第16讲 坐标平面内图形的轴对称和平移（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第16讲 坐标平面内图形的轴对称和平移 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 对称点的坐标特征 2. 坐标平面内图形的轴对称 3. 平移变换点的坐标特征 4. 坐标平面内图形的平移 题型巩固 一、坐标系中的对称 二、坐标与图形变化——轴对称 三、坐标系中的平移 四、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 五、由平移方式确定点的坐标 六、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 七、已知图形的平移，求点的坐标 八、已知平移后的坐标求原坐标 九、坐标系中的动点问题（不含函数） 十、中点坐标 十一、点坐标规律探索 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 3、 解答题（8） 知识梳理 知识点1. 对称点的坐标特征 关于 x轴的对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于 y轴的对称点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数. 拓展 关于坐标原点对称的点的坐标：横、纵坐标都分别互为相反数，即点 (a,b)关于坐标原点对称的点的坐标是 (−a,−b) . 知识点2. 坐标平面内图形的轴对称 在平面直角坐标系中，图形的轴对称与该图形上点的轴对称一致. （1）图形关于x 轴对称，图形上点的横坐标不变，纵坐标互为相反数； （2）图形关于y轴对称，图形上点的纵坐标不变，横坐标互为相反数. 知识点3. 平移变换点的坐标特征 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生了变化，坐标也发生了变化， 具体情况如下（其中 k>0）： 点 P(a,b) 的平移方式 平移后点的坐标 规律 沿 x 轴方向平移 向左平移 k 个单位 (a−k,b) 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变. 向右平移 k 个单位 (a+k,b) 沿 y 轴方向平移 向上平移 k 个单位 (a,b+k) 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减. 向下平移 k 个单位 (a,b−k) 知识点4. 坐标平面内图形的平移 图形的平移实际是图形上点的平移，因此图形的平移与该图形上点的平移一致. （1）图形沿x轴向右（或左）平移 k( k>0) 个单位，图形上各个点的横坐标都加（或减） k ，纵坐标不变； （2）图形沿 y轴向上（或下）平移k( k>0)个单位，图形上各个点的纵坐标都加（或减） k，横坐标不变. 题型巩固 题型一、坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 3．已知，点，，分别根据下列条件求a，b的值． (1)点A，B关于y轴对称； (2)点A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称． 题型二、坐标与图形变化——轴对称 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 5．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）点关于轴对称点的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点落在格点上，将向右平移5个单位长度得到． (1)画出； (2)若以A为原点建立平面直角坐标系． ①点B关于y轴的对称点的坐标为___________； ②若点M在x轴上，且，求点M的坐标． 题型三、坐标系中的平移 7．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为 ． 9．如图，在制作电脑动画时，有三只小蜗牛分别从A、B、C三点出发，沿着相同的方向并以相同的速度爬行．当位于点C的小蜗牛爬到点处时，点A和点B处的小蜗牛分别爬到什么位置？请在图中标出它们的位置． 题型四、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点向右平移个单位得点B，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·浙江温州·期末）点向右平移1个单位后所得点的坐标是 ． 12．（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 题型五、由平移方式确定点的坐标 13．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系内，将点先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则平移后得到的点的坐标为 ． 15．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． 将向左平移3个单位长度得到． (1)作出． (2)写出点的坐标． 题型六、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 16．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减去5，则所得图形可看成是将原图形（    ） A．向左平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向上平移5个单位 D．向下平移5个单位 17．（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是． (1)点、之间的距离是___________； (2)请在图中画出．(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上) 题型七、已知图形的平移，求点的坐标 19．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．点向下平移5个单位后所得到点，则点的坐标为 ． 21．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用表示A点的位置，用表示B点的位置． (1)请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标． (2)请画出向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的． 题型八、已知平移后的坐标求原坐标 22．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 24．如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 题型九、坐标系中的动点问题（不含函数） 25．在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 27．如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 题型十、中点坐标 28．已知点与点关于点对称，则 ． 29．如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为，． (1)将图中该不规则图形分成两个规则的四边形，请你分别画出这两部分的重心位置，并写出这两个重心的坐标； (2)结合（1）得到的结论，请你求出该不规则图形的重心坐标． （不规则图形重心坐标，其中．） 题型十一、点坐标规律探索 30．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 31．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）点关于轴的对称点的坐标为 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 分层强化 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 5．如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 7．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点出发，向正东走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当种子到达点时，它在坐标系中的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是 ． 11．如果点和点关于x轴对称，那么 ． 12．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段AB平移至，那么的值为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是 ． 三、解答题 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 16．已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 17．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)___________，___________，点的坐标为___________． (2)当点移动秒时，求出点的坐标； 18．如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的． (1)分别写出下列各点的坐标：______；______；______； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)平面内一点经过（2）中的平移后得到，则点是内部的一点吗？请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则称是点的平移美点． (1)直接写出点的平移美点； (2)若点的平移美点在轴上，求的值； (3)如图，正方形，点，，，，已知点是点的平移美点． ①若点的平移美点为，确定点的坐标； ②将点向上平移个单位长度得到，若线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部，直接写出的最大值及此时的值． 20．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 21．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 22．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 坐标平面内图形的轴对称和平移 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 对称点的坐标特征 2. 坐标平面内图形的轴对称 3. 平移变换点的坐标特征 4. 坐标平面内图形的平移 题型巩固 一、坐标系中的对称 二、坐标与图形变化——轴对称 三、坐标系中的平移 四、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 五、由平移方式确定点的坐标 六、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 七、已知图形的平移，求点的坐标 八、已知平移后的坐标求原坐标 九、坐标系中的动点问题（不含函数） 十、中点坐标 十一、点坐标规律探索 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 3、 解答题（8） 知识梳理 知识点1. 对称点的坐标特征 关于 x轴的对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于 y轴的对称点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数. 拓展 关于坐标原点对称的点的坐标：横、纵坐标都分别互为相反数，即点 (a,b)关于坐标原点对称的点的坐标是 (−a,−b) . 知识点2. 坐标平面内图形的轴对称 在平面直角坐标系中，图形的轴对称与该图形上点的轴对称一致. （1）图形关于x 轴对称，图形上点的横坐标不变，纵坐标互为相反数； （2）图形关于y轴对称，图形上点的纵坐标不变，横坐标互为相反数. 知识点3. 平移变换点的坐标特征 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生了变化，坐标也发生了变化， 具体情况如下（其中 k>0）： 点 P(a,b) 的平移方式 平移后点的坐标 规律 沿 x 轴方向平移 向左平移 k 个单位 (a−k,b) 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变. 向右平移 k 个单位 (a+k,b) 沿 y 轴方向平移 向上平移 k 个单位 (a,b+k) 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减. 向下平移 k 个单位 (a,b−k) 知识点4. 坐标平面内图形的平移 图形的平移实际是图形上点的平移，因此图形的平移与该图形上点的平移一致. （1）图形沿x轴向右（或左）平移 k( k>0) 个单位，图形上各个点的横坐标都加（或减） k ，纵坐标不变； （2）图形沿 y轴向上（或下）平移k( k>0)个单位，图形上各个点的纵坐标都加（或减） k，横坐标不变. 题型巩固 题型一、坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标性质，解题关键是掌握“关于轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数”，易错点是混淆轴对称的坐标规律，解题思路为：根据关于轴对称的点的坐标性质求出、的值，进而计算． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴（横坐标相等）， （纵坐标互为相反数）， ∴； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 3．已知，点，，分别根据下列条件求a，b的值． (1)点A，B关于y轴对称； (2)点A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】坐标系中的对称 【分析】（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，结合点A、B的坐标即可得到a、b的值； （2）由点关于轴对称可得，由点关于轴对称可得． 【详解】（1）解：A、B关于y轴对称，则； （2）解：点A，C关于x轴对称，， 由A得出， ∵点B，C关于y轴对称，， 由B得出， 同一个点只有一个坐标， ． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标的知识，掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 题型二、坐标与图形变化——轴对称 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 5．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）点关于轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为：， 故答案为： 6．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点落在格点上，将向右平移5个单位长度得到． (1)画出； (2)若以A为原点建立平面直角坐标系． ①点B关于y轴的对称点的坐标为___________； ②若点M在x轴上，且，求点M的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①②或 【知识点】平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查图形的平移，坐标与轴对称，熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据平移规则画出即可； （2）①根据关于轴对称的点的特征，求出点的对称点即可； ②根据两点间的距离求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）由题意，建立平面直角坐标系如图所示： ①由图可知：，故点B关于y轴的对称点的坐标为； 故答案为：； ②∵点M在x轴上，且， ∴或． 题型三、坐标系中的平移 7．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的平移 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查坐标与图形，掌握平行于x轴的直线上的点纵坐标相等是解题关键．根据A、B两点纵坐标相等，可确定与x轴平行，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∴线段上任意一点的坐标可表示为． 故答案为：． 9．如图，在制作电脑动画时，有三只小蜗牛分别从A、B、C三点出发，沿着相同的方向并以相同的速度爬行．当位于点C的小蜗牛爬到点处时，点A和点B处的小蜗牛分别爬到什么位置？请在图中标出它们的位置． 【答案】见解析 【知识点】坐标系中的平移 【分析】此题考查了平移作图，首先判断出平移方式，然后作出点A和点B平移后的点和点即可． 【详解】解：∵当位于点C的小蜗牛爬到点处时， ∴平移方式为向右平移11个单位，向上平移2个单位， ∴如图所示，点和点即为所求． 题型四、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点向右平移个单位得点B，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．把点的横坐标加3，纵坐标不变即可得到对应点B的坐标． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度， 得到点B的坐标是，即：． 故选：A． 11．（22-23八年级上·浙江温州·期末）点向右平移1个单位后所得点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】把所给点的横坐标加1，纵坐标不变即可得到所求点的坐标． 【详解】解：由题意平移后，所求点的横坐标为；纵坐标不变； ∴将点向右平移1个单位后所得点的坐标是． 故答案是：． 【点睛】考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 12．（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 题型五、由平移方式确定点的坐标 13．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点的平移，根据“左减右加，上加下减”，确定平移后点的坐标，进而解答即可求解，掌握点的平移的规律是解题的关键． 【详解】解：把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好与原点重合， ∴， ∴， 故选：． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系内，将点先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则平移后得到的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 根据点的平移：左减右加，上加下减，求解可得． 【详解】解：将点先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则平移后得到的点的坐标为． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． 将向左平移3个单位长度得到． (1)作出． (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移： （1）根据所给平移方式把A、B、C横坐标分别减去3，纵坐标不变得到对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可． （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵将向左平移3个单位长度得到，， ∴． 题型六、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 16．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减去5，则所得图形可看成是将原图形（    ） A．向左平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向上平移5个单位 D．向下平移5个单位 【答案】D 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据平移的性质可得将纵坐标都减去5，即：将三角形向下平移5个单位． 【详解】解：三角形的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减去5，根据平移的性质可得，将三角形向下平移5个单位， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，理解题意是解题的关键． 17．（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．向左平移个长度单位，即点的横坐标减，纵坐标不变，表示出平移后点的坐标，再结合题意可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 由题意知， 解得：， 故答案为：． 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是． (1)点、之间的距离是___________； (2)请在图中画出．(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上) 【答案】(1)４ (2)见解析 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）由两点之间的距离公式可得结论； （2）由和点的坐标可得平移的方向和距离，再作图即可． 【详解】（1）∵，． ∴． 故答案为：4． （2）如图：即为所作． 【点睛】本题主要考查了两点间距离以及平移作图，确定平移的方向和距离是解答本题的关键． 题型七、已知图形的平移，求点的坐标 19．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了图形的平移与坐标，根据对应点的坐标确定平移方式即可求解． 【详解】解：由、可得平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴的坐标为， 即：， 故选：A． 20．点向下平移5个单位后所得到点，则点的坐标为 ． 【答案】（-3，-3） 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】把所给点的横坐标不变，纵坐标减5即得到所求点的坐标． 【详解】解：由题意平移后，所求点的横坐标不变；纵坐标为2-5=-3； ∴将M（-3，2）向下平移5个单位后，所得的点M′的坐标是（-3，-3）． 故答案为：（-3，-3）． 【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 21．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用表示A点的位置，用表示B点的位置． (1)请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标． (2)请画出向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的． 【答案】(1)见解析，C点的坐标 (2)见解析 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，写出坐标系中点的坐标，熟知平移知识是解题的关键． （1）根据点A的坐标建立坐标系，再求出点C的坐标即可； （2）根据平移方式确定C、D、E对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示． 根据图可知C点的坐标． （2）如图，即为所作 题型八、已知平移后的坐标求原坐标 22．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 【答案】D 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5）， ∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8， ∴A点坐标为（﹣3，8）． 故选D． 【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 24．如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）；（3）P(8,7) 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】（1）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此画出图形； （2）由图形直接写出点的坐标； （3）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度，根据平移方式可得：x-5=3,y-2=5,求得x、y的值即可. 【详解】（1）如图所示， （2）由图可得：B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）； （3）∵A（3，3）的对应点D（-2，1）, ∴横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度, ∴x-5=3,y-2=5, ∴x=8,y=7, ∴点P（8,7）. 【点睛】考查了坐标与图形变化-平移；关键是根据坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征，通过观察发现规律，列方程求解． 题型九、坐标系中的动点问题（不含函数） 25．在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 【详解】解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C的坐标为， 故选A． 26．如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 27．如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)不变，值为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了点坐标与图形，熟练掌握点坐标的求法是解题关键． （1）根据长方形的性质可得，，由此即可得； （2）设两点移动时间为秒，则可得，，再根据四边形的面积等于，由此即可得． 【详解】（1）解：∵长方形中，边， ∴，， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：设两点移动时间为秒， 由题意得：，， ∵长方形中，边， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 所以在它们移动过程中，四边形的面积不发生变化，其值为16． 题型十、中点坐标 28．已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 29．如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为，． (1)将图中该不规则图形分成两个规则的四边形，请你分别画出这两部分的重心位置，并写出这两个重心的坐标； (2)结合（1）得到的结论，请你求出该不规则图形的重心坐标． （不规则图形重心坐标，其中．） 【答案】(1)见解析，， (2) 【知识点】中点坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解题意是解题的关键． （1）取点，把这个图形分成正方形和长方形，长方形和正方形的重心均为其对角线的交点，据此根据中点坐标公式可得对应的重心坐标； （2）求出正方形和长方形的面积，再根据不规则图形的重心坐标计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，取点， 把这个图形分为正方形和长方形， 正方形的重心M的坐标为，长方形的重心N的坐标为； （2）解：正方形的面积为， 长方形的面积为， ∵， ∴， ∴该不规则图形的重心坐标为． 题型十一、点坐标规律探索 30．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 31．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可的解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求关于轴对称的点的坐标．熟练掌握关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …， ． 故答案为：；． 分层强化 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，掌握 “关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数” 这一性质是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】∵点关于轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故选：A． 2．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 3．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 4．已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据点的横坐标都为，则直线与轴平行，直线与x轴垂直，即可作答． 【详解】解：∵点 ∴点的横坐标都为， ∴直线与轴平行，直线与x轴垂直， 故选：A． 5．如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移，代数式求值．由平移前后对应点的坐标，可确定平移方式，从而可得和即可得的值． 【详解】解：∵点平移后的对应点为，，点平移后的对应点为，， ∴线段向右平移个单位，向上平移个单位， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A ． 6．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，生活中平移现象，根据，且i、j都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，且i、j都是整数， ∴的最小值为10， 故选：A． 7．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 8．如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点出发，向正东走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当种子到达点时，它在坐标系中的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，解题时注意各象限内点的坐标特征；由题意可知：，，，可得规律：，根据规律可得，进而求得的坐标． 【详解】解：根据题意可知：，，，，…，， ∴，，，，，，，，，． 故选：B． 二、填空题 9．已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【答案】先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【分析】本题主要考查点的平移变换，掌握平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减是解题的关键． 根据点坐标的变换，得到平移的方法即可． 【详解】∵由经过平移得到 ∴， 根据平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减， ∴点是先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度就得到点． 故答案为：先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 11．如果点和点关于x轴对称，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查两点关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相等． 根据题意得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ，， ∴． 故答案为：9． 12．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段AB平移至，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查图形的平移及平移特征．根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：根据题意：点A、B的坐标分别为，，的坐标为，，即线段向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段； 则：，， ∴． 故答案为：2． 14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换规律．熟练掌握平面直角坐标系中的轴对称变换规律是解题的关键． 可先找出点坐标变换的规律，再根据规律确定第次变换后点坐标即可． 【详解】点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环． ， 经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故答案为． 三、解答题 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 【答案】向右平移4个单位， 【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点O平移后坐标，可知三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，再根据平移得到即可． 【详解】∵点O的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形， ∵点， ∴点， 即点． 16．已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标系里点的平移．熟练掌握坐标轴上的点的坐标特征，平行坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解题的关键，x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，平行y轴的直线上点的横坐标相等，平行x轴的直线上点的纵坐标相等． （1）根据x轴上点的纵坐标为0，建立方程，求出a的值，即得； （2）根据平行y轴，的直线上的横坐标相等，建立方程求得a值，即得； （3）根据点P的坐标为，，分点Ｑ在点Ｐ的上方和下方两种情况解答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵，，直线轴， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标为． （3）∵点P的坐标为，， ∴，或 ∴点Q的坐标为或． 17．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)___________，___________，点的坐标为___________． (2)当点移动秒时，求出点的坐标； 【答案】(1), ； (2) 【分析】本题考查非负数的性质、长方形的坐标特征与点的运动问题； （1）利用非负数的性质求，结合长方形坐标特征得点坐标； （2）通过路程计算与分段分析确定点位置进而确定坐标，关键是掌握非负数的性质和点的运动路径分析，易错点是点运动分段时的路程计算错误． 【详解】（1）解：因为，所以； 在长方形中，，所以点的坐标为； 故答案为； ； （2）点的移动速度是每秒个单位长度，移动秒时路程为个单位长度；先沿移动，因为，则剩余路程；再沿移动个单位长度后，横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标． 故答案为． 18．如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的． (1)分别写出下列各点的坐标：______；______；______； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)平面内一点经过（2）中的平移后得到，则点是内部的一点吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)向左平移4个单位再向下平移2个单位 (3)不是，理由见解析 【分析】本题考查了根据图形的平移确定坐标，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据坐标系直接写出即可求解． （2）观察和的顶点位置，即可求解； （3）根据题意得出平面内一点经过（2）中的平移后得到，进而求得，则，结合坐标系，即可求解． 【详解】（1）解：；；． 故答案为：；；． （2）向左平移4个单位再向下平移2个单位得到 （3）平面内一点经过（2）中的平移后得到即 ∴ 解得： ∴，根据坐标系可得点不是内部的一点 19．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则称是点的平移美点． (1)直接写出点的平移美点； (2)若点的平移美点在轴上，求的值； (3)如图，正方形，点，，，，已知点是点的平移美点． ①若点的平移美点为，确定点的坐标； ②将点向上平移个单位长度得到，若线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部，直接写出的最大值及此时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①点的坐标为；②的最大值为3，此时的值为0． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移变换的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． （1）直接根据平移美点的定义求解即可； （2）根据题意得，据此求解即可； （3）①由点的平移美点为，列二元一次方程组求解即可；②由的最大上限求得，当时，线段的端点为和，此时线段完全在正方形内，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点的平移美点为即； （2）解：点的平移美点的横坐标为， 由题意得， 解得； （3）解：①∵点的平移美点为， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②∵是平移美点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∵将点向上平移个单位长度得到， ∴， ∵线段的端点需满足: 在正方形内:,； 在正方形内:,； ∴，， 当，且时，最大为3，符合题意； ∴的最大值为3，此时的值为0． 20．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，求出的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点，然后分为点在轴和轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点的坐标为； （2）解：点的“级关联点”为， 则， 解得， ． （3）解：点的“级关联点”为，即， 当点在轴上时，，解得，这时点， 当点在轴上时，，解得，这时点， 综上所述，点的坐标为或． 21．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 22．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)①能，②能，需要走1352步． 【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，利用实数的运算进行求解是解题的关键． （1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”坐标为； 故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 学科网（北京）股份有限公司 $