精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

塘沽一中2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学学科试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页．卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷II答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内． 第I卷 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：B 2. 已知椭圆，则其焦距为（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合，求得的值，进而得到椭圆的焦距. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦距为. 故选：C. 3. 双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程可以求出右顶点和渐近线，再用点到直线的距离即可求出. 【详解】由曲线的标准方程为可得， 所以双曲线的右顶点为，渐近线方程为， 因此右顶点到渐近线的距离为. 故选：. 4. 已知直线的一个方向向量为，直线过点，且，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据两直线的位置关系可得，结合直线的点斜式方程计算即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 又，所以，所以， 所以直线的方程为，即. 故选：D 5. 在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】解：以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： ，则，，，， 所以，， 所以， 故与所成角的余弦值为． 故选：C 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以. 所以， 所以，即的长为． 故选：A 7. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 8. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 9. 已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算圆心到直线的距离为，根据圆上点到直线的距离等于2的个数为3个，可得，根据关系式计算即可； 【详解】因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于2， 所以只需要圆心到直线的距离为2即可， 直线方程为:， 所以圆心到直线的距离为:， 解得， 故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于2． 故选：D 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项． 【详解】如图，设，则，所以， ，，所以， ∴，A正确； ，， 在中，， 在中，， 即，，所以，B正确； 由得，，渐近线方程为，C正确； 若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 与B矛盾，不成立，D错． 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示．从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程． 11. 已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 12. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示： 由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故①正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故②正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④正确； 故选：B 第II卷 二、填空题（本题共8小题，每题5分，共40分） 13. 设，向量，且，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据空间垂直向量的坐标表示可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以， 则. 故答案为： 14. 若直线恒过点，则点的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线恒过定点可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 15. 若直线与平行，则与的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 16. 若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是____________． 【答案】或. 【解析】 【分析】作出半圆和直线，由题意，两个图象有且仅有一个公共点，即可求解. 【详解】解：由题意，原问题等价于直线与曲线有且仅有一个交点， 因为，即，所以曲线表示以为圆心，半径为3的圆的上半部分， 结合图象，当直线经过时，； 当直线经过时，； 当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）； 所以实数a的取值范围是或， 故答案为：或. 17. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 18. 已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是___________；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，再结合圆的性质求出公共弦长，最后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】圆和圆，两圆方程相减，得，化简得， 两圆的公共弦所在直线方程为， 又圆，其圆心坐标，半径， 圆心坐标到公共弦所在直线方程为的距离为， 两圆的公共弦长为， 点在两圆的公共弦所在直线上，，即， ， 又，故，根据均值不等式，得， 当且仅当时，即，等号成立. 的最小值为. 故答案为：；. 19. “将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则,解得，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立，解得，即饮马点的坐标为． 故答案为：；. 20. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理、、双曲线的定义可得，再由切线长定理、双曲线的定义得点为双曲线的右顶点，过点作轴于点，根据相似比可得，再利用面积得出，将点坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】设双曲线的半焦距为c，I是的内心，连接，则平分， 因，则， 由角平分线定理得，同理可得， ，， ，得， 又，所以，，， 设的内切圆分别切边，，于点D，E，G， 则由切线长定理得，，， 所以， 又因为，所以，， 即点为双曲线的右顶点，则轴， 过点作轴于点，连，得， ，所以， 又因为，所以，即， 所以，得，解得离心率. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，共50分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 22. 已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． （1）求椭圆的离心率； （2）点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由条件可得，，结合椭圆的定义可得，根据离心率定义求结论； （2）结合（1）求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求，的坐标，由条件列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，故， 因为，， 所以，， 所以，， 又由椭圆的定义可得， 所以，即， 所以椭圆的离心率， 【小问2详解】 由（1），又， 所以，故点的坐标为 又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，可得， 所以， 所以或， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，可得， 所以， 所以， 所以或， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，由已知， 所以， 所以，， 所以椭圆的方程为. 23. 如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】（1） 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的方法证明线面平行； （2）根据二面角的定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后求余弦值； （3）根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后根据求线段. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 24. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1） （2）① ②由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）①先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ②设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. 【小问1详解】 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. 【小问2详解】 ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学学科试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页．卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷II答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内． 第I卷 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知椭圆，则其焦距为（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 3. 双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知直线的一个方向向量为，直线过点，且，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 7. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上 11. 已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷 二、填空题（本题共8小题，每题5分，共40分） 13. 设，向量，且，则___________ 14. 若直线恒过点，则点的坐标为___________ 15. 若直线与平行，则与的距离为_____. 16. 若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是____________． 17. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 18. 已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是___________；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为___________． 19. “将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 20. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为_____. 三、解答题（本题共4小题，共50分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 22. 已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． （1）求椭圆的离心率； （2）点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 23. 如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 24. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $