第12讲 用一元一次方程解决问题（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第12讲 用一元一次方程解决问题（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.列一元一次方程解决问题 2.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 题型巩固 一、配套问题 二、工程问题 三、销售盈亏 四、比赛积分 五、方案选择 六、数字问题 七、几何问题 八、动点问题 九、和差倍分问题 十、电费和水费问题 十一、行程问题 十二、比例分配 十三、日历问题 十四、古代问题 十五、其他问题 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.列一元一次方程解决问题 一般步骤 (1)审题；(2)找等量关系；(3)设未知数；(4)列方程；(5)解所列方程；(6)检验未知数的值是否符合题意； (7)根据问题的需要写出答案 审题方法 “一读，二划，三复述，四表示.”“一读”就是读题，初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找出重点词句， 理出脉络，使题目简单明了；“三复述”就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表示”就是画图表示题意， 使题目变得一目了然 设未知数的方法 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况； (2)间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量； (3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求 知识点2.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 1. 常见题型 年龄问题、销售问题、行程问题、工程问题、比例问题、图形变化规律问题、分配问题、 计费问题、 盈亏问题、古算术问题等. 2. 找等量关系的基本方法 (1)根据各代数式之间的内在联系找等量关系； (2)根据不变量，例如图形的面积不变, 物体的体积不变，人数不变等，通过从不同角度的计算来找等量关系； (3)借助于一些辅助手段找等量关系： ①表格法；②线形示意图. 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）用铝片做听装饮料瓶，现有张铝片，每张铝片可制瓶身个或制瓶底个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，若要尽可能多做饮料瓶，设用 张铝片制作瓶身，则可列方程为 . 3．（22-23七年级上·江苏·单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某工程甲独做12天完成，乙独做8天完成，现在由甲先做3天，乙再参加合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 6．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某商品的进价为200元，按标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价是（   ） A．240元 B．260元 C．280元 D．300元 8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则该文具店打 折． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）某初中学校七年级举行“数学知识应用能力竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，某考生的成绩为82分，则他答对了 道题． 11．（2022七年级上·江苏·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？ (2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？ 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 12．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： 方案一：购物金额每满200元减20元； 方案二：购物金额打9折． (1)若某人购物金额为350元，则他选择方案一的实付金额为_________，他选择方案二的实付金额为_________； (2)若某人购物金额超过500元且不足600元．通过计算发现，他选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，这个人购物的金额是多少元？ 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（25-26七年级上·江苏南京·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数字之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（如图），“洛书”是世界上最早的“幻方”．图是能看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为 ． 16．（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第几幅图案中有25个四边形（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 18．（24-25七年级·江苏南通·期中）如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为 ． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数1，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是 ． (2)点表示数，点表示数，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求点表示的数． ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求点表示的数． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 20．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数为 ． 22．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． (1)运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． (2)当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 23．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．求甲、乙两组的人数． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 26．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 27．（25-26七年级上·江苏·期中）出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 29．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两队相约沿相同的路线徙步，徒步步的路程为，先到达目的地原地休息等待另一队．甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发，设甲队出发t小时，两队间隔的路程为．满足条件的所有t值的和为 ． 30．（2024七年级上·江苏·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 31．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 32．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 33．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 34．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图的2025年10月份的月历表中，任意框出表中同一横行上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．9 B．24 C．30 D．36 35．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知某月5个星期六的日期和为80，则该月1日是星期 ． 36．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是某年10月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别，，，，． (1)若，直接写出______，______． (2)在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，你同意他的说法吗？请说明理由． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 38．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等，这个和称为“幻和”．如图为“洛书”对应的“”幻方，则图中“幻和”的值为 ． 39．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）李爽的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李爽招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李爽喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（   ） A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶 41．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为公里与公里，若下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车实际里程计算；时长费按行车实际时间计算；远途费收取方式：行车里程10公里以内含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． 42．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）师徒三人共同完成一批零件，大徒弟完成了零件总数的，小徒弟完成了零件总数的，师傅完成了剩下的63个零件．这批零件一共有多少个？ 强化训练 一、单选题 1．某商场将一件玩具按进价提高后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利，则这件玩具销售时打的折扣是( ) A．折 B．折 C．折 D．折 2．太原某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示是一个长方形试管架，在长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 4．李华和赵亮从相距20千米的A、B两地同时出发相向而行，李华每小时走3千米，2小时后两人相遇，设赵亮的速度为x千米每小时，列方程得（    ）． A．2x+3=20 B．+x=20 C．2(3+x)=20 D．2(x-3)=20 5．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ） A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 7．诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 8．我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 10．在一次知识竞赛中，有20道抢答题，答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分，小芳有1道题没有答，成绩为74分，则她答对 道题． 11．将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪 刀． 12．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为 ． 13．某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是 ． 三、解答题 14．七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 15．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 16．某企业2020年的收入是1200万元，支出是800万元，2021年的收入比2020年增加，支出增加，利润增加，求a的值． 17．根据题意列出方程（不必求解）： (1)小明父亲今年岁，比小明年龄的倍少岁，问小明今年几岁？ (2)小赵为班级买三副羽毛球拍，付出元，找回元，每副羽毛球拍的单价是多少？ 18．已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且． (1)求a，b的值； (2)点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值； (3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？ 19．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 20．下面的表格是某次篮球联赛积分表： 某次篮球联赛积分表 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)如果删去积分表的最后一行，你能求出胜一场和负一场的得分吗？ (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的2倍吗？ (3)某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？ 21．如图，点 A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，已知|a+5|+（a+b+1）2=0． (1)求 a、b 的值； (2)若数轴上有一点 C，且 AC+BC=15，求点 C 在数轴上对应的数； (3)若点 P 从点 A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿数轴的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点 P 表示的数为______，点 Q 表示的数为________．（用含 t 的代数式表示）；当 OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上直接填写答案） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 用一元一次方程解决问题（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.列一元一次方程解决问题 2.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 题型巩固 一、配套问题 二、工程问题 三、销售盈亏 四、比赛积分 五、方案选择 六、数字问题 七、几何问题 八、动点问题 九、和差倍分问题 十、电费和水费问题 十一、行程问题 十二、比例分配 十三、日历问题 十四、古代问题 十五、其他问题 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.列一元一次方程解决问题 一般步骤 (1)审题；(2)找等量关系；(3)设未知数；(4)列方程；(5)解所列方程；(6)检验未知数的值是否符合题意； (7)根据问题的需要写出答案 审题方法 “一读，二划，三复述，四表示.”“一读”就是读题，初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找出重点词句， 理出脉络，使题目简单明了；“三复述”就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表示”就是画图表示题意， 使题目变得一目了然 设未知数的方法 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况； (2)间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量； (3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求 知识点2.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 1. 常见题型 年龄问题、销售问题、行程问题、工程问题、比例问题、图形变化规律问题、分配问题、 计费问题、 盈亏问题、古算术问题等. 2. 找等量关系的基本方法 (1)根据各代数式之间的内在联系找等量关系； (2)根据不变量，例如图形的面积不变, 物体的体积不变，人数不变等，通过从不同角度的计算来找等量关系； (3)借助于一些辅助手段找等量关系： ①表格法；②线形示意图. 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）用铝片做听装饮料瓶，现有张铝片，每张铝片可制瓶身个或制瓶底个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，若要尽可能多做饮料瓶，设用 张铝片制作瓶身，则可列方程为 . 【答案】； 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解决生产配套问题，根据瓶底，瓶身制作瓶子的个数相等列式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 用张制作瓶底， ， 即：， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·江苏·单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【答案】18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数． 【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球， 依题意得：， 解得：x＝18， ∴34﹣x＝34﹣18＝16． 答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某工程甲独做12天完成，乙独做8天完成，现在由甲先做3天，乙再参加合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此工程一共用了x天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此工程一共用了x天，根据题意得： ． 故选：B 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 6．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 【答案】4小时 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据整个工程为单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据题意得： ， 解得：， 答：乙挖掘机先单独做了4小时． 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某商品的进价为200元，按标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价是（   ） A．240元 B．260元 C．280元 D．300元 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据利润率为得出方程是解题关键．设标价为x元，则售价为，根据获利，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设该商品的标价为x元，则售价为元， 根据题意得：， 解得：， 即标价为300元． 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则该文具店打 折． 【答案】八 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该文具店打折，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该文具店打折， 根据题意得， 解得， 该文具店打八折， 故答案为：八． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 【答案】足球有65个，篮球有80个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了销售问题．方法一：先求出篮球的定价，然后求出15个篮球的销售总额，假设篮球的数量和足球的数量相同，求出总共的销售额，用总销售额除以篮球和足球合计单价即可求出足球的个数，足球的个数加上15即为篮球的个数．方法二：列一元一次方程进行求解，先求出篮球的定价，设足球有x个，篮球有个，根据题中数量关系列出一元一次方程并求解即可得到答案． 【详解】解：方法一：∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价：（元）， 15个篮球的销售额：（元）， 若篮球的数量和足球的数量相同，则总共的销售额为： （元） 此时篮球和足球合计单价：（元）， ∴足球个数：（个）， 篮球个数：（个）； 答：足球有65个，篮球有80个． 方法二： 解：设足球有x个，则篮球有个， ∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价为（元）， 由题意得， 解得， ∴篮球个数为（个）， 答：足球有65个，篮球有80个． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）某初中学校七年级举行“数学知识应用能力竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，某考生的成绩为82分，则他答对了 道题． 【答案】17 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设答对道题，则不答或答错题，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设答对道题，则不答或答错题， 由题意得，， 解得，， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 11．（2022七年级上·江苏·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？ (2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)16道 (2)不可能，理由见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，由此设设小婷答对x道题，根据题意列方程，解一元一次方程即可； （2）设小明答对x道，则答错道，根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，设小婷答对x道题， 根据题意得方程：， ， 解得， 答：小婷答对了16道题； （2）不可能．理由如下： 设小明答对x道，则答错道， 根据题意得， 解得， ∴答对题数不是整数，所以不可能． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 12．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 【答案】 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设原计划用车辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划用车辆，依题意有 ， 解得， ． 故参加秋游的学生一共有名． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： 方案一：购物金额每满200元减20元； 方案二：购物金额打9折． (1)若某人购物金额为350元，则他选择方案一的实付金额为_________，他选择方案二的实付金额为_________； (2)若某人购物金额超过500元且不足600元．通过计算发现，他选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，这个人购物的金额是多少元？ 【答案】(1)330元，315元 (2)这个人购物的金额为520元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的实际应用： （1）根据两种方案的优惠方法，列式计算即可； （2）设这个人购物的金额是元，根据选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一实付金额为：（元）； 方案二实付金额为：（元）； 故答案为：330元；315元； （2）解：设这个人购物的金额是元，由题意得：， 解得：； 答：这个人购物的金额为520元． 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了解一元一次方程． 由任意三个相邻数之和都是，可知、、、…相等，、、、…相等，、、、…相等，可以得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由任意三个相邻数之和都是可知： ， ， ， … ， 可以推出：，，， 所以，， 则， 解得：， 故选：A． 15．（25-26七年级上·江苏南京·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数字之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（如图），“洛书”是世界上最早的“幻方”．图是能看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握“九宫格”上数字的特点是解决本题的关键． 根据“九宫格”的数字特点，列出方程，求解即可． 【详解】解：每行、每列、对角线上的数字之和相等， ． ． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第几幅图案中有25个四边形（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】考查规律型中的图形变化问题，熟练观察，分析、归纳并发现其中的规律，是解题的关键． 根据第1幅图中有1个，第2幅图中有个，第3幅图中有个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案． 【详解】解：第1幅图中有个． 第2幅图中有个． 第3幅图中有个． 第4幅图中有个． …． 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有个． 当时， 故选；C． 18．（24-25七年级·江苏南通·期中）如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为 ． 【答案】7 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设小长方形宽为，则长为，根据长方形的长列方程，解方程得到x的值，即可求出小长方形的长和宽． 【详解】解：设小长方形宽为，则长为， 根据题意得：， 解得， 则， 故答案为：7． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数1，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是 ． (2)点表示数，点表示数，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求点表示的数． ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求点表示的数． 【答案】(1)、； (2)①；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）根据两点距离分别求得的长，根据定义，进行判断即可求解； （2）①令点表示的数为，分类讨论，根据新定义列出算式，进行计算即可求解； ②令点表示的数为，分类讨论，根据新定义列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴不是的“联盟点”； ∵， ∴， ∴是的“联盟点”； 综上所述，是点的“联盟点”的为、． 故答案为：、； （2）①令点表示的数为， 当点在之间时，， ，即，解得， ，即，解得， 当点在点左侧时，， ，即，解得． 综上所述，若点在点B的左侧，且点是点的“联盟点”，则此时点表示的数为． 故答案为：； ②令点表示的数为，若点在点的右侧， 当点为“联盟点”时，，即，解得， 当点为“联盟点”时，或，即或，解得或， 当点为“联盟点”时，，即，解得， 综上所述，若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则此时点表示的数为． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 20．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，点P在上运动时，，当点P在上运动时，，据此分别建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在上运动时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在上运动时，， ∴， 解得（此时点P不在上，舍去）； ∴的值为， 故选：B． 21．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数为 ． 【答案】 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程；先根据题意设出起始点表示的数为a，根据向左减去，向右加上列出方程算出答案即可； 【详解】解：设电子跳蚤的初始位置点所表示的数为a， 则：， ， ， ∴， ∴电子跳蚤的初始位置点所表示的数为； 故答案为：． 22．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． (1)运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． (2)当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 【答案】(1)； (2)的值为，相遇点表示的数为： 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】本题主要考查数轴上点的运动问题，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上点的运动方向以及运动速度，即可求解； （2）根据题意点与点相遇时，表示的数是同一个数，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 （2）解：依题意，点与点相遇时，表示的数是同一个数，则 解得： 当时， 答：的值为，相遇点表示的数为： 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 23．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据该班人数表示出图书数量得出等式方程是解题关键．根据图书总数不变，列出方程． 【详解】解：设有名学生． 当每人分3本时，余20本，总书数为， 当每人分4本时，缺25本，总书数为， 由于总书数相等，则． 故选：B． 24．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3．求甲、乙两组的人数． 【答案】甲、乙两组的人数分别为人，人． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设乙组原有x人，则甲组有人，根据题意列方程得，再解方程即可. 【详解】解：设乙组原有x人，则甲组有人， 根据题意列方程得． 整理得：， ∴， 解得：， ∴， 答：甲、乙两组的人数分别为人，人． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 26．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 【答案】 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用+超过所花的费用一共付的费用，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为， 由可知，则超过的路程为，此段路程收的费用为元，某人乘出租车从甲地到乙地共付费为16元， 可得方程， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·江苏·期中）出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 【答案】小明乘坐了9公里 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设出相应的未知数并列出方程是解决本题的关键． 设总路程为公里，根据题意可设出总费用的一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：设总路程为公里，则 ， ， ， ， ， 解得， 答：小明乘坐了9公里． 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系．根据行程问题利用火车的速度不变，列出一元一次方程即可求解. 【详解】解：设这列火车的长度是． 根据题意，得 解得． 所以这列火车的长度是． 故选：C． 29．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两队相约沿相同的路线徙步，徒步步的路程为，先到达目的地原地休息等待另一队．甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发，设甲队出发t小时，两队间隔的路程为．满足条件的所有t值的和为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分乙没有走时，两队间隔的路程为，乙没有追上甲前，两队间隔的路程为，乙追上甲，且乙没有到达终点和乙到达终点后，两队间隔的路程为三种情况，分别建立方程求解即可． 【详解】解：当乙没有出发，两队间隔的路程为，则; 当乙没有追上甲，两队间隔的路程为，则， 解得； 当乙追上甲，且乙没有到达终点前，两队间隔的路程为，则， 解得； 当乙到达终点后，两队间隔的路程为，则； 综上所述，满足题意的t的值为或或或， ∴满足条件的所有t值的和为， 故答案为：． 30．（2024七年级上·江苏·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 【答案】小明经过分钟到达乙地． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解． 【详解】解：设一半的时间是x分钟，由题意得： ， 解得， （分钟）， 答：小明经过分钟到达乙地． 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 31．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 32．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 【答案】4 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积． 33．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台， 依题意得：， 解得：， ∴， ， 答：三种型号三种洗衣机分别生产． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题． 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 34．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图的2025年10月份的月历表中，任意框出表中同一横行上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．9 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设框出的中间的数是x，可知这三个数的和是，分别根据各选项列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设框出的中间的数是x，则另外两个数是，，这三个数的和是， A、若，则，框出的三个数是2，3，4，故该选项不符合题意； B、若，则，框出的三个数是7，8，9，故该选项不符合题意； C、若，则，框出的三个数是9，10，11，故该选项不符合题意； D、若，则，框出的三个数是11，12，13，从图可知不能框出11，12，13，故该选项符合题意； 故选：D． 35．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知某月5个星期六的日期和为80，则该月1日是星期 ． 【答案】五 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 设第一个星期六日期为x，根据题意列出方程，解之即可得出答案． 【详解】设第一个星期六日期为x， 根据题意得，， 解得， ∴该月1日是星期五． 故答案为：五． 36．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是某年10月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别，，，，． (1)若，直接写出______，______． (2)在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，你同意他的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)小明说法正确，理由见解析 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和列代数式，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）根据如图日历写出的值，即可求解； （2）先根据题意写出，再求和，使这五个数的和等于106，计算a的值，再检验即可． 【详解】（1）解：若，由如图日历可得，， ∴， 故答案为：，； （2）解：小明说法正确，理由如下： 由题意得，， ∴五个数的和为， 当时，，故小明说法正确． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据所列方程得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，即可求解． 【详解】解∶设买甜果个，则买苦果个， 方程中， 表示买甜果花费的钱数， ∴甜果的单价是文/个； 表示买苦果花费的钱数， ∴苦果的单价是文/个． ∴题中用“…，…”表示缺失的条件为甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：A． 38．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等，这个和称为“幻和”．如图为“洛书”对应的“”幻方，则图中“幻和”的值为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用，由题中的等量关系表示出右下角的数是解题的关键，根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列方程，即可求出的值，进而求出“幻和”． 【详解】解：设第三行第三个数为， 则根据题意列—元—次方程，， 解得． ∴“幻和” 故答案为：． 39．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）李爽的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李爽招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李爽喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（   ） A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶 【答案】C 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， 本题通过逆向推理，从第三天开始逐步计算每天喝饮料前的瓶数，建立方程求解． 【详解】解： 第三天：喝前剩下瓶，喝掉瓶后喝完，故，解得瓶． 第二天：喝前剩下瓶，喝掉瓶后剩下1瓶，故，解得瓶． 第一天：总共有瓶，喝掉瓶后剩下3瓶，故，解得瓶． 故选：C． 41．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为公里与公里，若下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车实际里程计算；时长费按行车实际时间计算；远途费收取方式：行车里程10公里以内含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． 【答案】24 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这两辆滴滴快车的行车时间相差x分钟，根据这两辆滴滴快车的里程费之差与远途费之差的和这两辆滴滴快车的时长费之差，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这两辆滴滴快车的行车时间相差x分钟， 根据题意得：， 解得：， 这两辆滴滴快车的行车时间相差24分钟． 故答案为：． 42．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）师徒三人共同完成一批零件，大徒弟完成了零件总数的，小徒弟完成了零件总数的，师傅完成了剩下的63个零件．这批零件一共有多少个？ 【答案】105个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了分数的应用问题，先把整个工作量看做单位“1”，求出师傅完成数量占总数量的占比，列出除法算式即可； 【详解】解： （个） 答：这批零件一共有105个． 强化训练 一、单选题 1．某商场将一件玩具按进价提高后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利，则这件玩具销售时打的折扣是( ) A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设这件玩具的进价为a元，标价为元，再设打了x折，再由打折销售仍获利，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设这件玩具的进价为a元，打了x折，依题意有 ， 解得：． 答：这件玩具销售时打的折扣是8折． 故选B． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 2．太原某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一张桌子配4把椅子，则椅子的数量为桌子的4倍，即可列出方程式． 【详解】安排x名木工加工桌子，则名木工加工椅子 所以一天能加工张桌子，把椅子 要使一天加工的桌子能与椅子配套，则椅子的数量为桌子的4倍 所以列方程为： ． 故答案选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 3．如图所示是一个长方形试管架，在长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答本题时根据条件建立方程是解答的关键．根据条件就可以得出，然后求出该方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故选：B． 4．李华和赵亮从相距20千米的A、B两地同时出发相向而行，李华每小时走3千米，2小时后两人相遇，设赵亮的速度为x千米每小时，列方程得（    ）． A．2x+3=20 B．+x=20 C．2(3+x)=20 D．2(x-3)=20 【答案】C 【分析】根据李华与赵亮的路程和为20千米列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，2(3+x)=20 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是基础考点，找到等量关系是解题关键． 5．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ） A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒 【答案】C 【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解． 【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=， 设点P运动时间为t秒，则AP=2t 当点P在B点左侧时 2t+=8 解得t=， 当点P在B点左侧时 2t-=8 解得t= 所以t=或t=． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程． 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 【详解】解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点睛】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 7．诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系． 根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只”这一等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲原有只羊，根据题意得：， 解得：， 故选：B； 8．我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设原有树苗x棵，由栽树问题栽树的棵数分得的段数，可以表示出路的长度，由路的长度相等建立方程即可． 【详解】解：设原有树苗x棵，则路的长度为米， 由题意，得， 故选：B． 9．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意进行分类讨论： ①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4）， BP＝2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：； ②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6）， DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即14﹣2t＝6﹣t， 解得：t＝8（舍去）； ③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7）， DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得t＝； ④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11）， DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即2t﹣14＝t﹣6， 解得：t＝8； ⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14）， BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：t＝； 综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论． 二、填空题 10．在一次知识竞赛中，有20道抢答题，答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分，小芳有1道题没有答，成绩为74分，则她答对 道题． 【答案】16 【分析】设小芳答对道题，则她答错道题，根据答对一道得5分，答错一道扣2分，成绩为74分，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设小芳答对道题，则她答错道题， 根据题意得： ， 解得：， 小芳答对16道题， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11．将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪 刀． 【答案】506 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，一元一次方程的应用，解题的关键是培养学生通过观察、归纳、抽象出规律的能力．根据剪1刀，绳子变为5段，段，剪2刀，绳子变为9段，段，剪3刀，绳子变为13段，段，进而可以得出剪n刀，绳子变为段，根据想要剪得2025段绳子，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵剪1刀，绳子变为5段，段； 剪2刀，绳子变为9段，段； 剪3刀，绳子变为13段，段； …， ∴剪n刀，绳子变为段， ∴想要剪得2025段绳子，则， 解得：． 故答案为：506． 12．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为 ． 【答案】26 【分析】设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，， 由题意可得： 解得，这五个数中最大的数为 故答案为：26． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设中间第二个数为，并表示出其他四个数，根据题意列出方程． 13．某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是 ． 【答案】40% 【分析】先根据A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，求出配制比例，从而求出涨价前的利润，再求出涨价后的成本，继而求出利润率． 【详解】解：A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克， 涨价后，A糖果进价上涨20%，变为18元；糖果进价上涨10%，变为11元，总成本上涨12%， 设每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克， 则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x）， 涨价后每100千克成本为18x+11（100-x）， 解得：x=千克， 100-x=千克， 即二者的比例是：A：B=1：6， 则涨价前每千克的成本为元，销售价为元， 利润为6元， 原料涨价后，每千克成本变为元，成本的25%=3元，保证利润为6元， 则利润率为：6÷（12+3）=40%． 故答案为40%． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用——销售盈亏问题，求出两种糖果的配比是解题的关键． 三、解答题 14．七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】七年级（1）班共有66名学生 【分析】根据全班同学人数不变以及“将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人”列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． （名） 答：七年级（1）班共有66名学生 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程． 15．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 【答案】两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：李明跑步的路程＋刘伟跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间． 【详解】解：设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意，得 ， 解这个方程，得． 因为第二次两人还是从同一处同时反向出发， 所以又经过分钟再次相遇． 答：两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 16．某企业2020年的收入是1200万元，支出是800万元，2021年的收入比2020年增加，支出增加，利润增加，求a的值． 【答案】a的值为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据利润收入支出列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意列方程，得 ， 整理，得． 解得 答：a的值为． 17．根据题意列出方程（不必求解）： (1)小明父亲今年岁，比小明年龄的倍少岁，问小明今年几岁？ (2)小赵为班级买三副羽毛球拍，付出元，找回元，每副羽毛球拍的单价是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， （1）根据小明父亲年龄（42岁）比小明年龄的4倍少10岁，列方程即可； （2）根据三副羽毛球拍的总价为 元；小赵付出50元，找回3.50元，列方程即可． 【详解】（1）解：设小明今年 岁，则方程为 ． （2）设每副羽毛球拍的单价为 元，则方程为 ． 18．已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且． (1)求a，b的值； (2)点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值； (3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？ 【答案】(1) (2)或5 (3)点D表示的有理数是，小蜗牛甲共用去4秒 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值； （2）根据数轴上两点间的距离公式可求出说明点C不可能在点A和点B中间．即可故分类讨论：①当点C在点B的左边时和②当点C在点A的右边时，分别列出关于c的等式，再求解即可； （3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，由题意可知食物所在点代表的数为，结合题意可列出关于t的方程，解出t，从而可求出结果． 【详解】（1）∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴点C不可能在点A和点B中间． 故分类讨论：①当点C在点B的左边时， ， 解得：； ②当点C在点A的右边时， ， 解得：． 综上可知，c的值为或5； （3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇， 由题意可知食物所在点代表的数为，如图． ∴相遇时小蜗牛甲爬行个单位长度，小蜗牛乙爬行个单位长度， 根据题意得：， 解得：， ∴小蜗牛乙爬行个单位长度，小蜗牛甲共用去秒． ∴点D表示的有理数是． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键． 19．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 20．下面的表格是某次篮球联赛积分表： 某次篮球联赛积分表 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)如果删去积分表的最后一行，你能求出胜一场和负一场的得分吗？ (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的2倍吗？ (3)某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？ 【答案】(1)胜1场得2分，负1场得1分 (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的2倍 (3)不能，详见解析 【分析】（1）利用东方队和光明队的数据设胜1场得分，则东方队负场总积分为分，可得负1场得分；光明队负场总积分为分，可得负1场得分，再建立方程求解即可； （2）设一个队胜的场次为，则负的场次为，再根据胜场总积分能等于它的负场总积分的2倍，再列方程求解即可； （3）设一个队胜的场次为，则负的场次为，再根据负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：能．利用东方队和光明队的数据设胜1场得分， 则东方队负场总积分为分， ∴负1场得分； 光明队负场总积分为分， ∴负1场得分． 由此得方程， 解得． 则． 答：胜1场得2分，负1场得1分． （2）能．设一个队胜的场次为，则负的场次为． 由题意，得， 解得． 所以某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的2倍． （3）不能．设一个队胜的场次为，则负的场次为． 由题意，得， 解得． 因为胜的场次不可能为分数，所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，准确的确定相等关系并列方程是解本题的关键． 21．如图，点 A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，已知|a+5|+（a+b+1）2=0． (1)求 a、b 的值； (2)若数轴上有一点 C，且 AC+BC=15，求点 C 在数轴上对应的数； (3)若点 P 从点 A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿数轴的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点 P 表示的数为______，点 Q 表示的数为________．（用含 t 的代数式表示）；当 OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上直接填写答案） 【答案】(1)a＝﹣5，b＝4 (2)﹣8或7 (3)﹣5+2t，4﹣4t，或 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值； （2）根据AB＝9可知点C在点A的左侧或点B的右侧，分点C在点A左侧和点C在点B右侧两种情况考虑，找出AC、BC的长度结合AC+BC＝15即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点P、Q的运动找出OP、OQ的长度，结合OP＝2OQ即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵|a+5|+（a+b+1）2＝0， ∴a+5＝0，a+b+1＝0， ∴a＝﹣5，b＝4． （2）设点C在数轴上对应的数为x， ∵AB＝4﹣（﹣5）＝9， ∴点C在点A的左侧或点B的右侧，如图1所示． 若点C在点A左侧，则AC＝﹣5﹣x，BC＝4﹣x， ∴AC+BC＝﹣5﹣x+4﹣x＝﹣1﹣2x＝15， 解得：x＝﹣8； 若点C在点B右侧，则AC＝x﹣（﹣5）＝x+5，BC＝x﹣4， ∴AC+BC＝x+5+x﹣4＝15， 解得：x＝7． ∴点C在数轴上对应的数为﹣8或7． （3）由题意可得： P 表示的数为﹣5+2t，点 Q 表示的数为4﹣4t， OP＝|5﹣2t|，OQ＝|4﹣4t|，如图2所示． ∵OP＝2OQ， ∴|5﹣2t|＝2|4﹣4t|， 解得：t1，t2． ∴当OP＝2OQ时，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $