB=AC,D是BC的中点， 15.解：(1)正明：如图，过点D分别作DM⊥BF于点M,DN⊥ 44444 上册参考答案 199 AC于点N,DG⊥BE于点G (2)原式=25×(1012-992) 因为BD平分，∠ABC,CD平分∠ACE. =25×(101+99)×(101-99) 所以DM=DG,DN=DG, =25×200×2 所以DM=DN. =10000. 又因为DM⊥BF,DN⊥AC, 14.解：(1)提公因式法2 所以点D在∠CAF的平分线上，即AD是△ABC的外角 (2)原式=(1十x)[1十x十x(x十1)+x(x+1)2+…+x(x 平分线. +1)灯 (2)∠BDC=35°，∠DAC=55 =1+x)2[1+x+x(x+1)+…+xx+1)] 16.C17.B18.B19.B20.x2+22=(x+0.5)221.10 =1十x)[1+x十x(x十1)+x(x+1)2] 22.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8, =(x+1)[1+x十x(x+1)] 所以BC=2X8=4 =(红十1)(1十x) =(x+1)°. 分以下两种情况讨论 (3)(1+x)+ ①当点D在点B左上方时，如图①. 周测二(2.1~2.3) 因为∠ACB=90”∠A■30°， 所以∠ABC=60°， 1.D2.D3.A4.C5.D6.D7.D8.-2 又因为∠BCD=30°， 所以∠BDC=60°-30°=30°， 9.a2w2c10.--2.-5231a号 一4x十8 所以BD=BC=4,所以AD=AB十BD=8十4=12 14.解：(1)原式=工红一2》-x红+2+8 (x十2)(x-2) (x+20(x-2) ②当点D在点B的右下方时，如图②. -4(x-2) 4 因为∠ABC=60°，∠BCD=30°， x+2)(x-2)- x+2 所以∠CDB■90， x2-1 =x-1十x十1 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=4, (2)原式= 所以BD=2, =2x. 所以AD=AB-BD=8-2=6. 一题多解法《 综上所述，AD的长为12或6， x(x-1)十x(x+1) x-1 限时周测 (2)原式= (x十1)(x-1) 周测-(1.1~1.3) 2x2 (x+1)(x-1) (x+1)(x-1) =2x 1.D2.D3.A4.D5A 6.aaa-6)(②4-x+y(8(c-）》月 (3)原式=a十b) a十6 (b-a)1 a-b6+a(-a)‘a+b分- a+6 7.4xy2-4x”y28.a3-2ab-3b3=(a+b)(a-36 9.28或36 15解：0原武2，产( 10.解：(1)原式=2x(x一3) -y=-号+-0 (2)原式=-1 x十4 1 (3)原式=4x-(y-2)°=(2x+y-2)(2x-y+2). x (40原式=y(4xy-4z-y)=-y(4z”-4xy十y2) 1 =-y(2x-y)2 当x2025时，原式-2025， 11.解：1)原式=2x(x2-4)=2x(z+2)(x-2). (2)原式-4+1 a 2a-1 当x■3时，原式=2×3×(3+2)×(3-2)■30. a (2)原式=2(x2-2xy十y2)-25=2(x-y)2-25.因为x a-1可“a-因为a≠0且a≠士1，所以取a-2,则 24-1 =y十4， 所以x一y=4,所以原式=2×42一25=7. 原式-子-2 12.解：1)小恒的解答是从第二步开始出错的.错误的原因：y 16.解：(1)一负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号 与一3y合并同类项计算错误 (2)正确的因式分解过程如下 (3x+y)2-x+3y)3 =(3x十y十x+3y)(3x十y-x-3y) 17.解：(1)妈妈两次加油的总量为200+200-200y+200z xy =(4x十4y)(2x-2y L.妈妈两次加油的平均价格为20y十200zx十 400 =8(x十y)(x一y. 2x义（元/ 18.解：0)原式-号×(30-2×3×24+2 ty 升) 1 =2×(34-2402 (2)设爸爸每次加满油箱的油是4L,则爸爸两次加油的平 =50. 均价格是x2=,2(元/开)因为-是 2 x+y 2 444 200 八年级数学X版