专题19 用提公因式法分解因 式讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题19 用提公因式法分解因式 （重难点题型专训） 【知识考点 用提公因式法分解因式】 【解题知识必备】 1.因式分解的概念 （1）定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. （2）注意： ①因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； ②因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； ③因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； ④因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2.公因式 （1）定义：多项式的各项中都含有公共的因式，那么这个公共的因式就叫作这个多项式各项的公因式. 如：多项式pa+pb+pc的各项中都含有公共的因式p，那么这个公共的因式p就是这个多项式各项的公因式. （2）怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法 （1）定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 用式子表示为：pa+pb+pc=p(a+b+c) （2）提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． （3）注意： ①多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． ②提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． ③若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 判断是否是因式分解 【题型02】 利用因式分解的意义求值 【题型03】 找出多项式中各项的公因式 【题型04】 运用提公因式法分解因式 【题型05】 提公因式法分解因式的应用 【特训06】 综合强化提升 【特训07】 直通中考真题 【题型01】 判断是否是因式分解 【例1】（2025-2026八年级上·湖南湘潭·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①； ②； ③； ④． 【题型02】 利用因式分解的意义求值 【例2】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【变式2-1】（2025-2026八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 【变式2-2】（2023-2024八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 【题型03】 找出多项式中各项的公因式 【例3】（2025-2026八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式3-3】（2025-2026八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 【题型04】 运用提公因式法分解因式 【例4】（2025-2026八年级上·辽宁盘锦·开学考试）因式分解： (1) (2)； 【变式4-1】（2023-2024八年级·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 ． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 【题型05】 提公因式法分解因式的应用 【例5】（2023-2024八年级·广西贵港·期中）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．30 C． D． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·安徽安庆·期中）已知为有理数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 【变式5-2】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ） A．35 B．150 C．300 D．600 【变式5-3】（2023-2024八年级·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【特训06】 综合强化提升 1.（2024-2025八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025-2026八年级上·北京·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025-2026八年级上·湖南岳阳·月考）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）下列各式从左边到右边的变形中 ①，②，③， ④，是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2023-2024八年级·安徽六安·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6.（2025-2026八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 7.（2024-2025八年级下·陕西安康·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 8．（2025-2026八年级上·全国·单元测试）已知，则 ． 9.（2024-2025七年级上·上海宝山·期中）已知，那么 ． 10.（2025-2026八年级上·湖南娄底·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为 ． 11.（2023-2024八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个． 12．（2023-2024七年级上·全国·竞赛）已知，则 ． 13．（2023-2024八年级·广东深圳·期中）因式分解： (1) (2) 14.（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 15．（2024-2025八年级上·福建莆田·阶段练习）已知，，求多项式的值． 16．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 17．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，用含a，b的式子表示的值． 18．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【特训08】 直通中考真题 1．（2024·广东深圳·中考真题）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·中考真题）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 6．（2025·江西·中考真题）因式分解： 7．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式 ． 8．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 9．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ． 10．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 11．（2024·福建泉州·中考真题）若，则的和为 ． 12．（2024·全国·中考真题）已知，且a、b、c互不相等，则 ． 13．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 14．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 15．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ． 16．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算下列各题： (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 用提公因式法分解因式 （重难点题型专训） 【知识考点 用提公因式法分解因式】 【解题知识必备】 1.因式分解的概念 （1）定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. （2）注意： ①因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； ②因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； ③因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； ④因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2.公因式 （1）定义：多项式的各项中都含有公共的因式，那么这个公共的因式就叫作这个多项式各项的公因式. 如：多项式pa+pb+pc的各项中都含有公共的因式p，那么这个公共的因式p就是这个多项式各项的公因式. （2）怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法 （1）定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 用式子表示为：pa+pb+pc=p(a+b+c) （2）提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． （3）注意： ①多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． ②提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． ③若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 判断是否是因式分解 【题型02】 利用因式分解的意义求值 【题型03】 找出多项式中各项的公因式 【题型04】 运用提公因式法分解因式 【题型05】 提公因式法分解因式的应用 【特训06】 综合强化提升 【特训07】 直通中考真题 【题型01】 判断是否是因式分解 【例1】（2025-2026八年级上·湖南湘潭·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义，逐一分析每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式． 【解答】解：A、是整式乘法，是把两个整式的积化为一个多项式，不是因式分解； B、，右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； C、，将多项式化为了两个整式和的积的形式，符合因式分解的定义； D、，右边的是分式，不是整式，不是因式分解． 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【解答】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【解答】解：A：，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B：，右边不是积的形式，故本选项不符合题意； C：，右边不是整式，故本选项不符合题意； D：，右边是整式的积，符合因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①； ②； ③； ④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【解答】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 【题型02】 利用因式分解的意义求值 【例2】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【解答】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 【变式2-1】（2025-2026八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 【答案】2（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了因式分解，正确得出等式是解题关键． 设，可得，从而得到，，即可求解． 【解答】解：设， ∴， ∴，， 当，时， ． 此时，能分解为两个一次因式的乘积． 故答案为：2（答案不唯一） 【变式2-2】（2023-2024八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【解答】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【解答】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 【题型03】 找出多项式中各项的公因式 【例3】（2025-2026八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式的确定，确定公因式需考虑系数、字母及指数：系数取各项系数的最大公因数（带符号），字母取各项共有字母，指数取各字母的最小指数． 【解答】解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【解答】解：和的公因式的是， 故选：C． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【解答】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【解答】解：与的公因式是． 故答案为：． 【题型04】 运用提公因式法分解因式 【例4】（2025-2026八年级上·辽宁盘锦·开学考试）因式分解： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）提公因式法进行因式分解即可． 【解答】（1）解：原式； （2）原式． 【变式4-1】（2023-2024八年级·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【解答】解：． 故选：C 【变式4-2】（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，观察多项式，两项均有公因式，直接提取公因式即可． 【解答】解：． 故答案为 【变式4-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先观察多项式各项，找到公因式，提取公因式后再看剩余部分是否能继续分解； （2）先将式子中的变形为，然后观察式子，找到公因式，提取公因式进行因式分解． 【解答】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ． 【题型05】 提公因式法分解因式的应用 【例5】（2023-2024八年级·广西贵港·期中）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选C． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·安徽安庆·期中）已知为有理数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 【答案】A 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【解答】原式，即不是负数， 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ） A．35 B．150 C．300 D．600 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，提公因式分解因式，先根据长方形的周长和面积求出和的值，然后代入化简后的代数值求解即可． 【解答】解：∵长方形周长为20， ∴， ∴． ∵长方形的面积为15， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-3】（2023-2024八年级·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解简便计算，即可求解； （2）利用因式分解简便计算，即可求解． 【解答】（1）解： （2）解： 【点评】本题考查了利用因式分解简便计算，熟练掌握和运用利用因式分解简便计算是解决本题的关键． 【特训06】 综合强化提升 1.（2024-2025八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A．，符合因式分解的定义，符合题意； B．，为多项式乘法，不符合题意； C．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不符合题意； D．，等式右边存在不是整式的代数式，不符合题意． 故选A． 2．（2025-2026八年级上·北京·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式积的形式即可． 【解答】解： 选项A：变形结果不是整式的积，不符合因式分解的定义； 选项B：左边多项式 化为 ，是整式积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：右边是 ，是和的形式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义． 故选：B． 3．（2025-2026八年级上·湖南岳阳·月考）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【解答】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、是因式分解，故选项符合题意； C、不是因式分解，故选项不符合题意； D、不是因式分解，故选项不符合题意； 故选：B． 4.（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）下列各式从左边到右边的变形中 ①，②，③， ④，是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【解答】解：①是整式乘法，不是因式分解； ② 的右边不是积的形式，不是因式分解； ③ 是因式分解； ④ 是因式分解． ∴是因式分解的有③和④，共2个， 故选：B． 5.（2023-2024八年级·安徽六安·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式进行变形，然后对所求式进行因式分解，最后整体代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了因式分解的应用，掌握整体代入思想是解决此题关键． 6.（2025-2026八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【解答】∵ ，， ∴ 故答案为：． 7.（2024-2025八年级下·陕西安康·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【解答】解：， 故答案为：． 8．（2025-2026八年级上·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入计算． 【解答】解： ， 把，代入得： 原式 ， 故答案为：． 9.（2024-2025七年级上·上海宝山·期中）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 10.（2025-2026八年级上·湖南娄底·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【解答】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11.（2023-2024八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个． 【答案】3 【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵等腰的三边长、、均为整数， ∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数， 那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2， ①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解； ②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解； ③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解； ④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形； ⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形； ⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形． ∴一共有3个这样的三角形． 故答案是：3． 【点评】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键． 12．（2023-2024七年级上·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 13．（2023-2024八年级·广东深圳·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解—提公因式法， （1）直接提取公因式即可， （2）将原式转化为，然后再提取公因式即可； 解题的关键是掌握提公因式的一般步骤，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负． 【解答】（1）解： ； （2） ． 14.（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式，再将代入求解即可． 【解答】解：， ∴ ． 15．（2024-2025八年级上·福建莆田·阶段练习）已知，，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用与表示是正确解答本题的关键． 对要求的式子进行转化，用与表示，代入数值可得答案． 【解答】解：∵，， ∴ ． 16．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)，-3 (2)，35 【分析】本题考查提取公因式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． （1）（2）先提取公因式，再求解． 【解答】（1）解：原式． 当，，时， 原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 17．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，用含a，b的式子表示的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法以及代数式的变形与代入求值的知识点，掌握因式分解中的提取公因式最关键． 本题将变形为，利用因式分解中的提取公因式法对原式进行整理，再将两式相加，与整理结果形式相符后，即可代入解决问题． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ∴两式相加，得， ∴原式． 18．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式 2 (2)2024   (3) 【分析】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． 【解答】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为， 故分解因式，需要提公因式次，结果为， 故答案为：，； （3）解：原式 … ． 【特训08】 直通中考真题 1．（2024·广东深圳·中考真题）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【解答】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·北京·中考真题）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【解答】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 3．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 4．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【解答】解：， 故答案为： 6．（2025·江西·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【解答】解：． 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式 ． 【答案】 【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键． 【解答】解： 故答案为： ． 8．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【解答】解：原式， 故答案为： ． 9．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答． 【解答】解： 故答案为： 10．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【解答】解：． 故答案为：． 11．（2024·福建泉州·中考真题）若，则的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【解答】解： ． 故答案为：0 ． 12．（2024·全国·中考真题）已知，且a、b、c互不相等，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 14．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【解答】 ． 故答案为：42． 【点评】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【解答】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 16．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算下列各题： (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】本题考查了不等式组的解法以及因式分解； （1）分别解出两个不等式，求出解集后用数轴表示即可； （2）提取公因式，即可求解． 【解答】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 该解集在数轴上表示为： （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $