第11讲 多边形和圆的初步认识（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第11讲 多边形和圆的初步认识（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.多边形及其相关概念 2.圆和扇形及其相关概念 题型巩固 一、多边形的概念与分类 二、多边形截角后的边数问题 三、多边形的周长 四、网格中多边形面积比较 五、多边形对角线的条数问题 六、对角线分成的三角形个数问题 七、圆的基本概念辨析 八、圆的周长和面积问题 九、圆心角概念辨析及简单运算 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.多边形及其相关概念 1. 多边形 : 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形 . 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形 . 注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 . 2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写，也可以按顶点逆时针的顺序书写 . 3. 多边形的边、顶点、内角、对角线的概念 名称 概念 表示 图示 边 组成多边形的各条线段 线段 AB， BC，CD， DE， EA 顶点 多边形相邻两条边的公共端点 点 A， B， C， D， E 内角 多边形相邻两条边组成的角 ∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 线段 AC，AD，BE ， BD， CE 4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 . 示 例 正三角形 正四边形(正方形) 正五边形 正六边形 正八边形 知识点2.圆和扇形及其相关概念 项目 内容 示例 圆的定义 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆，固定的端点称为圆心，这条线段称为半径 点 O 是圆心，线段OA ， OB都是半径 ⌒ 有关名称 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧 如弧 AB，记作 AB 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形 如扇形AOB 顶点在圆心的角叫作圆心角 如∠ AOB 1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 . 2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R²，将圆等分为360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是 ，所以圆心角为 n° 的扇形的面积为 n . 题型巩固 题型一、多边形的概念与分类 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 题型二、多边形截角后的边数问题 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 题型三、多边形的周长 6．（24-25七年级上·河南郑州）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 题型四、网格中多边形面积比较 8．（22-23七年级·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 9．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 10．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型五、多边形对角线的条数问题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六边形从一个顶点出发的对角线的条数为，对角线的总条数为，则，的值分别为（   ） A．2，9 B．3，6 C．3，9 D．2，6 12．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 题型六、对角线分成的三角形个数问题 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 16．（22-23七年级上·湖南娄底）在下图中画一条线使五边形分成二个三角形 题型七、圆的基本概念辨析 17．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 18．在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成 个不同的扇形． 19．如图，长方形的长厘米，宽厘米．    (1)如图，一个半径为的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，E，F 分别为，上的点，且 ，，一个半径为厘米的圆在长方形外侧连续地从经过点，滚动到点，求圆滚过的面积．（结果保留） 题型八、圆的周长和面积问题 20．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 22．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 题型九、圆心角概念辨析及简单运算 23．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 24．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 25．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 强化训练 一、单选题 1．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 3．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 4．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 5．从多边形的一个顶点出发可以作条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A． B． C． D． 6．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 9．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 10．下列说法中正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点；②若，则：③在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是；④过五边形一个顶点的所有对角线把五边形分成3个三角形；⑤若，，则 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 12．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 13．在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 14．如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 15．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 16．从边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成17个三角形，则＝ ． 三、解答题 17．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 18．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 19．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 20．如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 21．（1）如果把人的头顶和脚底分别看做一个点，把地球赤道看做一个圆，那么身高的小明沿地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何． （2）假设小明在某个半径为的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了多少米呢？在半径为的星球上情况又如何呢？ 22．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 23．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 多边形和圆的初步认识（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.多边形及其相关概念 2.圆和扇形及其相关概念 题型巩固 一、多边形的概念与分类 二、多边形截角后的边数问题 三、多边形的周长 四、网格中多边形面积比较 五、多边形对角线的条数问题 六、对角线分成的三角形个数问题 七、圆的基本概念辨析 八、圆的周长和面积问题 九、圆心角概念辨析及简单运算 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.多边形及其相关概念 1. 多边形 : 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形 . 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形 . 注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 . 2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写，也可以按顶点逆时针的顺序书写 . 3. 多边形的边、顶点、内角、对角线的概念 名称 概念 表示 图示 边 组成多边形的各条线段 线段 AB， BC，CD， DE， EA 顶点 多边形相邻两条边的公共端点 点 A， B， C， D， E 内角 多边形相邻两条边组成的角 ∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 线段 AC，AD，BE ， BD， CE 4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 . 示 例 正三角形 正四边形(正方形) 正五边形 正六边形 正八边形 知识点2.圆和扇形及其相关概念 项目 内容 示例 圆的定义 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆，固定的端点称为圆心，这条线段称为半径 点 O 是圆心，线段OA ， OB都是半径 ⌒ 有关名称 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧 如弧 AB，记作 AB 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形 如扇形AOB 顶点在圆心的角叫作圆心角 如∠ AOB 1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 . 2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R²，将圆等分为360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是 ，所以圆心角为 n° 的扇形的面积为 n . 题型巩固 题型一、多边形的概念与分类 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】见解析 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 题型二、多边形截角后的边数问题 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 5．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 题型三、多边形的周长 6．（24-25七年级上·河南郑州）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【答案】4 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 题型四、网格中多边形面积比较 8．（22-23七年级·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 9．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【答案】6 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 10．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型五、多边形对角线的条数问题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六边形从一个顶点出发的对角线的条数为，对角线的总条数为，则，的值分别为（   ） A．2，9 B．3，6 C．3，9 D．2，6 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数，多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，边形有个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从边形的一个顶点出发的对角线有条，总条数为．结合六边形有六个顶点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵六边形有六个顶点， ∴一个顶点出发的对角线的条数为， 则总条数为． 故选：C 12．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】十二 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从一个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点可以引出条对角线即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形， 故答案为：十二． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 题型六、对角线分成的三角形个数问题 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查基本平面图形的认识．从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（实际画对角线），将多边形分割成三角形的数量为个，据此即可计算． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（画对角线），可得到个三角形， 由题意得， ∴． 故选：D． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【答案】5 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 16．（22-23七年级上·湖南娄底）在下图中画一条线使五边形分成二个三角形 【答案】见解析 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】可以用一条足够粗的线，线的宽度和五边形的一边长度相同，用这条粗线从五边形中和它宽度相同的边垂直划过，那么这剩余的四边和那一条粗线所组成的便就是两个三角形了． 【详解】如图，即为所求两个三角形： 【点睛】图形的划分要结合原图的特征，解答本题的关键是明确“线的概念”． 题型七、圆的基本概念辨析 17．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，“方圆”通常指的是以某点为中心的圆形区域，“十里”描述的是这个圆形区域的某种域长度特征． 【详解】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以这里的“十里’指的是圆的半径． 故选：A． 18．在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成 个不同的扇形． 【答案】6 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据扇形的定义回答即可求解． 【详解】解：如图，图中有三条半径，可以得到三个扇形，再把相邻的两个扇形拼在一起，可以得到新的3个扇形，所以可以得到6个不同扇形． 故答案为：6 【点睛】本题考查了认识平面图形，理解扇形的定义是解题关键． 19．如图，长方形的长厘米，宽厘米．    (1)如图，一个半径为的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，E，F 分别为，上的点，且 ，，一个半径为厘米的圆在长方形外侧连续地从经过点，滚动到点，求圆滚过的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】（1）如图所示，圆滚过的面积=长方形的面积一中间白色长方形的面积−四个直角处的面积和；四个直角处的面积和=边长为2厘米的正方形的面积-半径为l的圆的面积，据此解答即可； （1）如图把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为2厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为1厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【详解】（1）解：如图1中，    空白部分的长，宽， ∴阴影部分的面积； （2）解：如图2中，    由题意，， ， ∴阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型八、圆的周长和面积问题 20．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据圆的周长是易得圆的半径是2，再用圆的面积公式可得该圆的面积是． 【详解】解：根据题意：圆的半径是 ∴圆的面积是 故选B． 【点睛】本题主要考查圆的周长与面积公式的灵活应用，解题的关键是熟练记住面积和周长的公式． 21．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 22．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个运动场的周长是：（米）， 这个运动场的面积是：（平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 题型九、圆心角概念辨析及简单运算 23．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 24．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 25．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 强化训练 一、单选题 1．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形． 【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形， ∴是多边形，共个， 故选：． 2．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 3．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 4．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 5．从多边形的一个顶点出发可以作条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线条数与边数的关系，设这个多边形的边数是，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得， 解得：， 故选：． 6．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 7．从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为个． 根据从一个边形的某个顶点出发，把边形分为个三角形进行作答即可． 【详解】解：∵对角线把这个多边形分割成个三角形， ∴， 解得：， 故选：． 8．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 9．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【详解】解：由题可得． 故选D． 10．下列说法中正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点；②若，则：③在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是；④过五边形一个顶点的所有对角线把五边形分成3个三角形；⑤若，，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查立体图形，绝对值，钟面角，多边形，角的和差，根据相关知识逐一判断各说法的正确性即可． 【详解】解： ①五棱柱上下底面均为五边形，各有5个顶点，共个顶点，故①正确． ②若，则或，故②错误． ③时针1分钟经过，分针1分钟经过， 时，时针与分针夹角为，故③正确； ④五边形从一个顶点出发可作2条对角线，分割为个三角形，故④正确． ⑤分两种情况讨论：若射线在内部，如图， 则． 若射线在外部，如图， 则． ∴，为或，故⑤错误． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选：B． 二、填空题 11．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故答案为：． 12．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 13．在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【答案】180 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，边形的对角线条数为，据此列式求解即可． 【详解】解：条， ∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 14．如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 15．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 16．从边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成17个三角形，则＝ ． 【答案】19 【分析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规律作答． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形， ∴-2=17， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系． 三、解答题 17．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 【答案】，， 【分析】本题主要考查了扇形的圆心角，用分别乘以各个扇形所占的百分比，求出各个扇形圆心角度数即可． 【详解】解：周角是， ， ． 18．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个运动场的周长是：（米）， 这个运动场的面积是：（平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 19．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 20．如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 【答案】平方米 【分析】本题考查了圆的面积公式． 根据题意可知：狗的运动范围是以12米为半径的圆的面积的，加上2个以米为半径的圆的面积的，利用圆的面积公式：，把数代入计算即可． 【详解】如图所示， （平方米）． 21．（1）如果把人的头顶和脚底分别看做一个点，把地球赤道看做一个圆，那么身高的小明沿地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何． （2）假设小明在某个半径为的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了多少米呢？在半径为的星球上情况又如何呢？ 【答案】（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米；（2）小明在半径为和的星球上环绕一周，头顶比脚底都多“走”了3π米． 【分析】（1）设地球的半径是Rm，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是（R＋1.5）m，利用圆的周长公式计算出两圆的周长的差为3π，则可判断他的头顶比脚底多“走”了3π米，即可求解； （2）与（1）的计算方法一样，他的头顶比脚底多“走”的路程与星球的半径无关，只与小明的身高有关． 【详解】解：（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米． 设地球的半径是Rm，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是（R＋1.5）m．地球的周长是2πRm，人头环形一周的周长是2π（R＋1.5）m， 因而他的头顶比脚底多行的路程＝2π（R＋1.5）−2πR＝3π（m）． （2）当小明在某个半径为1km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（1000＋1.5）−2π•1000＝3π（m）， 当小明在某个半径为10km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（10000＋1.5）−2π•10000＝3π（m）． 【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键． 22．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 23．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①；②；（2）135个 【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②； （2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。 【详解】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：①；② （2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）． 【点睛】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线. 学科网（北京）股份有限公司 $