专题01 勾股定理 6大高频考点（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01勾股定理 ☆6大高频考点概览 考点01用勾股定理解三角形 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03勾股定理与折叠问题 考点04以弦图为背景的计算题 考点05用勾股定理构造图形解决问题 考点06勾股定理的应用 目目 考点01 用勾股定理解三角形 1.(24-25八下·河南巩义·期末)在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与 应用，其中有一种古代工匠们使用的名为矩尺的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三 角形，若书中所描述的矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则矩尺的较长 的直角边的长为() 5尺 ?尺 A.7尺 B.8尺 C.12尺 D.13尺 2.(24-25八下河南濮阳期末)如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后 一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是() 2, 3 45678 A.12 B.13 C.14 D.15 3.(2425八下·河南洛阳洛龙区·期中)如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、 1/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 竖直方向的AB、BC两段构成，若BC段长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为 () @警方提醒您已进入 24小时监控区域 请注意您的言行举止 A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm 4.(24-25八上河南平顶山宝丰县·期末)八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度 CE,他们进行了如下操作： A人 ①测得水平距离BD的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小亮的身高为1.7米， (I)求风筝的垂直高度CE; (②)小红认为：想让风筝沿CD方向下降7米，应该往回收线7米.你同意她的说法吗？请说明理由。 5.(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)在△ABC中，∠C=90°，若AC=3,AB=4,则BC的长是() A.5 B.v7 C.7 D.2 6.(24-25八上河南南阳邓州期末)如图，一块四边形ABCD,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°， AB=13m,BC=12m,则这块地的面积为()m2 B D A A.48 B.30 C.24 D.20 7.(24-25八上河南周口太康县期末)若直角三角形的两条直角边长分别是12,16，则斜边长为 8.(24-25八河南周口郸城县名校联考期末)△ABC的三边长为3,4，c,若△ABC是直角三角形，则c的 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值可以是() A.2 B.V7 C.5 D.6 9.(24-25八上·河南鹤壁·期末)如图所示，高速公路上有A,B两点相距14km,C,D为两村庄，已知DA=6 km,CB=8km,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,现要在AB上建造一个服务站点E,使得C,D两村庄到E站 的距离相等，则AE的长是() A.8km B.7km C.7.2km D.8.5km 目目 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 10.(24-25八上河南实验中学.期末)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，正方形AEDC,BCFG的面积分别 为25和144，则AB的长度为() A.13 B.16 C.119 D.V119 11.(24-25八上河南新乡原阳县第五初级中学·期末)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其 三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形， 再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤 若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后 图形中所有正方形的面积和为()· 图① 图② 图③ A.36 B.42 C.48 D.52 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25八下·河南商丘虞城县期末)如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形.已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为() 16 A.8 B.16 C.24 D.32 13.(24-25八下·河南许昌·期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方 形，它们的面积分别记作S1,S2,S3,若S1+S2+S3=50,则S1的值为 S3 S2 14.(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB的长为直径作半圆，当 AC=4,BC=6时，半圆的面积为一，（结果保留π） B 15.(24-25八上·河南平顶山期末)如图，若正方形A,B的面积分别为25和16，则正方形C的边长为() A.3 B.6 C.9 D.12 考点03 勾股定理与折叠问题 16.(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学期末)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边 4/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. B.M B(MY 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=; (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为· 17.(24-25八上河南南阳镇平县期末)如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=8,E为BC边上一点，把△ABC 沿AE折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积为() B A.24 B.18 C.15 D.9 18.(24-25八上·河南新乡封丘县期末)如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=4,将此长方形折叠，使点 C与点A重合，折痕为EF,则BF的长为() A.月 B. C.1 D.i 19.(24-25八上·河南郑州高新区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=V3,点D为线段CA 上的一个动点，将LC沿直线DE折叠，使点C的对应点C'落在射线CA上，连接BC,若Rt△ABC'的某一直角 边等于斜边BC长度的一半时，则CD的长为· 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B 目目 考点04 以弦图为背景的计算题 20.(24-25八下·河南商丘夏邑县·期末)将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若ab=8,c=5, 则图2中阴影部分的面积为() 图1 图2 A.11 B.12 C.9 D.10 21.(24-25八上·河南南阳唐河县期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵 爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小 正方形的边长为2.若用正数a、b表示直角三角形的两条直角边(a<b),则ab=· b 22.(24-25八河南周口郸城县名校联考期末)上图所示的赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正 方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n)若小正方形面积为7，(m+n)2 =31,则大正方形的边长为() m n 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.V14 B.V15 C.17 D.19 考点05 用勾股定理构造图形解决问题 23.(24-25八上河南郑州中牟县·期末)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一 个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c. G H B 图① 图② (1)请利用图①证明：a2+b2=c2; (②)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图形的周 长为80,0B=5,求该图形的面积. 24,(24-25八上河南郑州二七区·期末)2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功.为庆祝这一喜讯， 郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相.图 图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度，以 下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米： ③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米. 己知A、B、C、D点在同一平面内. C A (I)求风筝离地面的垂直高度CD: (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方 向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题， 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 勾股定理的应用 25.(2425八上·河南平顶山汝州期中)消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能仲长到25米，消防 车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长， 此时消防车的位置A与楼房的距离0A为15米， 房 0 A消防车 地面 图1 图2 (1)求B处与地面的距离 (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩， 消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 26.(24-25八下·河南开封期末)如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，梯子底端B到墙底部 O的距离B0为0.7m,如果将梯子顶端A沿墙下滑0.4m到C处，梯子底端B将外移的距离BD为() OB D A.0.8m B.0.7m c.0.6m D.0.5m 27.(2425八上·河南鹤壁期末)《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺， 其木至地问木长几何？其大意是：墙AB高1丈(1丈=10尺)，一根木棒AC靠于墙壁，木棒上与墙头齐 平.当木棒下端沿地面从点C向右滑动1尺到点D时，木棒上端恰好沿墙壁从点A下滑到点B(如图所 示)，问木棒长多少尺？ CD 28.(24-25八上河南郑州经开区外国语学校·期末)强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是()m. 5m 12m 7777777777777777777777777777777777777 A.12 B.13 C.17 D.18 29.(24-25八下·河南安阳安阳县·期末)图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖 水深度，其示意图如图2，其中AB=AB',AB1BC于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺，则AC的长度为() 诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲。亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺远， 花贴湖面像睡莲。 A 图1 图2 A.3尺 B.3.75尺 C.4尺 D.4.25尺 30.(24-25八上河南南阳社旗县期末)如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树 顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是， 51m -12m产 图1 图2 31.(24-25八上河南南阳新野县·期末)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着 地且离旗杆底部A的距离为4m. B (1)求旗杆在距地面多高处折断： (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处 吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 32.(24-25八下，河南安阳北关区期末)如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm,高为8cm的圆 柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是() 9/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5≤h≤7B.2≤h≤4 C.4≤h≤6 D.3≤h≤5 33,(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm,高为8cm的圆柱 形笔筒中，设圆珠笔在笔简外面的长度为acm,则a的取值范围是(） A.a≤10 B.a≤8 C.a≥6 D.4≤a≤6 34.(24-25八上河南平顶山汝州期末)某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m,宽AB为1 m,该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有0.6m宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能 压双黄线.现有一辆货运卡车高4m,宽2m,则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由. D B C 35.(2425八上·河南南阳新野县·期末)如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=√13 米，AB=2米，点P到AF的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程是()米 E D B A.5 B.V18 C.V13 D.3 E D B此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， PA=V13米，AB=2米，点P到AF的距离是3米， PG=3米， 4G=PA2-PG2=(W132-32=2(米)， BG=GA+AB=2+2=4(米)， 10/11 专题01 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点03 勾股定理与折叠问题 考点04 以弦图为背景的计算题 考点05 用勾股定理构造图形解决问题 考点06 勾股定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．(24-25八下·河南巩义·期末)在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（   ） A．7尺 B．8尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：C． 2．(24-25八下·河南濮阳·期末)如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，先理解题意得，结合勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八下·河南洛阳洛龙区·期中)如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期末)八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小亮的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小红认为：想让风筝沿方向下降米，应该往回收线米．你同意她的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)不同意小红的说法，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理，求得的长度，进而即可求解； （2）在线段上截点，使米，根据勾股定理，即可求解； 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴，（负值舍去）， 由题意易得， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； （2）不同意小红的说法． 理由如下：在线段上截点，使米， 由题意得， ∴（米）， ∴（米） ∴（米） 即：应该往回收线米，不同意小红的说法． 5．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)在中，，若，，则的长是（    ） A．5 B． C．7 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据，，，得到是斜边，根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴是斜边， ∴， 故选：B ． 6．(24-25八上·河南南阳邓州·期末)如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为（   ） A．48 B．30 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，在根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ，即为直角三角形， 这块地的面积为． 故选：C． 7．(24-25八上·河南周口太康县·期末)若直角三角形的两条直角边长分别是12，16，则斜边长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理，已知两条直角边长，由勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是12，16， ∴斜边长． 故答案为：20． 8．(24-25八·河南周口郸城县名校联考·期末)的三边长为3，4，，若是直角三角形，则的值可以是（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若4是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理，得：， 所以； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得， 所以； 所以第三边的长为5或， 故选：B． 9．(24-25八上·河南鹤壁·期末)如图所示，高速公路上有两点相距，为两村庄，已知，，于点，于点，现要在上建造一个服务站点，使得两村庄到站的距离相等，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ，， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A ． 地 城 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 10．(24-25八上·河南实验中学·期末)如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：，，， ， ． 故选：A． 11．(24-25八上·河南新乡原阳县第五初级中学·期末)如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 12．(24-25八下·河南商丘虞城县·期末)如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故选：B． 13．(24-25八下·河南许昌·期末)如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：25 14．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在中，，以斜边的长为直径作半圆，当，时，半圆的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积的计算，掌握勾股定理，半圆面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理得到，再根据半圆面积的计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵以斜边的长为直径作半圆， ∴半圆的面积， 故答案为： ． 15．(24-25八上·河南平顶山·期末)如图，若正方形，的面积分别为25和16，则正方形的边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， ∴（负值舍去）． 故选A． 地 城 考点03 勾股定理与折叠问题 16．(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 17．(24-25八上·河南南阳镇平县·期末)如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 18．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 19．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算题 20．(24-25八下·河南商丘夏邑县·期末)将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 21．(24-25八上·河南南阳唐河县·期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值．由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 22．(24-25八·河南周口郸城县名校联考·期末)上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 地 城 考点05 用勾股定理构造图形解决问题 23．(24-25八上·河南郑州中牟县·期末)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 24．(24-25八上·河南郑州二七区·期末)2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 地 城 考点06 勾股定理的应用 25．(24-25八上·河南平顶山汝州·期中)消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 26．(24-25八下·河南开封·期末)如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 27．(24-25八上·河南鹤壁·期末)《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 【答案】50.5尺 【分析】本题考查勾股定理解古代问题，涉及勾股定理、解方程等知识，读懂题意，数形结合，由勾股定理列方程求解即可得到答案，读懂题意，以勾股定理建立方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 答：木棒的长为尺． 28．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 29．(24-25八下·河南安阳安阳县·期末)图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 30．(24-25八上·河南南阳社旗县·期末)如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是 ． 【答案】/18米 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，作出直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，由题意构造出直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，、， 在中，由勾股定理可得， 这棵大树在折断之前的高是， 故答案为：． 31．(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 32．(24-25八下·河南安阳北关区·期末)如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 33．(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示，此时，， ∴最短为； 如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为， 故的取值范围是， 故选：D． 34．(24-25八上·河南平顶山汝州·期末)某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能通过该隧道，理由见解析． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 35．(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 36．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理．正确画出图形是解题关键．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如下图，则， ， 即龙头不符的长为， 故选：． 37．(24-25八上·河南南阳宛城区·期末)如图，长方体盒子的长，宽，高分别是、、．在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是 ；此长方体盒子内能容下一根最大长度是 的木棒．（以上两空结果都可以保留根号） 【答案】 26 【分析】本题考查了长方体的平面展开图，勾股定理的应用； （1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． （2）利用长方体的性质，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）将长方体沿剪开，使与在同一平面内，得到如图所示的长方形， 连接， ∵长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是、、， 即， ∴， 故答案为：； （2）连接，， 在中，，由勾股定理得，， 在中，，， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 38．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】26 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $