专题04因式分解 2026年九年级中考数学一轮复习(全国通用版)

专题04 因式分解考点一：因式分解 1、因式分解的概念： 把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解的方法： ①提公因式法： 公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。 ②公式法： 平方差公式：。 完全平方公式： ③十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 对于一个二次三项式，若满足，，且，那么二次三项式可以分解为：。 当时，二次三项式是，此时只需，且，则可分解为：。 ④分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式） 3、因式分解的具体步骤： （1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 （2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 （3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 （例题讲解） 例 下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．符合因式分解的基本特点为：几个整式，积的形式． 【详解】解：在A、B、D中，最后的结果都不是积的形式，应排除；只有C符合定义． 故选择：C （练习题） 1．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把整体作为公因式提出来，可得：原式，再提公因式． 【详解】解： ． 故选：B． 2．下列各多项式中，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等． 根据因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意； B、不能因式分解，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； D、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 5．对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方差公式的推导与理解，明确公式结构是题关键．根据立方和公式的结构，通过替换变量符号的方法推导立方差公式． 【详解】已知对于任意实数，，有恒成立． 将替换为，则左边变为， 右边变为． 因此，立方差公式为，对应选项A． 选项C的符号错误，选项B和D的因式分解形式不符合立方差公式的结构． 故选：A． 6．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 8．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 9．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， 又∵ ，， ∴原式 ． 根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉， 因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”． 故选：D． 10．对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 11．如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 【答案】B 【分析】本题既考查了对因式分解的应用，先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， 则 ． 故选：B． 12．计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题关键．先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 13．当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，， 所以当，时，代数式有最小值． 由，得；由，得． 此时最小值为． 故选：C． 14．若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，设两个连续奇数分别是和，，可得和数是8的倍数，2024是8的倍数，是和数，2025不是8的正整数倍，不是和数；能被4整除的数如4，，0.5不是整数，所以4不是和数，据此判断． 【详解】解：设两个连续奇数分别是和（n为正整数），则 ， 即和数是8的倍数， 因为， 所以2024是“和数”， 因为， 所以2025不是“和数”， 4能被4整除， ， 0.5不是整数， 所以4不是和数， 所以所有能被4整除的正数不一定是“和数”． 故选：C． 15．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确； 添加，，故琪琪的做法正确， 故选：C． 16．下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ 　　  ） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】A 【分析】①首先提取x，进而利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③直接利用完全平方公式分解因式即可；④首先提取“-”，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解: ①16x5-x， =x（16x4-1）， =x（4x2+1）（4x2-1）， =x（4x2+1）（2x-1）（2x+1）； ②（x-1）2-4（x-1）+4， =（x-1-2）2， =（x-3）2； ③（x+1）4-4x（x+1）2+4x2， =[（x+1）2-2x]2， =（x2+1）2； ④-4x2-1+4x， =-（4x2+1-4x）， =-（2x-1）2． ∴结果含有相同因式的是①④． 故选A． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键． 17．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是 A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1 【答案】B 【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案. 【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解． 2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3； 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键. 18．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选：A． 19．若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 20．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 21．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 22．要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将多项式重新分组，利用平方差公式和提公因式法进行分解． 【详解】解：将多项式 分组为： ， ∵，， ∴原式 ． 故答案为：． 23．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 24．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 25．已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解此题的关键．可利用多项式乘法展开后的系数对应关系，展开得，与原式对比后找到所有整数对并计算对应的即可． 【详解】解：展开可得：， 与原式对比可得：常数项：，一次项系数：， ∴整数对需满足，且，可能得整数对及对应的a如下： ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则； ⑤，，则； ⑥，，则． 综上所述，符合条件的a的个数有6个． 故答案为：6． 26．若实数，，，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 28．在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． （1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解； （2）令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：令，则式子可化为， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 29．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 【答案】65，63 【分析】利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ∴这两个数为65，63． 故答案为：65，63． 30．因式分解： (1)； (2)； (3)： (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式． （1）直接提公因式法因式分解，即可求解； （2）直接运用平方差公式进行分解因式，即可求解； （3）先提公因式．再运用完全平方公式进行分解因式，即可求解． （4）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解考点一：因式分解 1、因式分解的概念： 把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解的方法： ①提公因式法： 公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。 ②公式法： 平方差公式：。 完全平方公式： ③十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 对于一个二次三项式，若满足，，且，那么二次三项式可以分解为：。 当时，二次三项式是，此时只需，且，则可分解为：。 ④分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式） 3、因式分解的具体步骤： （1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 （2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 （3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 （例题讲解） 例 下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 1．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 2．下列各多项式中，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 5．对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 7．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 8．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 10．对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 11．如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 12．计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 13．当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 15．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 16．下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ 　　  ） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 17．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是 A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1 18．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 19．若多项式可分解为则 ， ． 20．若，，则的值为 ． 21．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 22．要把多项式分解因式，可以把它的前两项和后两项分别分成一组，并在前面一组提出a，后面一组提出b，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种分解因式的方法叫作“分组分解法”，仿照材料中提供的方法把分解因式，结果为 ． 23．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 24．因式分解： ． 25．已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 26．若实数，，，满足，，则 ． 27．阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 28．在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 29．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 30．因式分解： (1)； (2)； (3)： (4)． 31．阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $