第13讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年新教材北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第13讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.确定一次函数表达式 2.建立一次函数的模型解实际应用题 3.一次函数与一元一次方程的关系 4.两个一次函数图象的应用 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、梯度计价问题 五、其他问题(一次函数的实际应用) 六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 八、利用图象法解一元一次方程 九、一次函数与几何综合 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.确定一次函数表达式 1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件 类型 函数表达式 待定系数 所需的条件 正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标 一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标 或与k，b 有关的具体条件等 2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 根据函数的图象设函数表达式的技巧 (1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)； (2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。 知识点2.建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点3.一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点4.两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 观察图象获取相关信息用表格表示如下： 看图象 获取信息 两个一次函数，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值x>时，函数值>，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值x<时，函数值<，即对同一自变量x的值，图象在下面的函数值小 2. 两个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点，即点同时在两条直线上 几何意义 图象交点的含义 两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立 代数意义 不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同 实际意义 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则方案比方案便宜 ②若通话时间超过200分，则方案比方案便宜 ③通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确． 【详解】解：依题意得 A：（1）当0≤x≤120，yA=30， （2）当x＞120，yA=30+（x-120）×[（50-30）÷（170-120）]=0.4x-18； B：（1）当0≤x＜200，yB=50， 当x＞200，yB=50+[（70-50）÷（250-200）]（x-200）=0.4x-30， 所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确； 当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确； 当y=60时，A：60=0.4x-18，∴x=195， B：60=0.4x-30，∴x=225，故（3）正确； 当A方案与B方案的费用相等，通话时间为170分钟，故（4）正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题． 2．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 【答案】1450 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意，求出大巴车，中巴车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可. 【详解】解：大巴车每个座位的费用为：（元）， 中巴车每个座位的费用为：（元）， 小巴车每个座位的费用为：（元）， 方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元. 方案2：用中巴车，需要2辆，费用为：1600元. 方案3：用小巴车，需要3辆，费用为：元. 方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元. 方案5：用大巴车1辆和小巴车1辆，费用为：1450元. 则租车一天的最低费用为1450元. 故答案为1450. 【点睛】此题主要考查了方案的选择，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较． 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】(1)， (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）联立函数解析式得： ，解得：， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量之间是一次函数关系，其图象如图所示，由图中信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．1000元 B．1500元 C．2000元 D．2500元 【答案】B 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】设销量为x，收入为y，即求x=0时y的值．由图知求直线与y轴交点坐标，由两点式求直线解析式后再求交点． 【详解】解：设y=kx+b，由图知，直线过（1，2000）（2，2500），代入得： 解得： ∴y=500x+1500， 当x=0时，y=1500．即营销人员没有销售时的收入是1500元． 故选B． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，利用函数的解析式由自变量求函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．（22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 【答案】6000 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了追及问题，用到路程、速度、时间的关系以及一次函数的相关知识．先根据爸爸的速度和路线长度求出爸爸到达体育中心的时间，进而得到点A、B的坐标，再根据妈妈到达的时间求出妈妈的速度，设出段函数表达式，代入点坐标求出表达式，最后将代入表达式求出此时小光的位置，从而得出小光和爸爸的距离． 【详解】解：根据图象可知该路线长为6， ∵爸爸的速度为， ∴爸爸到达体育中心的时间为（）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴妈妈开车的速度为， 设段的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴段的函数表达式为， 当时，， 此时爸爸已经到达体育中心，（）， ∴小光和爸爸相距1． 故答案为：1． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 题型四、梯度计价问题 10．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可． 【详解】解：， 所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）月收入超过元但低于元的部分征收的所得税；月收入超过元但低于元的部分征收的所得税，据此即可列出函数解析式； （2）将代入（1）中解析式，即可求解； （3）将代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）由题意可得， 即应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式为． （2）当时，（元） 某人月收入9800元，求他应缴所得税元 （3）当时，， 解得， 此人本月的工资是元． 题型五、其他问题(一次函数的实际应用) 13．（2025八年级上·全国·专题练习）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．一辆以电能作为动力来源的新能源汽车剩余的电量百分比与已行驶的路程的对应关系如图所示，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，再把代入计算即可． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得， ∴， 当时，即， 解得， 即当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为384千米． 故选：B． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重 ． 【答案】7 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度，故物体B质量为，即可得物体A比B重． 【详解】解：设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度， ∵在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大， ∴在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度， 在中，令得：， ∴， ∴物体B质量为， ∴物体A比B重； 故答案为：7． 15．（25-26八年级上·陕西·期中）为了庆祝国庆，某和田玉专卖店在国庆期间推出促销活动，下表是此专卖店贴出的购买质量及分档计费标准： 购买质量（x/克） 单价（元/克） 300 240 160 (1)当时，写出购买的总金额与之间的关系式； (2)已知某和田玉爱好者在该店购买和田玉，最后付款了61800元，请问该和田玉爱好者共购买了多少克的和田玉？ 【答案】(1)当时， (2)该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题关键， （1）先确定购买质量属于第二档，再根据题意列出函数关系式即可； （2）先确定购买质量属于第二档，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：当时，购买质量属于第二档，则 ， 故当时，购买的总金额与之间的关系式为． （2）解：因为， 所以， 所以该和田玉爱好者的购买质量为第二档， 将代入中， ， 解得， 故该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉． 题型六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．方程的解对应直线与x轴的交点横坐标，当时方程成立，即，故直线经过点． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴当时，，即， ∴直线为， 当时，， ∴直线一定经过点． 故选：C． 17．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为 ． 【答案】0 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，根据题意可得一元一次方程的解是一次函数的图象与y轴交点的横坐标，据此可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 一元一次方程的解是 故答案为：． 18．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 题型七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 20．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 21．如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2:y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）． （1）求k，m的值； （2）求点A和点B的坐标． 【答案】（1）k＝－2，m＝2；（2）点A（2，0），点B（0，4） 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】(1)将点C (1,2)的坐标分别代入y=kx+4和y= mx中,即可得到k，m的值; (2)在y=-2x+4中，令y=0，得x=2;令x=0，得y=4，即可得到点A和点B的坐标． 【详解】解：（1）将点C（1，2）的坐标分别代入y＝kx＋4和y＝mx中， 得2＝k＋4，2＝m， 解得k＝－2，m＝2． （2）在y＝－2x＋4中，令y＝0，得x＝2， 令x＝0，得y＝4， 点A（2，0），点B（0，4）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y=kx+b (k≠0，且k,b为常数)与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 题型八、利用图象法解一元一次方程 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，由一次函数经过得出当时，，即可求解． 【详解】解：由图象得， 一次函数经过， 当时，， 方程的解为， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 【答案】(1)方程的解为 (2)当时，代数式的值为 (3)方程的解为 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与方程，（1）题干问一次函数等于即读图即可得出答案；（2）根据图像找到时对应的值即可知道代数式的值；（3）即，读图像即可求得答案. 【详解】（1）解：即； 由图像可知当时，； 的解为： 故答案为：. （2）解：当时，代数式的值即的值 由图像可知，当时， ； 故答案为：. （3）解：由图像可知，当时，； 的解为； 故答案为：. 题型九、一次函数与几何综合 25．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，将B、C两点坐标代入解析式确定k的边界点是解题关键．把B点和C点坐标分别代入中求出对应的值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得， 当时，直线是常数）与三角形的边有交点， 故选：A． 26．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，正方形（边分别与坐标轴平行）顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，根据题意可求出点B的坐标，根据函数解析式可证明一次函数经过定点；则求出一次函数恰好经过点A和恰好经过点B时k的值，即可得到答案． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， ∵点A，C坐标分别为，， ∴， ∴点B的坐标为，即； ∵， ∴一次函数经过定点； 当一次函数恰好经过点A时，则，解得， 当一次函数恰好经过点B时，则，解得， ∴当或时，直线与正方形有公共点， 故答案为：或． 27．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）解：过作于， ， ， ， ， 解得：． 分层强化 一、单选题 1．如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法即可求出函数的解析式． 【详解】从图示来看，点A、点B的坐标分别是、，设直线l的解析式为，将点A、点B的坐标代入直线l的解析式得：， ∴． ∴直线l的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组． 2．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水流光 C．甲容器的水面高度与流水时间的关系式为 D．时甲容器的水面高度为 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据逐项推理分析即可解答． 【详解】解：由图3可知，甲容器的初始水面高度为，故选项A正确，不符合题意； 水面每小时下降的高度为，，， 即甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意； 设, ∵点和点在该函数图象上， ∴，解得：， ∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为，故选项C正确，符合题意； ∴时甲容器的水面高度为：，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 4．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（   ） A．40L B．421 C．44L D．46L 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：． 图象过、， 可得．解得． 直线解析式为． 令， ． 故选：D． 5．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用最少，则应选择（　　） A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，根据图中信息用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求值即可．用待定系数法正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设与x的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 与x的函数解析式为； 设与x的函数解析式为， 把和代入解析式得： ，解得：， 与x的函数解析式为， 当时，，， ， ， 应选乙公司， 解法二：由函数图像可得，当时，选乙公司费用少 故选：B． 6．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 7．若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0）， 结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合； ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 9．如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 10．如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 二、填空题 11．若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点 ． 【答案】 【分析】x的方程的解是，说明时，,由此可以理解图象经过的点． 【详解】解：关于x的方程的解是， 把代入方程得， 在函数中，当时， 该函数图象一定经过点 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键． 12．某风景区团体票的收费标准是：20人以内（含20人）每人25元，超过20人的，超过部分每人10元，则当一个参观团超过20人时，应收门票费y（元）与团内游客数x（人）之间的函数关系式是 ，若某参观团所付的门票费用是840元，则该团共有 名游客． 【答案】 54 【分析】根据题意x＞20，可求得解析式；当y=840时，840＞2025，所以代入解析式求得x的值即是所求． 【详解】解：∵x＞20， ∴y=10（x-20）+20×25=10x+300 （其中x是整数）； ∵840＞2025， ∴该团超过20人， 当y=840时，840=10x+300， 解得x=54， 答：该团共有54名游客． 故答案为：y=10x+300；54． 【点睛】本题考查了一次函数的应用．解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式． 13．若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识，重点是掌握直线与坐标轴交点求方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据一元一次方程 的解和一次函数与轴交点的关系，即可求解； 【详解】解：已知一次函数 的图像经过点 和点 ， 点表示当时，函数值， ∴方程， 即求函数值时对应的值， ∴方程的解为； 故答案为：； 14．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 【答案】3或16 【分析】本题考查一次函数的应用．根据图象分别求出进水速度和出水速度，从而分别写出当、时y与x之间的函数关系式，当时，求出对应x的值即可． 【详解】解：进水速度为， 出水速度为， 当时，y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， ， 当时， y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是． 故答案为：3或16． 三、解答题 16．已知y与成正比例，且当时，. (1)求y与x的函数关系式； (2)点在该函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值是 【分析】本题考查正比例函数，求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是利用待定系数法求函数的解析式． （1）设，将代入求出k值即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）由y与成正比例，设， ∵时，， ∴，解得， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）∵点在该函数的图像上， ∴，解得， ∴m的值是． 17．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm），BC的长度不变． （1）求出矩形的面积y（单位：cm2）与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围； （3）此函数 　 　一次函数（填“是”或“否”）． 【答案】（1）y＝﹣5x＋50；（2）0＜x＜10；（3）是 【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，代入相应的值即可； （2）根据实际，矩形的边长大于0，从而可求得x的范围； （3）根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm）， ∴AB的长度为（10﹣x）cm， ∴矩形ABCD的面积：y＝5（10﹣x）， 整理得：y＝﹣5x＋50； （2）由题意可得：10﹣x＞0，x＞0， 解得：0＜x＜10； （3）y＝﹣5x＋50是一次函数， 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，矩形的性质，解答的关键是理解清楚题意，列出相应的等式． 18．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的关系式； (2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？ 【答案】(1) (2)6元，110千克 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 观察图象，将，代入得， 解得， 故y与x之间的关系式为； （2）解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为元，日销量为千克， 则， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） 当时，， 故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克． 【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解． 19．某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 【答案】(1)A类套餐每月应缴费用，B类套餐每月应缴费用； (2)47元 (3) (4)使用B套餐更划算 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据套餐收费标准写出解析式即可； （2）将代入，求得的值即可； （3）将代入，求得的值即可； （4）分别将代入和求解比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A类套餐每月应缴费用， B类套餐每月应缴费用； （2）解：当时，（元）； 答：他应缴费47元． （3）解：当时，， 解得：． 答：该用户使用B套餐本月可通话； （4）解：当时，（元），（元）， ∵ ∴使用B套餐更划算． 20．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的关系式； (2)方程组的解为________； (3)求的值． 【答案】(1)，的解析式为 (2) (3) 【分析】此题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、函数与方程组的关系是解题的关键． （1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式； （2）根据方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，即可求解． （3）过作于于，则，再根据，可得，进而得出的值； 【详解】（1）解：把代入一次函数， 可得，，解得：， ， 设的解析式为， 将点代入， 得， 解得：， ∴的解析式为； （2）解：方程组可整理为， 方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标， 即． （3）解：如图，过作于于， 则， 在中， 令，则； 令，则， ∴， ∴， ∴． 21．某电信公司手机的类套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元分钟计算；类套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分钟计算． (1)直接写出类和类每月应缴费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系式； (2)若某手机用户这个月通话时间为分钟，他选择哪种方式更合算？ (3)若某用户平均每月缴话费元，他应选择哪种方式更合算？ 【答案】(1)套餐：，；套餐：， (2)套餐更合算 (3)套餐更合算． 【分析】本题主要考查一次函数的应用及方案选择问题，理解题意，根据题意列出函数关系式是解题关键． （1）根据题目中收费标准可列出函数关系式； （2）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话费用，费用低则更合算． （3）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话时间，时间久则更合算． 【详解】（1）解：A类：，； B类：，． （2）当时， A类： 类： ∵ 所以用套餐更合算 （3）当时， A类：，解得． 类：，解得． 因为， 所以用套餐更合算． 22．幸福社区有一处人工湖，因为水质遭到严重污染，幸福社区决定给人工湖换水，换水工作需要经过“排水—清洗—注水”的过程．已知排水速度是注水速度的倍，工作人员从早上8：00开始对人工湖进行换水，人工湖内剩余水量（单位：）与换水时间（单位：）之间的关系如下图所示，设排水过程中与之间的函数关系式为． (1)求和的值，并说明它们的实际意义． (2)注水过程中与之间的函数关系式为_______（不写自变量的取值范围）． (3)人工湖换水过程中将封闭周围道路，若人工湖换水结束后需留时间让工作人员整理设备，试判断当天下午2：00能否开放周围道路，并说明理由． 【答案】(1) 的值为的值为；的实际意义是排水过程中人工湖每小时减少的水量为，的实际意义是开始排水前人工湖的水量为 (2) (3)当天下午2：00不能开放周围道路，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，（1）通过函数图像即可获得的值，（2）利用待定系数法即可求得注水过程的函数关系式，（3）由前两问可得两段函数解析式，即可计算人工湖换水全程需要多少时间，到下午2：00是否可以完成即可. 【详解】（1）解：由图可知，的值为 的值为． 的实际意义是排水过程中人工湖每小时减少的水量为， 的实际意义是开始排水前人工湖的水量为； 故答案为：，的实际意义是排水过程中人工湖每小时减少的水量为，的实际意义是开始排水前人工湖的水量为． （2）解：由题可知，注水速度为， 则设注水过程， 由图像可知：过点 解得：； ； 故答案为：. （3）解：当天下午2：00不能开放周围道路．理由如下： 由（2）可知，注水过程中与之间的函数关系式为． 将代入，得，解得， 所以整个换水工作需要用的时间为． 因为人工湖从早上8：00开始排水， 所以周围道路在下午2：12才能对外开放． 故下午2：00不能开放周围道路； 故答案为：下午2：00不能开放道路. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.确定一次函数表达式 2.建立一次函数的模型解实际应用题 3.一次函数与一元一次方程的关系 4.两个一次函数图象的应用 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、梯度计价问题 五、其他问题(一次函数的实际应用) 六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 八、利用图象法解一元一次方程 九、一次函数与几何综合 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.确定一次函数表达式 1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件 类型 函数表达式 待定系数 所需的条件 正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标 一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标 或与k，b 有关的具体条件等 2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 根据函数的图象设函数表达式的技巧 (1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)； (2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。 知识点2.建立一次函数的模型解实际应用题 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点3.一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知识点4.两个一次函数图象的应用 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 观察图象获取相关信息用表格表示如下： 看图象 获取信息 两个一次函数，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值x>时，函数值>，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值x<时，函数值<，即对同一自变量x的值，图象在下面的函数值小 2. 两个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点，即点同时在两条直线上 几何意义 图象交点的含义 两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立 代数意义 不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同 实际意义 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（分）之间的关系，则以下说法正确的是（    ） ①若通话时间少于120分，则方案比方案便宜 ②若通话时间超过200分，则方案比方案便宜 ③通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多 ④当通话时间是170分钟/时，两种方案通讯费用相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量之间是一次函数关系，其图象如图所示，由图中信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．1000元 B．1500元 C．2000元 D．2500元 5．（22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 题型四、梯度计价问题 10．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 题型五、其他问题(一次函数的实际应用) 13．（2025八年级上·全国·专题练习）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．一辆以电能作为动力来源的新能源汽车剩余的电量百分比与已行驶的路程的对应关系如图所示，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重 ． 15．（25-26八年级上·陕西·期中）为了庆祝国庆，某和田玉专卖店在国庆期间推出促销活动，下表是此专卖店贴出的购买质量及分档计费标准： 购买质量（x/克） 单价（元/克） 300 240 160 (1)当时，写出购买的总金额与之间的关系式； (2)已知某和田玉爱好者在该店购买和田玉，最后付款了61800元，请问该和田玉爱好者共购买了多少克的和田玉？ 题型六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为 ． 18．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 题型七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 21．如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2:y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）． （1）求k，m的值； （2）求点A和点B的坐标． 题型八、利用图象法解一元一次方程 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为 ． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 题型九、一次函数与几何综合 25．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，正方形（边分别与坐标轴平行）顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 27．（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 分层强化 一、单选题 1．如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为(    )    A． B． C． D． 2．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水流光 C．甲容器的水面高度与流水时间的关系式为 D．时甲容器的水面高度为 3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（   ） A．40L B．421 C．44L D．46L 5．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用最少，则应选择（　　） A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定 6．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 10．如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 二、填空题 11．若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点 ． 12．某风景区团体票的收费标准是：20人以内（含20人）每人25元，超过20人的，超过部分每人10元，则当一个参观团超过20人时，应收门票费y（元）与团内游客数x（人）之间的函数关系式是 ，若某参观团所付的门票费用是840元，则该团共有 名游客． 13．若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 14．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． 15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 三、解答题 16．已知y与成正比例，且当时，. (1)求y与x的函数关系式； (2)点在该函数的图像上，求m的值． 17．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm），BC的长度不变． （1）求出矩形的面积y（单位：cm2）与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围； （3）此函数 　 　一次函数（填“是”或“否”）． 18．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的关系式； (2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？ 19．某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 20．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的关系式； (2)方程组的解为________； (3)求的值． 21．某电信公司手机的类套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元分钟计算；类套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分钟计算． (1)直接写出类和类每月应缴费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系式； (2)若某手机用户这个月通话时间为分钟，他选择哪种方式更合算？ (3)若某用户平均每月缴话费元，他应选择哪种方式更合算？ 22．幸福社区有一处人工湖，因为水质遭到严重污染，幸福社区决定给人工湖换水，换水工作需要经过“排水—清洗—注水”的过程．已知排水速度是注水速度的倍，工作人员从早上8：00开始对人工湖进行换水，人工湖内剩余水量（单位：）与换水时间（单位：）之间的关系如下图所示，设排水过程中与之间的函数关系式为． (1)求和的值，并说明它们的实际意义． (2)注水过程中与之间的函数关系式为_______（不写自变量的取值范围）． (3)人工湖换水过程中将封闭周围道路，若人工湖换水结束后需留时间让工作人员整理设备，试判断当天下午2：00能否开放周围道路，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $