精品解析：浙江省湖州市长兴县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期期中素养测试 八年级数学 试题卷 考生注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5.本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题意要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 下列选项，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. 55°，55° B. 70°，40°或70°，55° C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40° 8. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 9. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 64 B. 60 C. 120 D. 128 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 13. 在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为_______． 14. 如图，，，，，数轴上点表示的数是__________． 15. 如图，在中，，，面积为，于点，直线的垂直平分线交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是______ ． 16. 如图，在和中，，，．连接，取的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，当点，，在同一直线上时，的长为______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 已知：如图，，，点，，，在同一条直线上，且．求证：． 证明：（_________）， ____________________， 即， ， __________（__________）， 在和中 ， （________）， （________）． 18 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） （2）若，，求的面积． 20. 如图，已知中，，，是上一点，连结，且，． （1）求证：． （2）求的度数． 21. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 22. 在中，，是斜边上的中线，是斜边上的高线，，． （1）如图1，中线的长为__________，高线的长为__________． （2）如图2，在的延长线上取一点，使得，求的长． 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为． （1）若点在上，则_____，_____（用含的代数式表示）． （2）若点在的平分线上（不与点重合），求的值． （3）在整个运动过程中，直接写出当是等腰三角形时的值． 24. 请阅读下面的材料． （1）问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． （2）变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． （3）拓展：如图4，在中，，和平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中素养测试 八年级数学 试题卷 考生注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5.本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题意要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C、原图不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、原图不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2. 如图，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据，进而求解即可． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6. 下列选项，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键． 要证明命题“若，则”是假命题，只需找出满足，但不满足的、值即可． 【详解】A．当，时，，，满足；而，不满足，可作为反例，故本选项符合题意； B．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； C．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； D．当，时，，，不满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A 55°，55° B. 70°，40°或70°，55° C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 （2）当的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为，顶角为 综上，另外两个内角的度数分别是或 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键． 8. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 9. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 64 B. 60 C. 120 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 13. 在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为_______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 14. 如图，，，，，数轴上点表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键．先由勾股定理算出，再根据点A在数轴负半轴进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的面积为，于点，直线的垂直平分线交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为，由此即可解决问题． 本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在和中，，，．连接，取的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，当点，，在同一直线上时，的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质判定和性质，勾股定理，中位线的性质定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况进行讨论，即点C在线段上和点C在线段得延长线上，分别延长，交于点F，证明为等腰直角三角形，及为中位线，进而求解即可． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 已知：如图，，，点，，，同一条直线上，且．求证：． 证明：（_________）， ____________________， 即， ， __________（__________）， 在和中 ， （________）， （________）． 【答案】已知，，，两直线平行，同位角相等，，已知；，全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】根据平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，等式的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知） 即 （两直线平行，同位角相等） 在和中 （全等三角形的对应角相等） 故答案为：已知，，，两直线平行，同位角相等，，已知；，全等三角形的对应角相等． 18. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据边角边证明全等即可； （2）直接根据全等三角形对应角相等求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在与中， ∵ ； 【小问2详解】 ， ． 19. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交于两点P，Q，分别以这两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点D，即可； （2）过点D作交于点，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：即为所求； 【小问2详解】 解：过点D作交于点， 平分，，， ， ， ． 20. 如图，已知中，，，是上一点，连结，且，． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用勾股定理逆定理求解即可； （2）证明等腰直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 是直角三角形，且， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，， 是等腰直角三角形， ． 21. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 在中，，是斜边上的中线，是斜边上的高线，，． （1）如图1，中线的长为__________，高线的长为__________． （2）如图2，在的延长线上取一点，使得，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的面积公式解答即可． （2）设，则，平方后解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，面积的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ，． ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵是斜边上的高线， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设，则， ∴， 解得， ∴的长为． 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为． （1）若点在上，则_____，_____（用含的代数式表示）． （2）若点在的平分线上（不与点重合），求的值． （3）在整个运动过程中，直接写出当是等腰三角形时的值． 【答案】（1）， （2） （3）1或9.5或10或10.6 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，涉及等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据运动路径和速度、时间，求解即可； （2）过点P作，垂足为E，先证明，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）分点在上时，存在，和点在上时，存在三种情况，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为， ∴点在上，则， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点在的平分线上（不与点重合），如图所示， 过点P作，垂足为E， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 【小问3详解】 解：①点在上时，存在， ∵， ∴； ②点在上时，存在三种情况： 第一种：， ∴， ∴； 第二种：，如图，过点P作，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种：，如图，过点C作，垂足为E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，t的值为1或9.5或10或10.6． 24. 请阅读下面的材料． （1）问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． （2）变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． （3）拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3）13 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边求解即可； （2）在上截取，连接，证明和，再根据全等三角形性质求解即可； （3）在上截取，连接，证明，是等边三角形，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在上截取，连接，如图， ∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $