第15讲 一次函数的概念 （知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年苏科版八年级数学上册满分全攻略备课系列

第15讲 一次函数的概念 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.一次函数与正比例函数的定义 2.用数量变化的关系求一次函数表达式 3.用待定系数法求一次函数表达式 题型巩固 一、正比例函数的定义 二、识别一次函数 三、根据一次函数的定义求参数 四、列一次函数解析式并求值 五、求一次函数解析式 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.一次函数与正比例函数的定义 1. 一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2. 正比例函数的定义：特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k ≠ 0)叫作x的正比例函数. 3. 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数y＝kx(k ≠ 0）是一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 知识点2.用数量变化的关系求一次函数表达式 求一次函数表达式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数. 知识点3.用待定系数法求一次函数表达式 1. 待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法. 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式中. 上面的步骤可表示如下： 题型巩固 题型一、正比例函数的定义 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 2．（23-24八年级上·江苏·期末）若关于的函数是正比例函数，则的值是 ． 3．已知y＋2与x成正比例，且x＝－2时，y＝1 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值． 题型二、识别一次函数 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 6．正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 题型三、根据一次函数的定义求参数 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知函数是一次函数，则的值为 ． 9．已知函数y＝(m+1)x+(m2﹣1). (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数. (2)当m取什么值时，y是x的一次函数. 10．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则称这个点叫“和谐点” ．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则称P点是“和谐点”． （1）分别判断点M（1，2）、N（4，4）是否是“和谐点”，并说明理由； （2）若“和谐点”P（m，3）在直线y=x+b（b为常数）上，求m和b的值． 题型四、列一次函数解析式并求值 11．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 12．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 13．1号探测气球从海拔5m出发，以1m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1小时． （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系； （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？ 14．（22-23八年级·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 题型五、求一次函数解析式 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若正比例函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 16．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知与成正比例，当时，，则与之间的函数表达式为 （ ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 分层强化 一、单选题 1．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象经过点，则k的值是（   ） A． B．2 C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 5．对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 6．动点在的斜边上移动，图（2）表示动点到两直角边的距离与之间的函数图像，则满足“”的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 8．某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 二、填空题 9．请写出一个图象经过的函数解析式 ． 10．若函数是关于x的一次函数，则 ． 11．如果函数是关于x的一次函数，那么该函数的表达式为 ． 12．若点在函数上，则 ． 13．拖拉机的油箱装油56千克，犁地时平均每小时耗油6千克，则油箱中剩油量q（千克）与时间t（小时）之间的关系式是 ，自变量的取值范围是 . 14．某航空公司某航班，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客携带的30kg行李的所需运费为 元． 三、解答题 15．已知一次函数，当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝3，求这个函数的表达式． 16．已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 17．已知函数是一次函数，求m的值． 18．已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 19．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)它的图象经过点，求m的值． 20．某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 21．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)当时，y与x的函数解析式 (2)当时，y与x的函数解析式； (3)若某居民该月用水吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 一次函数的概念 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.一次函数与正比例函数的定义 2.用数量变化的关系求一次函数表达式 3.用待定系数法求一次函数表达式 题型巩固 一、正比例函数的定义 二、识别一次函数 三、根据一次函数的定义求参数 四、列一次函数解析式并求值 五、求一次函数解析式 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.一次函数与正比例函数的定义 1. 一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2. 正比例函数的定义：特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k ≠ 0)叫作x的正比例函数. 3. 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数y＝kx(k ≠ 0）是一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 知识点2.用数量变化的关系求一次函数表达式 求一次函数表达式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数. 知识点3.用待定系数法求一次函数表达式 1. 待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法. 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式中. 上面的步骤可表示如下： 题型巩固 题型一、正比例函数的定义 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的式子是正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：函数是关于x的正比例函数， ， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏·期末）若关于的函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，对于一次函数，当时，称为正比例函数． 【详解】解：关于的函数是正比例函数， ， 解得：． 故答案为：． 3．已知y＋2与x成正比例，且x＝－2时，y＝1 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）根据“与成正比例”，设，将，代入求解即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式即可． 【详解】解：（1）∵与成正比例 ∴设 将，代入得，即 ∴，即 ∴与之间的函数关系式为； （2）∵点（，）在该函数图象上 将其代入到中有，解得 ∴的值是 【点睛】本题考查的是一次函数问题，能够根据题意列出一次函数式是解题的关键． 题型二、识别一次函数 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A.自变量x的次数为，不是一次函数，不符合题意； B. 是一次函数，符合题意； C. ，自变量次数为2，不是一次函数，不符合题意； D.当时，（k、b是常数）是常函数，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 【答案】①② 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 6．正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系 【知识点】识别一次函数 【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解； （2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数． 【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040， 1.082﹣1.040＝0.042， 1.124﹣1.082＝0.042， 1.166﹣1.124＝0.042， 即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042； （2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数， 猜测：面积与边长不成一次函数关系． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 题型三、根据一次函数的定义求参数 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【详解】解：函数是一次函数， ，解得，． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 由一次函数的定义得出且，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：2． 9．已知函数y＝(m+1)x+(m2﹣1). (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数. (2)当m取什么值时，y是x的一次函数. 【答案】(1)m＝1；(2)m≠﹣1. 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）根据正比例函数的定义可知m+1≠0且m2-1=0，从而可求得m的值；（2）根据一次函数的定义可知m+1≠0． 【详解】解：(1)∵函数y＝(m+1)x+(m2﹣1)是正比例函数， ∴m+1≠0且m2﹣1＝0. 解得：m＝1. (2)根据一次函数的定义可知：m+1≠0， 解得：m≠﹣1. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 10．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则称这个点叫“和谐点” ．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则称P点是“和谐点”． （1）分别判断点M（1，2）、N（4，4）是否是“和谐点”，并说明理由； （2）若“和谐点”P（m，3）在直线y=x+b（b为常数）上，求m和b的值． 【答案】（1）点不是和谐点，点是和谐点，理由见详解；（2）当时，或当时， 【知识点】坐标与图形、根据一次函数的定义求参数、绝对值方程 【分析】（1）先画出图形，然后根据“和谐点”的定义，利用长方形的面积和周长公式进行推导证明即可； （2）根据“和谐点”的定义，列出关于的方程，解方程可得或，即可得到点的坐标，然后将其代入一次函数解析式，即可求得答案． 【详解】解：（1）结论：点不是和谐点，点是和谐点 理由：∵过点作，过点作，如图： ∴， ∴， ∴ ∴点不是和谐点； ∵过点作，过点作，如图： ∴， ∴， ∴ ∴点是和谐点． （2）∵点是和谐点 ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为 ∴ ∴ ∴或 ∴点的坐标为或 ∵“和谐点”在直线（为常数）上 ∴当时，则，即；当时，则，即 ∴当时，或当时，． 【点睛】本题考查了坐标平面内点到坐标轴的距离和其坐标的关系、长方形的面积公式、长方形的周长公式、一次函数图象上的点的坐标满足其解析式、解含绝对值的方程等，理解题目中的新定义是解决本题的关键． 题型四、列一次函数解析式并求值 11．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 12．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 【答案】64 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 13．1号探测气球从海拔5m出发，以1m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1小时． （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系； （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？ 【答案】（1）y1=t+5， y2=0.5t+15；（2）两个气球能位于同一高度，此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式； （2）两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答． 【详解】（1）根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：y1=t+5， 2号探测气球所在位置的海拔：y2=0.5t+15； （2）两个气球能位于同一高度， 根据题意得：t+5=0.5t+15， 解得：t=20，有t+5=25． 答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度． 14．（22-23八年级·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、列一次函数解析式并求值 【分析】（1）利用新定义计算解题； （2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值； （3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可． 【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：∵点的“2级上升点”为点Q， ∴点Q的坐标为， 又∵点Q在函数图象上， ∴， 解得：； （3）解：设直线上的点坐标为且， 则这点的“级上升点”坐标为， 即， 当时，则 整理得：， 则，解得无解； 当时，则， 解得：， 即，解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题． 题型五、求一次函数解析式 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若正比例函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．将代入即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过， ∴， 解得：， 故选：B． 16．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知与成正比例，当时，，则与之间的函数表达式为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出，从而得到与的关系式；掌握待定系数法求函数关系式的方法是解题的关键． 【详解】解：设， 把，代入得：，解得， ， 即； 故选：D． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入，求出b值，进而可得出一次函数的解析式，结合“奇妙点”的定义可求出另一“奇妙点”的横坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出结论． 【详解】解：∵一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． ∵， ∴， 解得：或． 当时，， ∴一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是． 故答案为：． 分层强化 一、单选题 1．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，将两点坐标代入函数表达式中，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则一次函数的表达式为， 故选：B． 2．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．若函数的图象经过点，则k的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，明确函数图象上点的坐标能使表达式成立是解答本题的关键．把点代入函数中，可直接求k的值． 【详解】解：把点代入函数， 得：，解得， 故选：A． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 5．对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 6．动点在的斜边上移动，图（2）表示动点到两直角边的距离与之间的函数图像，则满足“”的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解与一元一次不等式的应用，解题的关键是根据函数图像上的点坐标求出一次函数解析式． 首先，利用待定系数法求解一次函数解析式，然后利用得到的函数解析式和不等式条件求解x的范围． 【详解】解：设， 由图（2）可知时，，时，， 所以，， 解得， 所以，， ， ， 解得， 又为点到的距离， ， ． 故选：A． 7．某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，设关于的函数解析式为，把和代入得，然后求出的值即可，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 故选：A． 8．某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断C；把代入②的结论进行计算即可判断B；把代入②的结论进行计算可判断D． 【详解】解： 轴， ∴从第50天开始植物的高度不变，故A的说法正确，不符合题意； 设直线的解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，故C的结论正确，不符合题意； 当时，，即第50天，该植物的高度为16厘米，因此该植物的株高最高为16厘米，故B的说法错误，符合题意; 当时，，即第40天，该植物的高度为14厘米；故D的说法正确，不符合题意. 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 二、填空题 9．请写出一个图象经过的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．写出一个经过点的一次函数即可． 【详解】解：经过点的函数的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10．若函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义．形如（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 由一次函数定义得到, ，即可求出答案． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴, , 解得． 故答案为：． 11．如果函数是关于x的一次函数，那么该函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义得到：，由此求得k的值，再代入函数解析式即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且，则， ∴该函数的表达式为， 故答案为：． 12．若点在函数上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标代入得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值． 【详解】解：因为点在函数的图象上，所以，整理得，两边同时乘以2得． 故答案为：2． 13．拖拉机的油箱装油56千克，犁地时平均每小时耗油6千克，则油箱中剩油量q（千克）与时间t（小时）之间的关系式是 ，自变量的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了两变量之间的关系，根据剩油量等于总油量减去耗油量，即可得到油箱中剩油量q（千克）与时间t（小时）之间的关系式，再根据平均每小时耗油6千克即可求得自变量的取值范围，解答本题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一次函数关系式 ． 【详解】解：由题意得油箱中剩油量q（千克）与时间t（小时）之间的关系式是， ∵ ∴自变量的取值范围是， 故答案为：①；② ． 14．某航空公司某航班，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客携带的30kg行李的所需运费为 元． 【答案】450 【分析】根据图形，得出该一次函数经过点，用待定系数法求出其函数表达式，再求出时函数的值即可． 【详解】解：由图可知，得出该一次函数经过点， 设该一次函数表达式为， 把代入得： ，解得：， ∴该一次函数表达式为， 把代入得：， ∴旅客携带的30kg行李的所需运费为450元， 故答案为：450． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解一次函数表达式的方法和步骤． 三、解答题 15．已知一次函数，当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝3，求这个函数的表达式． 【答案】y=﹣0.6x+6.6 【分析】把x=-4，y=9；x=6，y=3，分别代入已知函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组来求它们的值． 【详解】解：由题意，可得方程组， 解得， 所以这个函数的表达式是y=﹣0.6x+6.6． 【点睛】主要考查了用待定系数法求函数的解析式．此题是先根据条件列出关于字母系数的方程组，解方程组求解即可得到函数解析式． 16．已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数，设，将，代入即可求解． 【详解】解：y与成正比例， 设， 当时，， ， 解得， ， 故y与x之间的函数解析式． 17．已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的概念，掌握形如的函数叫一次函数是解题的关键． 根据的函数叫一次函数，得，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 18．已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键； （1）将代入一次函数解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 把代入 得， 解得． （2）因为函数图象与轴交点的纵坐标为， 即当时，， 把代入 得， 解得． 19．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)它的图象经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． （1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解k即可得到答案； （2）把点的坐标代入函数解析式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵时，， ∴， 解得：， ∴，即：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵它的图象经过点， ∴， 解得：． 20．某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【答案】(1) (2)储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度 【分析】本题考查一次函数的应用，求出y与x的函数关系式是解题的关键． （1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y=200时，求出对应x的值，从而写出定义域即可； （2）将对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可． 【详解】（1）每分钟加水量为（升），则， ∴y与x的函数关系式为． （2）当时，解得， 当时，， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 21．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)当时，y与x的函数解析式 (2)当时，y与x的函数解析式； (3)若某居民该月用水吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 【答案】(1)； (2) (3)居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费9元，则用水吨． 【分析】考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的易错点． （1）设出正比例函数，把代入计算即可； （2）设出一次函数，把，代入计算即可； （3）分别代入相应的函数，计算即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴； （2）设函数解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴； （3）当时，元； 当时，， 解得． 答：居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费9元，则用水吨． 学科网（北京）股份有限公司 $