第14讲 二元一次方程组概念与解法（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第14讲 二元一次方程组概念与解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二元一次方程 2.二元一次方程组 3.二元一次方程的解 4.二元一次方程组的解 5.用代入消元法解二元一次方程组 6.用加减消元法解二元一次方程组 题型巩固 一、二元一次方程的定义 二、二元一次方程的解 三、判断是否是二元一次方程组 四、判断是否是二元一次方程组的解 五、已知二元一次方程组的解求参数 六、根据实际问题列二元一次方程组 七、根据几何图形列二元一次方程组 八、代入消元法 九、加减消元法 十、二元一次方程组的特殊解法 十一、二元一次方程组的错解复原问题 十二、构造二元一次方程组求解 十三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 十四、方程组相同解问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二元一次方程 定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 条件 (1)必须是整式方程(分母中不含未知数)； (2)方程中含有两个未知数(二元)； (3)含有未知数的项的次数都是1(一次) 一般形式 ax+by=c( a， b， c 为常数，且 ab ≠ 0) 示例 x－2y+1=0， x+y=5 知识点2.二元一次方程组 定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 条件 (1)两个方程都是整式方程；(2)共含两个未知数；(3)两个方程都是一次方程 示例 方程 x+y=2 和 2x－y=4 中， x， y 所代表的对象分别相同，因而 x， y 必须同时满足方程 x+y=2 和 2x－y=4，把它们联立起来， 知识点3.二元一次方程的解 定义 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解 示例 x=6， y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作 判断方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值代入方程，看等式是否成立 知识点4.二元一次方程组的解 定义 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解 示例 既是方程 x+y=5 的一个解，又是方程 x－y=3 的一个解，所以 是方程组 的解 判断方法 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解 知识点5.用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法:将方程组中其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。消元：“二元”变“一元” 2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 (1)变形 选取一个二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 知识点6.用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 (1)变形 根据绝对值较小的未知数的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数 使该未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程两边分别相加(减) (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 题型巩固 题型一、二元一次方程的定义 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 或 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 题型二、二元一次方程的解 4．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将各选项中的和代入方程，验证是否等于10即可． 【详解】解：A．将，代入方程：，是方程的解，符合题意； B．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； C．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； D．将，代入方程：，不是方程的解，不符合题意； 故选：A． 5．（2023八年级上·全国·竞赛）正整数满足等式，那么 ， ． 【答案】 2 1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程．将原式化简得到，结合a，b为正整数求出符合题意的即可． 【详解】解：， 即， ∵为正整数， ∴只有，符合要求， 故答案为：2，1． 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 【答案】物品最少有23个 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查二元一次方程的应用，根据三三数之余二，七七数之余二可设三三分为x组，七七分为y组，则可列方程，根据为非负整数，且最小，可得物品最少数量，且验证为五五数之余三即可． 【详解】解：设三三数时分为x组，七七数时分为y组，则 ， ∴， ∴， ∵为非负整数，且最小， ∴当时，， 此时，，与五五数之余三不符， ∴， ∴物品最少为个， 且， 所以，物品最少有23个． 题型三、判断是否是二元一次方程组 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意． 故选：A． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 10．在①，②，③三对数值中， 是方程x＋y＝3的解， 是方程3x＋2y＝5的解， 是方程组的解．(填序号) 【答案】 ①③ ②③ ③ 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】适合方程组的每一个方程的未知数的值即为方程组的一个解,只需把三个解观察代入方程,即可判断． 【详解】解: (1)将①代入方程x＋y＝3左边得: ,右边=3,是方程x＋y＝3的解; 将②代入方程x＋y＝3左边得:,右边=3,所以②不是x＋y＝3的解;将③代入方程x＋y＝3左边得: ,右边=3,所以③是方程x＋y＝3的解;故答案为: ①③, (2)将①代入方程3x＋2y＝5左边得: ,右边=5,不是方程3x＋2y＝5的解; 将②代入方程3x＋2y＝5左边得:,右边=5,所以②是3x＋2y＝5的解;将③代入方程3x＋2y＝5左边得: ,右边=5,所以③是方程3x＋2y＝5的解;故答案为: ②③, (3)根据(1)(2)可得③是x＋y＝3的解,也是方程3x＋2y＝5的解,故答案为: ③. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解,解决本题的关键是要熟练掌握方程组的解的定义. 题型五、已知二元一次方程组的解求参数 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 12．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．根据题意，把代入方程得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得：， 解得：， 故答案为：1． 13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【详解】解：， ，， ③， 把③代入中，得， 解得：． 题型六、根据实际问题列二元一次方程组 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据根据得到电压表数量和电流表数量的等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表， 根据题意有：， 故选：A． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到庐山、婺源旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问甲、乙两个旅游团各有多少人？设甲、乙两个旅游团分别有x人、y人．根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程组． 设甲、乙两个旅游团分别有x人、y人，根据人数的数量关系，列出方程组即可． 【详解】解：设甲、乙两个旅游团分别有x人、y人，根据题意得， 故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业． 小明：把一些书分给几个同学，若每人分4本，则余6本；若每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数． 小华：小王去买练习本，随身带的钱若买4本练习本，还余6元；若买6本练习本，则差4元，求每本练习本的价格和小王随身带的钱数． 根据两人所说的情境是否能得到上述方程组？请判断，并说明理由． 【答案】能得到，理由见解析 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．根据两人所说情境，设未知数，列出方程组即可判断． 【详解】解：根据两人所说的情境能得到上述方程组．理由如下： 小明：设学生的人数为人，书的总本数为本，则， 所以根据小明所说的情境能得到上述方程组． 小华：设每本练习本的价格为元，小王随身带的钱数为元， 则， 所以根据小华所说的情境能得到上述方程组， 所以根据两人所说的情境能得到上述方程组． 题型七、根据几何图形列二元一次方程组 17．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式． 【详解】解：根据图题意得：， 故选：． 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、折叠问题 【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角．根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 19．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 题型八、代入消元法 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质．先将移到方程右边，再两边都除以2即可． 【详解】解： 即， 则． 故选：C． 21．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数． 根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】， 将①变形为③， 将③代入②中， 即， 所以， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟记消元法解二元一次方程组是解决问题的关键． 先将方程组中②恒等变形为③，将③代入①求解得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得； 将​代入③得：； 原方程组的解为． 题型九、加减消元法 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由得，， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 故选：B． 24．方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组． 求出，将代入求出即可． 【详解】解：， 得， 解得：， 将代入得， 解得， ∴， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴把代入，得， ∴， 解得； 则， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴，得， 解得， 则， ∴， ∴方程组的解为． 题型十、二元一次方程组的特殊解法 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的运算法则是解题的关键．根据题意，使②①即可得到答案． 【详解】解：， ②①得：， ， ． 故选：C． 27．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 设，，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可； 【详解】解：设，，则方程组可化为， ∵关于x，y的方程组的解为 ∴， ∴， 即， 故答案为：. 28．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解阅读材料中的“整体代换”的解法是解决问题的关键． （1）由阅读材料中的方法，将②恒等变形为③，再将方程①代入求出，进而得到即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法，将①恒等变形为③，再将方程②代入得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 将②变形得：③， 把方程①代入③得：； 把代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， 将①变形得：③， 把方程②代入③得：， 则． 题型十一、二元一次方程组的错解复原问题 29．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【答案】 2 1 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值及原方程组的解． 【答案】， 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解． 【详解】解：将代入②，得． 将代入①，得， 解得． 把代入方程组，得 ，得， 解得． 将代入③，得， 则原方程组的解为． 题型十二、构造二元一次方程组求解 31．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 32．若（2x+y﹣5）0＝1无意义，且3x+2y＝10，则x＝ ，y＝ ． 【答案】 0 5 【知识点】零指数幂、构造二元一次方程组求解 【分析】根据题意直接利用零指数幂的性质得出2x+y﹣5=0，进而得出关于x，y的方程组求出即可． 【详解】解：∵（2x+y﹣5）0＝1无意义，且3x+2y＝10， ∴， 解得：. 故答案为：0，5. 【点睛】本题主要考查零指数幂的性质以及二元一次方程组的解法，正确解二元一次方程组是解题的关键． 33．（1）请你写出一个关于x，y的二元一次方程组，使该方程组无解． （2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能，这些二元一次方程组中的系数之比与的系数之比相同，且不等于常数项之比 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）写出一个无解的二元一次方程组即可； （2）根据二元一次方程组中未知数的系数的比的关系，方程组无解，写出即可． 【详解】解：（1）例如：，该方程组无解； （2）能，例如：，．．． 这些二元一次方程组中的的系数之比与的系数之比相同，且不等于常数项之比． 题型十三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 34．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，通过消元与代入求解，关键是将参数m消去后联立已知条件． 通过将原方程组中的m用x和y表示，代入另一个方程消去m，得到关于x和y的方程，再与给定的联立求解x和y，最后代入求m． 【详解】解：∵ 方程组且解适合， 由方程②得：， 代入方程①：， 即， 整理得：，即， 两边乘以：， ∴ 得， 联立方程： 由③得：， 代入：， ， ， ， ， ∴， 代入， 故选：A． 35．（25-26八年级上·湖南长沙）若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握方程组的解以及解二元一次方程组是解题的关键． 根据方程组的解x与y互为相反数，即可将替换成，解关于与的方程即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数， ∴，即， 把代入，可得：， 解得：， 故答案为：1； 36．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 题型十四、方程组相同解问题 37．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 38．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 39．（23-24八年级上·全国·期末）已知方程组与的解相同，求的值． 【答案】9 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可 【详解】解：∵方程组与的解相同 ∴ 解得： 将代入得 解得： ∴. 分层强化 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程组的意义是解题关键． 【详解】解：A、该方程组是二元二次方程组，不符合题意； B、该方程组是三元一次方程组，不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，符合题意； D、该方程组是二元二次方程组，不符合题意． 故选：C． 2．解方程组①②时，比较简便的方法是（    ） A．都用代入消元法 B．①用代入消元法，②用加减消元法 C．都用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组时的基本方法：代入消元法即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解；加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同或互相反数时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程，针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法． 【详解】解：①中的第一个方程为，用代入法比较简便； ②中的x的系数相等，用加减法比较简便； 故选：B． 3．已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值， 先根据二元一次方程组的解求出a，b，再求出代数式的值即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 所以. 故选：C. 4．对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题中所给新定义运算；由题中所给新定义运算可得，求出，然后再根据，将代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．已知关于的方程组和的解相同，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据已知条件可知方程组和的解相同，利用加减消元法解方程组，求出x，y，再代入得关于a，b的方程组，利用代入法解方程组，求出a，b，最后代入所求式子进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解相同， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 把代入得：， 解得， ∴， 故选：B． 6．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1， 联立得：， 解得： ， 由3c+2=-4，得到c=-2， 则a+b+c=4+5-2=7． 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键． 设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据函数图象可以得出：小明用秒跑的路程与小刚用跑的路程相等，小明跑了a秒后还需要300秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要200秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得 ， 解得：， 故这次越野跑的全程为：1600+300×1.5=1600+450=2050（米）， 即米． 故选：C． 8．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 9．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 二、填空题 10．若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：代入到方程，得， 解得：． 故答案为：． 11．如果是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 3 0 【分析】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：3，0． 12．已知x，y满足方程组，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，即可求出的值． 【详解】解： 得，， ∴， 故答案为：3． 13．若2am+2nb7+a5bn﹣2m+2的运算结果是3a5b7，则2m2+3mn+n2的值是 ． 【答案】2 【分析】根据同类项的定义可得关于m、n的二元一次方程组，解方程组求得m、n的值，继而代入代数式即可求解． 【详解】∵的运算结果是， ∴ 解得： ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查合并同类项，涉及到解二元一次方程组，解题的关键是根据同类项的定义求得m、n的值． 14．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 15．已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 78 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于，且由，得，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设． 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为． 设的最小值为B，不妨设． 对任意，有， 假设存在，使，因为，且由，得， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴ 所以，时，取最小值， ∴． 故答案为：318；78． 16．已知关于的方程组，以下结论其中成立的是 ． ①存在实数k，使得；②不论k取何值，的值始终为；③当时，；④当时，方程组的解也是方程的解． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可． 【详解】解：解方程组，得方程组的解为， 当时，， 解得， 故存在实数k，使得， 故结论①正确； ∵，与无关，始终为1， 故结论②错误， 若，代入得：， 解得， 故结论③正确； 当时，，， 则， 故当时，方程组的解也是方程的解， 故结论④正确； 故答案为：①③④． 17．十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则 ； （2）已知，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 19．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若，平移线段，使点A，B的对应点分别为点，求m，c的值； 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、平面直角坐标系中两点间距离、平移的性质，熟练掌握平移前后对应点坐标变化规律是解题的关键． （1）根据两点纵坐标相同，判断线段平行于轴，利用横坐标之差的绝对值求线段长度． （2）根据平移的性质，对应点的坐标变化规律相同，列出方程组求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点，， ∵两点纵坐标相同， ∴轴， ∴； （2）解：∵线段平移得到线段， ∴平移规律相同，即， 又∵， ∴， 化简得， 解得． 21．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 22．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元法，第四步 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算． （2）按照解方程组的步骤求解即可 【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错， 故答案为：加减消元法，第四步． （2）方程组： 解：①×2，得……③  ， ②－③，得 ， 解得．   将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 23．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 24．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标标． 【答案】(1)， (2)，或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解：， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 二元一次方程组概念与解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二元一次方程 2.二元一次方程组 3.二元一次方程的解 4.二元一次方程组的解 5.用代入消元法解二元一次方程组 6.用加减消元法解二元一次方程组 题型巩固 一、二元一次方程的定义 二、二元一次方程的解 三、判断是否是二元一次方程组 四、判断是否是二元一次方程组的解 五、已知二元一次方程组的解求参数 六、根据实际问题列二元一次方程组 七、根据几何图形列二元一次方程组 八、代入消元法 九、加减消元法 十、二元一次方程组的特殊解法 十一、二元一次方程组的错解复原问题 十二、构造二元一次方程组求解 十三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 十四、方程组相同解问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二元一次方程 定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 条件 (1)必须是整式方程(分母中不含未知数)； (2)方程中含有两个未知数(二元)； (3)含有未知数的项的次数都是1(一次) 一般形式 ax+by=c( a， b， c 为常数，且 ab ≠ 0) 示例 x－2y+1=0， x+y=5 知识点2.二元一次方程组 定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 条件 (1)两个方程都是整式方程；(2)共含两个未知数；(3)两个方程都是一次方程 示例 方程 x+y=2 和 2x－y=4 中， x， y 所代表的对象分别相同，因而 x， y 必须同时满足方程 x+y=2 和 2x－y=4，把它们联立起来， 知识点3.二元一次方程的解 定义 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解 示例 x=6， y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作 判断方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值代入方程，看等式是否成立 知识点4.二元一次方程组的解 定义 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解 示例 既是方程 x+y=5 的一个解，又是方程 x－y=3 的一个解，所以 是方程组 的解 判断方法 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解 知识点5.用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法:将方程组中其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。消元：“二元”变“一元” 2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 (1)变形 选取一个二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 知识点6.用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 (1)变形 根据绝对值较小的未知数的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数 使该未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程两边分别相加(减) (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 题型巩固 题型一、二元一次方程的定义 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 题型二、二元一次方程的解 4．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023八年级上·全国·竞赛）正整数满足等式，那么 ， ． 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 题型三、判断是否是二元一次方程组 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 10．在①，②，③三对数值中， 是方程x＋y＝3的解， 是方程3x＋2y＝5的解， 是方程组的解．(填序号) 题型五、已知二元一次方程组的解求参数 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 题型六、根据实际问题列二元一次方程组 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到庐山、婺源旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问甲、乙两个旅游团各有多少人？设甲、乙两个旅游团分别有x人、y人．根据题意，可列方程组为 ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业． 小明：把一些书分给几个同学，若每人分4本，则余6本；若每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数． 小华：小王去买练习本，随身带的钱若买4本练习本，还余6元；若买6本练习本，则差4元，求每本练习本的价格和小王随身带的钱数． 根据两人所说的情境是否能得到上述方程组？请判断，并说明理由． 题型七、根据几何图形列二元一次方程组 17．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　）    A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 19．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 题型八、代入消元法 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知，则用含的式子表示为 ． 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）解方程组：． 题型九、加减消元法 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解为（   ） A． B． C． D． 24．方程组的解为 ． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 题型十、二元一次方程组的特殊解法 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 28．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 题型十一、二元一次方程组的错解复原问题 29．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值及原方程组的解． 题型十二、构造二元一次方程组求解 31．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 32．若（2x+y﹣5）0＝1无意义，且3x+2y＝10，则x＝ ，y＝ ． 33．（1）请你写出一个关于x，y的二元一次方程组，使该方程组无解． （2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征，如果不能，请说明理由． 题型十三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 34．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（25-26八年级上·湖南长沙）若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为 ． 36．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 题型十四、方程组相同解问题 37．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 38．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 39．（23-24八年级上·全国·期末）已知方程组与的解相同，求的值． 分层强化 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 2．解方程组①②时，比较简便的方法是（    ） A．都用代入消元法 B．①用代入消元法，②用加减消元法 C．都用加减消元法 D．①用加减消元法，②用代入消元法 3．已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 5．已知关于的方程组和的解相同，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 6．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 8．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 二、填空题 10．若是方程的一个解，则的值为 ． 11．如果是二元一次方程，则 ， ． 12．已知x，y满足方程组，则的值是 ． 13．若2am+2nb7+a5bn﹣2m+2的运算结果是3a5b7，则2m2+3mn+n2的值是 ． 14．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 15．已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 16．已知关于的方程组，以下结论其中成立的是 ． ①存在实数k，使得；②不论k取何值，的值始终为；③当时，；④当时，方程组的解也是方程的解． 17．十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则 ； （2）已知，若，，则 ． 三、解答题 18．用加减法解下列方程组： (1) (2) 19．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若，平移线段，使点A，B的对应点分别为点，求m，c的值； 21．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 22．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 23．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 24．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标标． 学科网（北京）股份有限公司 $