专题07 一元一次方程 2026年九年级中考数学第一轮复习

专题07 一元一次方程 考点一：一元一次方程之概念考点一：一元一次方程的概念 1、方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。一般形式为：。 必须同时满足三个条件： ①只含有一个未知数。 ②未知数的次数是1。 ③是整式方程。 3、方程的解与一元一次方程的解： 是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解。 （例题讲解） 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 6．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 7．若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 8．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． （例题讲解） 考点二：等式的性质 1、等式的性质： 性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。 即： 性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立。 即：。 9．若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． （练习题） 10．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 12．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 13．若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 14．在公式中，已知s，a，b，则 ． 15．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 16．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 17．如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= . 18．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． （例题讲解）考点三：解一元一次方程 1、解一元一次方程的步骤： ①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。 ②去括号。注意括号前的符号，是否需要变号。 ③移项——含有未知数的项移到等号左边，常数移到等号右边。移动的项一定要变符号。 ④合并——利用合并同类项的方法合并。 ⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数） （练习题） （例题讲解）考点四：一元一次方程的实际应用 1、列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2、常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 ③配谈问题： 实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3、常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 （练习题） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次方程 考点一：一元一次方程之概念考点一：一元一次方程的概念 1、方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。一般形式为：。 必须同时满足三个条件： ①只含有一个未知数。 ②未知数的次数是1。 ③是整式方程。 3、方程的解与一元一次方程的解： 是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解。 （例题讲解） 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． （练习题） 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程的概念列出式子即可得出且即可得出答案． 【详解】解：若方程是关于的一元一次方程， 则，且， ∴， 故选：D． 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 4．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 5．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】D 【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解， ∴5a+14b＝0， ∴a＝﹣b ∴ab＝﹣b2≤0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数为0是解答本题的关键. 6．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过一元一次方程求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须是1且系数不为零，得到且，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 且， 由，得，所以或 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， 故答案为：． 7．若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义求出的值代入计算即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得， ， 故答案为：． 8．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． （例题讲解） 考点二：等式的性质 1、等式的性质： 性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。 即： 性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立。 即：。 9．若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． （练习题） 10．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致；选项B变形错误；选项C中a可能为0；选项D两边同乘，正确． 【详解】解：A：若，则或，但不成立； B：若，两边同乘6，得，而非； C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立， D：若，则两边同乘，得，成立． 故选D． 11．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，灵活运用等式的性质进行变形是解题的关键． 令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以5．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，从而求得S即可解答． 【详解】解：令， 由等式的基本性质二，等式两边都乘以5可得： ， 由等式的基本性质一，将两个等式相减得： ，即， ∴． 故选：D． 12．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 13．若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 14．在公式中，已知s，a，b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 利用等式的性质解出未知数即可． 【详解】解：∵在公式中，已知s，a，b， ∴ 解得． 故答案为：． 15．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 16．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【答案】(1)1 (2) (3)5 (4)2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为0）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加1，所以． （2）根据等式两边同时减同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时减2，所以． （3）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘5，所以． （4）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以3，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：5； （4）解：∵， ∴， 故答案为：2； 17．如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= . 【答案】 3 -2 【详解】分析：先将等式转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值． 详解：将等式ax﹣3x=2+b转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则a﹣3=0，解得：a=3，此时，2+b=0，解得：b=﹣2．     故答案为3，﹣2． 点睛：本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立” ． 18．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． （例题讲解）考点三：解一元一次方程 1、解一元一次方程的步骤： ①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。 ②去括号。注意括号前的符号，是否需要变号。 ③移项——含有未知数的项移到等号左边，常数移到等号右边。移动的项一定要变符号。 ④合并——利用合并同类项的方法合并。 ⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数） （练习题） （例题讲解）考点四：一元一次方程的实际应用 1、列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2、常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率。 ③配谈问题： 实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3、常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 （练习题） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $