4.2.2对数运算的法则教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

课题 4.2.2对数运算的法则 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 本节课要学的内容是对数的运算法则，其核心（或关键）掌握积、商、幂的对数和换底公式。 它关键就是要准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能．学生已经学 过简单的对数运算，本节课的内容就是在此基础上的发展。由于它还与函数有密切的联系，所以在 本学科有着举足轻重的地位，并有贯穿其他章节的作用，是本学科的核心内容。教学的重点是理解 和掌握对数的运算法则；准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能。 教学 目标 1.能根据指数的运算法则推导出对数的运算则； 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 3.会运用对数运算法则进行一些简单的计算、化简与证明。 核心 素养 逻辑推理：对数运算法则的推导 数学运算：一般对数、常用对数和自然对数的运算 重点 难点 教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 教学难点：运算法则的探究与证明。 教法 教具 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决运算和逻辑推理中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1的达成 评价任务2检测目标2的达成 评价任务3检测目标1、2的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：情景导入，展示目标 设计意图与反思 导语 同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史,从人们对天文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”,对整个科学的发展起了重要作用. 情境激疑，引入新课！ 环节2：任务一：对数的运算法则 设计意图与反思 教师 活动 问题1：将指数式M=ap,N=aq化为对数式,结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式?它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示：由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题2：结合问题1,若==ap-q,又能得到什么结论? 提示：将指数式=ap-q化为对数式,得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题3：结合问题1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结果? 提示：由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R). 知识梳理 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMα=αlogaM. (3)loga=logaM-logaN. 为方便记忆,上述法则可表述为:积的对数等于对数之和,商的对数等于对数之差,幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数. 注意点: (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N+. 例1.计算下列各式的值: (1)log345-log35; (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18; (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 反思感悟：利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则: ①正用或逆用运算法则,对真数进行处理; ②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1.计算下列各式的值: (1)2log23-log2+log27-; (2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216). 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务二：换底公式 设计意图与反思 教师 活动 问题4：上节课我们学习了对数的运算性质,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗? 提示：设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=. 问题5：是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1)?说出你的理由. 提示：依据当a>0且a≠1时,ax=N⇔logaN=x推导得出. 令=x,则logcb=xlogca=logcax,故b=ax,∴x=logab,∴logab=. 知识梳理 1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1). (2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0). (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1). 注意点: (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0且a≠1,b>0). 例2.(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　. (2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示) 解：方法一　因为18b=5,所以b=log185. 所以log3645=======. 方法二：因为18b=5,所以b=log185, 所以log3645====. 方法三：因为log189=a,18b=5, 所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,所以log3645=====. 反思感悟：换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化,然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 1.已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256. 2.设a=lg2,b=lg3,试用a,b表示lg. 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：任务三：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 具体数的化简求值 例1．计算：（1）log345－log35； （2）log2（23×45）； （3）； （4）log29·log38． [规律方法]具体数的化简求值主要遵循两个原则： （1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。 （2）不同底化为同底。 类型二 代数式恒等变换 例2.化简loga。 [规律方法]使用公式要注意成立条件： 如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10（－10）2=2log10（－10）是不成立的。要特别注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga（M±N）≠logaM±logaN。 类型三 用代数式表示对数 例3．已知log189=a，18b=5，求log3645． [规律方法]用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元。 通过典型例题和题型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 1．计算：（1）2log63＋log64； （2）÷100－； （3）log43·log98； （4）log2．56．25＋ln－0.064。 2．已知y>0，化简loga。 3．已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256． 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节5：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节6：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1.(多选)下列各式(各式均有意义)不正确的为 (　　) A.loga(MN)=logaM+logaN B.loga(M-N)= C.= D.lob=-nlogab 2.log29×log34的值为 (　　) A.14 B.12 C.2 D.4 3.(log312-2log32)等于 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 4.已知log3x=m,log3y=n,则log3用m,n可表示为 (　　) A.m-n B.m-n C.- D.m-n 5.(多选)若log2m=log4n,则 (　　) A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn 6.设log23·log36·log6m=log4(2m+8),则实数m=　　　　. 7.计算下列各式的值: (1)log535+2lo-log5-log514; (2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258). 8.若2a=3,3b=5,试用a与b表示log4572. 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节7：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节8：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1.(多选)已知a,b均为正实数,若logab+logba=,则logab等于 (　　) A. B. C. D.2 2.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 (　　) A.-2 B.-2或5 C.5 D.3 3.设log83=p,log35=q,则lg5等于 (　　) A.p2+q2 B.(3p+2q) C. D.pq 4.设f(n)=logn+1(n+2)(n∈N+),现把满足乘积f(1)·f(2)·…·f(n)为整数的n叫做“贺数”,则在区间(1,2 023)内所有“贺数”的个数是 (　　) A.9 B.10 C.29 D.210 5.计算:=　　　　. 6.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py. (1)求p; (2)求证:-=. 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . . 学科网（北京）股份有限公司 $