精品解析：甘肃省陇南市武都区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

GS2025-2026学年第一学期质量监测八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，5，8 C. 5，5，10 D. 1，6，7 3. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知点与点关于x轴对称，则______． 12. 4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的______． 13. 一个三角形的三个角分别为，另一个三角形的三个角分别为，则________． 14. 如图，，，若，，，则的面积为______． 15. 如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： （1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为________． 16. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知△ABC的周长为，是边上的中线，如图，当时，求的长； 18. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 19. 如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，且点的坐标为，点的坐标为； （2）画出关于轴对称的图形；并写出点，的坐标．（其中点的对称点是，点的对称点是） 20. 为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．设计小组准备制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架，他们到建材市场收集到的数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 （1）根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架，共有_____种制作方案； （2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 21. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 22. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 24. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 25. 学习了等腰三角形的相关知识，小陇同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是他的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点D，E分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线． 小陇认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图2，在中，，点F是的中点，点G，H分别是，上的点，小陇认为只要保证，那么就成立，你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明． 26. 综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 27. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ GS2025-2026学年第一学期质量监测八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，5，8 C. 5，5，10 D. 1，6，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A、，故能构成三角形，故此选项符合题意； B、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 4. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 先根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， 、当添加时，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，得到，符合判定方法，能证明，该选项符合题意； 、当添加时，得到，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 故选：． 6. 如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．先根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=90°-60°=30°， ∴三角形的顶角为30°； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠BAD=90°-60°=30°， ∵∠BAD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=150° ∴三角形的顶角为150°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 8. 如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，连接，由等边三角形的性质可得，，由等边对等角可得，证明垂直平分，得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，推出为等边三角形，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 10. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知点与点关于x轴对称，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于x轴，y轴对称的点的坐标特点． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵已知点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的稳定性 故答案为：稳定性． 13. 一个三角形的三个角分别为，另一个三角形的三个角分别为，则________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用、代数式求值等知识点，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理列方程求得x、y，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，，，若，，，则的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点D作交于点E，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 15. 如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： （1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为________． 【答案】（1） 如图所示： （2）如图所示： ． （3）或 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质．设点，的运动时间为，则，， 分或两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：，，点为的中点， ，， 设点，的运动时间为，则， ， 若与全等，则有或， 当时，， ， ， 点的运动速度为； 当时，， ， ， 点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知△ABC的周长为，是边上的中线，如图，当时，求的长； 【答案】4cm 【解析】 【分析】先根据AB和AC的关系算出AB的长度，然后根据周长计算出BC，在利用中线算出BD即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵△ABC的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【点睛】本题主要考查中线的性质，根据条件计算出BC的长度是解题的关键． 18. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和中线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的高求出，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 19. 如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，且点的坐标为，点的坐标为； （2）画出关于轴对称的图形；并写出点，的坐标．（其中点的对称点是，点的对称点是） 【答案】（1）如图，坐标系即为所求； （2） 如图，即为所求， ， 【解析】 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形—轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系即可； （2）根据关于轴对称的性质作图，写出点，的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．设计小组准备制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架，他们到建材市场收集到的数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 （1）根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架，共有_____种制作方案； （2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】（1）2 （2）购买铁条共需72元 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，有理数的加法的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）设第三边长为x米，根据三角形三边关系计算即可得解； （2）根据（1）中计算的结果，分两种情况，计算即可得解． 【小问1详解】 解：设第三边长为x米， 由题意得，，即， 为偶数， 的值为4或6． 共有2种制作方案． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当三角形框架的三边长分别为2米，4米，5米时，所需费用为（元）， 当三角形框架的三边长分别为2米，5米，6米时，所需费用为（元）， 每种规格的框架各制作一个所需要的费用为（元）． 答：购买铁条共需72元． 21. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 【答案】（1） 证明：， ∴， 在和中， ， ∴； （2）40 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 22. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】略 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【小问1详解】 解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为即, ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 24. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：等边三角形，是中线； ∴，平分 ∴ ∵ ∵， ∴ 即 ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）48 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵， ∴ ∴， ∴周长：． 25. 学习了等腰三角形的相关知识，小陇同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是他的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点D，E分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线． 小陇认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图2，在中，，点F是的中点，点G，H分别是，上的点，小陇认为只要保证，那么就成立，你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明． 【答案】 解：探究一：赞成； 选①．，分别是，边上的中线， ，． ， ，． 在与中， ， ； 选②：∵，分别是，边上的高线， ∴， ， ， 在与中， ， ； ③， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 在与中， ， ； 探究二：不赞成； ， ， 点是的中点， ． 若要使，则应使，而并不能保证． 小陇的观点不正确． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形全等的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 探究一：利用全等三角形的判定定理证明即可得解； 探究二：由等边对等角可得，由题意可得，若要使，则应使，而并不能保证，即可得解． 【详解】探究一：略 探究二：略 26. 综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【答案】模型解决：，，，；模型应用：周长的最小值是9 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型解决：由点与点关于直线l对称得出直线l是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形三边关系即可得解； 模型应用：设直线与交于点，由题意可得点、关于直线对称，从而可得当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长． 【详解】模型解决：在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ， 在中，， ，即最小 模型应用：设直线与交于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴点、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 27. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $