第15讲 二元一次方程组的应用（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第15讲 二元一次方程组的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.列二元一次方程组解实际问题 2.列二元一次方程组解古算问题 3.列二元一次方程组解增收节支问题 4.列二元一次方程组解行程问题 题型巩固 一、方案问题(二元一次方程组的应用) 二、行程问题(二元一次方程组的应用) 三、工程问题(二元一次方程组的应用) 四、数字问题(二元一次方程组的应用) 五、分配问题(二元一次方程组的应用) 六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 八、几何问题(二元一次方程组的应用) 九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 十、古代问题(二元一次方程组的应用) 十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系； (2)设：设未知数，可直接设，也可间接设；“设”“答”两步都要写清单位名称。 列方程组时，方程中不出现单位 (3)列：根据等量关系列方程组； (4)解：求出所列方程组的解； (5)答：写出答案，包括单位名称 知识点2.列二元一次方程组解古算问题 古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解。 知识点3.列二元一次方程组解增收节支问题 在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式： (1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价； 商品利润率=× 100 % 。 (2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数； 本息和= 本金+ 利息。 (3) 增长(降低)率问题， 增长率=×100％； 降低率=×100％ 增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)； 下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。 提示为了厘清题目中的各个量之间的关系，常采用列表分析法，列表时，常在最左边一栏和最上面一行中填上一些项目名称，依次填入表格内容。 知识点4.列二元一次方程组解行程问题 行程问题的三种基本类型 (1) 相遇问题 相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题 图示 等量关系 v甲 t+v乙t=S总 (S环形周长) (2) 追及问题 追及问题 直行追及问题 环形追及问题 图示 等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) (3)航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水 题型巩固 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有（    ）种购买方案． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 3．（23-24八年级上·重庆江北·期末）某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（立方米/件） 质量（吨/件） 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元． 现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？ 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 题型三、工程问题(二元一次方程组的应用) 7．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 题型四、数字问题(二元一次方程组的应用) 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为 ． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 题型五、分配问题(二元一次方程组的应用) 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 13．新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 题型六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是（   ） 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰/支 3 6 9 4 奶油棒冰/支 4 2 11 7 总价/元 18 20 51 29 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖 元，每根B种跳绳卖 元． 17．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求A、B型汽车的进价． 题型七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 18．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 19．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 题型八、几何问题(二元一次方程组的应用) 21．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为 ． 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 24．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是温度计的示意图，左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度，之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示． x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为时，对应的华氏温度应为 ． 26．（24-25八年级·江苏宿迁·月考）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 题型十、古代问题(二元一次方程组的应用) 27．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二：人出六，不足三、问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱：每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价；一马，二牛价不满一万，如半牛之价，问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可列方程组为 ． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 题型十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 30．（2025八年级上·全国·专题练习）据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料 L，乙种原料 L． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）现有条形和元宝形两种铁锭，小明想知道它们的质量，而身边只有的砝码．经过试验，小明得到如图所示的两种使天平平衡的摆放方式 根据以上信息分别求出每块条形铁锭和每块元宝形铁锭的质量． 分层强化 一、单选题 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 4．若单项式2x2ya+b与-xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(    ) A．a＝3，b＝1                    B．a＝-3，b＝1 C．a＝3，b＝-1 D．a＝-3，b＝-1 5．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 7．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 8．某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下表格是4天的记录： 牙刷（支） 牙膏（盒） 收入（元） 第1天 13 7 144 第2天 14 7 147 第3天 20 10 210 第4天 23 20 366 聪明的小明发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（   ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 9．某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 10．小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、填空题 11．为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 12．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 13．《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为 ．（只列不解） 14．如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为．请你判断：1个物块B的质量是 ．    15．对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“博远数”；如357就是一个“博远数”．将“博远数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为． （1）的值是 ； （2）规定：与11的商记为，即．若“博远数”n满足（且x，y均为整数），且，则n的最大值为 16．琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车． 问： （1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍． （2）7路公交车总站每间隔 发一辆车． 三、解答题 17．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 18．某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？ 19．小明用8块大小一样的长方形瓷砖恰好拼成一个大的长方形（如图1）；小红也用8块这种瓷砖拼出了一个正方形（如图2），但中间还留下一个边长为的小正方形（阴影部分）．你能求出这些长方形瓷砖的长和宽吗？ 20．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 21．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 22．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元． (1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ (2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 23．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为元，资助一名小学生的学习费用为元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 年级 捐款数额（元） 资助贫困中学生人数（名） 资助贫困小学生人数（名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 (1)求、的值； (2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少． 24．某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 二元一次方程组的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.列二元一次方程组解实际问题 2.列二元一次方程组解古算问题 3.列二元一次方程组解增收节支问题 4.列二元一次方程组解行程问题 题型巩固 一、方案问题(二元一次方程组的应用) 二、行程问题(二元一次方程组的应用) 三、工程问题(二元一次方程组的应用) 四、数字问题(二元一次方程组的应用) 五、分配问题(二元一次方程组的应用) 六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 八、几何问题(二元一次方程组的应用) 九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 十、古代问题(二元一次方程组的应用) 十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系； (2)设：设未知数，可直接设，也可间接设；“设”“答”两步都要写清单位名称。 列方程组时，方程中不出现单位 (3)列：根据等量关系列方程组； (4)解：求出所列方程组的解； (5)答：写出答案，包括单位名称 知识点2.列二元一次方程组解古算问题 古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解。 知识点3.列二元一次方程组解增收节支问题 在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式： (1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价； 商品利润率=× 100 % 。 (2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数； 本息和= 本金+ 利息。 (3) 增长(降低)率问题， 增长率=×100％； 降低率=×100％ 增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)； 下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。 提示为了厘清题目中的各个量之间的关系，常采用列表分析法，列表时，常在最左边一栏和最上面一行中填上一些项目名称，依次填入表格内容。 知识点4.列二元一次方程组解行程问题 行程问题的三种基本类型 (1) 相遇问题 相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题 图示 等量关系 v甲 t+v乙t=S总 (S环形周长) (2) 追及问题 追及问题 直行追及问题 环形追及问题 图示 等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) (3)航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水 题型巩固 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有（    ）种购买方案． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲种运动服买了x/套，乙种运动服买了y套，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设甲种运动服买了x/套，乙种运动服买了y套， 根据题意得：20x+35y=365， 解得：y=， 当x=6时，y=7； 当x=13，y=3， 则购买方案有2种， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找出方程的正整数解是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【答案】33.5 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 3．（23-24八年级上·重庆江北·期末）某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（立方米/件） 质量（吨/件） 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元． 现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？ 【答案】(1)种型号商品有5件，种型号商品有8件 (2)先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题． （1）设A、B两种型号商品各x件、y件，根据体积与质量列方程组求解即可； （2）①按车付费=车辆数；②按吨付费=；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较． 【详解】（1）解：设A、B两种型号商品各x件、y件， ， 解得， 答：种型号商品有5件，种型号商品有8件； （2）①按车收费：（辆），但是车辆的容积， ∴3辆车不够，需要4辆车， （元）； ②按吨收费：（元）； ③一辆车：5件A型1件B型，按车收费；两辆车：各3件B型，按车收费一辆车：1件B型，按吨收费一次运输，共付费（元）， ∵， ∴先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元． 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据总路程为可得；根据总时间为2小时，利用时间=路程/速度，可得乘车时间与步行时间之和为2． 【详解】∵ 总路程为， ∴ ； ∵ 总时间为，且时间=路程速度， ∴ 乘车时间，步行时间， ∴， 故方程组正确为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为，小明骑山地车的速度是，小强骑自行车的速度是，若小强先出发，则小明追上小强时，两人距离B地 ． 【答案】4.8 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地，根据“A，B两地之间的距离为”“ 小强先出发”列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地， 由题意，得， 解得， 即小明追上小强时，两人距离B地． 故答案为：4.8． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 题型三、工程问题(二元一次方程组的应用) 7．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 题型四、数字问题(二元一次方程组的应用) 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 10．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为 ． 【答案】 1035 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设较大的两位数为，较小的两位数为，根据两个两位数的和为68，以及两个四位数的差为2178，列出方程组求解，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴这两个数的乘积为． 故答案为：1035． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【知识点】列代数式、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 题型五、分配问题(二元一次方程组的应用) 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 13．新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【知识点】列代数式、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 题型六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是（   ） 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰/支 3 6 9 4 奶油棒冰/支 4 2 11 7 总价/元 18 20 51 29 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设红豆和奶油的单价分别为x元/支、y元/支，假设甲、丙正确，可得，再解方程组并逐一分析即可. 【详解】解：设红豆和奶油的单价分别为x元/支、y元/支， 假设甲、丙正确， ∴， 解得， ∴，此时丁是正确的， ，此时乙是错误的. 综上乙是错误的． 故选：B． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖 元，每根B种跳绳卖 元． 【答案】 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设每根A种跳绳的价格为 元，每根B种跳绳的价格为元，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每根A种跳绳的价格为元，每根B种跳绳的价格为元． 根据题意： 解得：， 答：每根A种跳绳卖元，每根B种跳绳卖元． 故答案为：，． 17．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求A、B型汽车的进价． 【答案】A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据已知条件列出方程组是解题的关键． 假设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元，根据题意列出方程组，解出方程组的值即可． 【详解】解：设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元， 根据题意得： 解得： 答：A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元． 题型七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 18．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某校150名学生参加数学竞赛考试，平均每人55分，其中及格人数人均77分，不及格人数人均47分，设及格的学生有x人，不及格的学生有y人，则x，y的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；得到关于总分的关系式是解决本题的难点．题目难度相对不大，属于基础题，注重考查同学们的基础知识，同学们平时需要多加积累基础知识，认真审题，正确解答．根据及格人数和不及格人数之和为150，及总分的关系式得到的两个关系式求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得 ， 故选：A． 19．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 题型八、几何问题(二元一次方程组的应用) 21．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为 ． 【答案】750 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是求出大长方形的长，然后运用长方形的面积公式进行解答即可．设小长方形的长是，宽是，再建立方程组，进而求出大长方形的长和宽以及面积． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是． 由题意得， 解得， 所以大长方形的长是． 答：大长方形的面积是． 故答案为： 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 24．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是温度计的示意图，左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度，之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示． x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为时，对应的华氏温度应为 ． 【答案】59 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和表格中的数据可以求得相应的函数解析式，将代入求出的函数解析式，即可求得相应的华氏温度． 【详解】解：设该一次函数的表达式为， 经过点和， ， 解得， ， 当时，， 即摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为59． 故答案为：59 26．（24-25八年级·江苏宿迁·月考）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【答案】， 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为，根据题意列方程求出、，再得到关于、的二元一次方程即可求解． 【详解】解：文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 即文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， ，即， ， 、都是整数， ，． 题型十、古代问题(二元一次方程组的应用) 27．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二：人出六，不足三、问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱：每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人出七钱，会多二钱”可得货物总价比每人出七钱的总钱数少二钱，即；根据“每人出六钱，差三钱”可得货物总价比每人出六钱的总钱数多三钱，即． 【详解】解：∵每人出七钱，盈二， ∴； ∵每人出六钱，不足三， ∴， ∴可列方程组为． 故选：D． 28．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价；一马，二牛价不满一万，如半牛之价，问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据“2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格”直接列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱， 根据题意得； 故答案为：． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 根据题意，得， 解方程组，得， 所以，甲带了钱，乙带了钱． 题型十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 30．（2025八年级上·全国·专题练习）据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据溶液混合问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设两种农药溶液的体积，根据溶液总体积和溶质总量的关系列出方程组，进而求解． 【详解】解：设含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有，根据题意，得 解得 所以含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有． 故选： 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料 L，乙种原料 L． 【答案】 7 5 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）现有条形和元宝形两种铁锭，小明想知道它们的质量，而身边只有的砝码．经过试验，小明得到如图所示的两种使天平平衡的摆放方式 根据以上信息分别求出每块条形铁锭和每块元宝形铁锭的质量． 【答案】每块条形铁锭的质量为，每块元宝形铁锭的质量为 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据设每块条形铁锭的质量为，每块元宝形铁锭的质量为，观察摆放方式，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设每块条形铁锭的质量为，每块元宝形铁锭的质量为， 由题意，得， 解得． 答：每块条形铁锭的质量为，每块元宝形铁锭的质量为． 分层强化 一、单选题 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 2．九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据“每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 依题意得：． 故选：B． 3．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 4．若单项式2x2ya+b与-xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(    ) A．a＝3，b＝1                    B．a＝-3，b＝1 C．a＝3，b＝-1 D．a＝-3，b＝-1 【答案】A 【详解】试题分析：∵单项式与是同类项，∴，解得：a=3，b=1，故选A． 考点：1．解二元一次方程组；2．同类项． 5．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为元去年的支出元结余5000元；②今年的收入今年的支出今年可节余9500元，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设去年的收入为元，支出为元，根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键． 6．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 7．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 8．某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下表格是4天的记录： 牙刷（支） 牙膏（盒） 收入（元） 第1天 13 7 144 第2天 14 7 147 第3天 20 10 210 第4天 23 20 366 聪明的小明发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（   ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设牙刷单价为元，牙膏单价为元．通过第1天和第2天的数据建立方程组，解得，，代入后续天数验证即可． 【详解】解：设牙刷单价为元，牙膏单价为元．根据题意，得 ， 解得：， 则第3天收入应为元，与记录一致，无误． 第4天收入应为元，但记录为366元，相差3元，存在错误． 故选：D． 9．某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买个种奖品，个种奖品，分购买1个种奖品及购买2个种奖品两种情况考虑，利用总价单价数量，结合钱全部用完，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出可供选择的方案总数，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买个种奖品，个种奖品， 当购买1个种奖品时， ， ， ，均为正整数， ， ，，， 此时有5种购买方案可供选择； 当购买2个种奖品时，， ， ，均为正整数， ，，， 此时有4种购买方案可供选择． （种． 故选：D． 10．小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元，根据题意可得和，进而求出的值． 【详解】解：设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元， 由题意得：，解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 二、填空题 11．为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，满足等量关系：①甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，②打折后两种玩具的单价共为684元，由此列出方程组即可． 【详解】解：设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元， 根据题意，得： 故答案为： 12．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 13．《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为 ．（只列不解） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14．如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为．请你判断：1个物块B的质量是 ．    【答案】5 【分析】设物块B、C的质量分别是x克，y克，根据题意列方程组，解方程组即可． 【详解】解：设物块B、C的质量分别是x克，y克，根据题意得， ，得， 解得， 即1个物块B的质量是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是熟练运用加减消元法． 15．对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“博远数”；如357就是一个“博远数”．将“博远数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为． （1）的值是 ； （2）规定：与11的商记为，即．若“博远数”n满足（且x，y均为整数），且，则n的最大值为 【答案】 352 451 【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程． （1）根据运算的定义进行计算便可； （2）根据（且x，y均为整数），求得，再根据，求得，再根据，列出x、y的二元一次方程，进而求得符合题意的x、y的整数解便可得出答案． 【详解】解：（1）依题意，， ∴的值是352； 故答案为：352； （2）∵（且x，y均为整数）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，且x，y均为整数，， ∴或或或， ∵n要取最大值， ∴百位的数最大，即最大， 即， ∴则n的最大值为， 故答案为： 451． 16．琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车． 问： （1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍． （2）7路公交车总站每间隔 发一辆车． 【答案】 【分析】设7路公交车行驶速度米/分钟，琪琪匀速行走的速度米/分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，等量关系式：分钟公交车行驶的路程分钟琪琪走的路程两站之间的距离，分钟公交车行驶的路程分钟琪琪走的路程两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解． 【详解】解：设7路公交车行驶速度米/分钟，琪琪匀速行走的速度米/分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，由题意得 ， 解得：， 故答案：（1）（2）． 【点睛】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 三、解答题 17．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 【答案】每个篮球的售价为元和每个足球的售价为元 【分析】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可． 【详解】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， ∴， 解得：， 答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元． 【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的实际运用． 18．某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？ 【答案】到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组是解题关键．设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人，根据题意列出方程二元一次方程组求解即可得答案． 【详解】解：设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人， ∵旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少， ∴， 解得：． 答：到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人． 19．小明用8块大小一样的长方形瓷砖恰好拼成一个大的长方形（如图1）；小红也用8块这种瓷砖拼出了一个正方形（如图2），但中间还留下一个边长为的小正方形（阴影部分）．你能求出这些长方形瓷砖的长和宽吗？ 【答案】这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这些长方形瓷砖的长为，宽为，由图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设这些长方形瓷砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 答：这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 20．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，由题意，得： ，解得； 答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时． 21．有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 22．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元． (1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ (2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 【答案】(1)甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元 (2)小妏最多能购买甲种有机用6吨 【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可； （2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解即可． 【详解】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元， 根据题意，得, 解得, 答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元． （2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨， 根据题意，得，解得． 答：小姣最多能购买甲种有机用6吨． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出不等式和一次函数关系式． 23．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为元，资助一名小学生的学习费用为元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 年级 捐款数额（元） 资助贫困中学生人数（名） 资助贫困小学生人数（名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 (1)求、的值； (2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少． 【答案】(1)的值为800，的值为600 (2)初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人 【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可； （2）利用九年级的捐款额7400列方程求人数． 【详解】（1）（1）依题意，得， 解得：． 答：的值为800，的值为600． （2）设初三年级学生的捐款可资助贫困中学生x人，小学生y人， 依题意得， 解得． 答：初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 24．某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本：元；精装练习本：元 (2)；②普通练习本进本，精装练习本进本，利润最大，最大为元 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程，解方程即可； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可； ②先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元． （2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得： ； 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， ， 解得：， 中， 随的增大而减小， 当时，取最大值， （个）， （元）， 答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $