阶段测评四 图形的认识-2026年中考数学真题分类必刷

为 8B【解析】如图，根据题意画出示意图，连接AD并延 ×6=8π， 3 长交⊙O于点E,AB=AC,D为BC的中点，BD= DC=4,OD⊥BC,锐角三角形ABC中，AB=AC,.外 接圆的圆心0在AD上，连接OB,则OB=5,由勾股 定理得，OD=√OB2-BD2=3,设以点D为圆心的圆 的半径为r,⊙D,⊙0相交应满足|5-r<0D<5+r, 即5-r<3<5+r,解得2<r<8,结合选项可知，⊙D 阶段测评四图形的认识 的半径可以为5.故选B. 一、选择题 1.D 2.C【解析】若a=b,则a=±b,A项错误；若am< 0 bm(m>0),则a<b,B项错误；对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形，C项正确；平分弦（非直 径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的孤，D项错 9D【解析】.BO=DO,AC⊥BD,∴.AC垂直平分BD, 误.故选C. ∴AD=BD,CD=CB,.四边形ABCD是筝形，A项不 3.B【解析】：∠BAC=90°，∠B=45°，.∠ACB=45°， 符合题意；：AD=AB,∠DAC=∠BAC,AC=AC, AD∥BC,·.∠DAE=∠ACB=45°，∠DEF= △ADC≌△ABC(SAS),∴.CD=CB,.四边形ABCD ∠DAE+∠ADE=60°，.∠ADE=15°.故选B. 是筝形，B项不符合题意；：∠DAC=∠BAC,AC=AC, 4.C【解析】：DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∠DCA=∠BCA,.△ADC≌△ABC(ASA),.AD= AE=BE,AG=CG,∴.△AEG的周长为AE+AG+EG= AB,CD=CB,.四边形ABCD是筝形，C项不符合题 BE+CG+EG=BC=7.故选C. 意；由∠ADC=∠ABC,B0=D0不能判定AB=AD, 5.A【解析】设这个多边形的边数为n,根据题意得 CB=CD,.不能判定四边形ABCD是筝形，D项符合 (n-2)×180°=4×360°，解得n=10,该多边形的边 题意.故选D. 数为10.故选A. 10.A【解析】小在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC= 6.B【解析】'AB=AC,∠ACB=70°，∴.∠ABC=∠ACB= 32,∠B=ADC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，∴.AC= 70°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，∴.∠BDC= ∠BAC=40°，BD为⊙0的直径，.∠BCD=90°， √AD2+CD2=6,EG⊥AC,FH⊥AC,∴.∠EGA=∠ECC= ∠FHC=∠FHG=90°，∴.∠AEG=∠HFC=45°， ∠CBD=90°-∠BDC=50°.故选B. △AGE,△HFC为等腰直角三角形，∴.AG=EG,CH= 7B【解析】如图，连接EG交HF于点O,点E,F, G,H分别是四边形ABCD边的中点，EH∥BD,EH= FH,∴，AE=CF=√2，.AG=EG=CH=FH=1,BE= 2RD:FG/RD.FG-BD:EF/AC.EF-2AC:CH/ BF,.GH=AC-AG-CH=4,∠BEF=∠BFE=45°，∴. ∠GEF=180°-∠BEF-∠AEG=90°，又：∠EGC= 4C,GI=号AG,BD=AC,Bm=5G=Ef=6H,四 ∠FHG=90°，∴.四边形GEFH是矩形，∴.S。=EG· GH=4,又：S,+S2+S3=S+S4,3So=S1+S2+S3+S4, 边形EFGH是菱形，EGLF,0H=2F=3,0G= .S4=S。=4,:动点P在△ACD内部及边界上运 动，∴，点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行 2BG,∠H0G=90°，：四边形EFGH的面积为24， 于AC的一条线段MN,∴.△DMN是等腰直角三角 形，如图，取AC的中点O,连接OD交MW于点Q,则 HF=6,∴.24= 2×6×EG,解得EG=8,0G=2BG= 0D=24C=3.S,=cH00=4,00=2D0= 4,.在Rt△H0G中，GH=√0H+0G2=√32+42=5. OD-OQ=1,∴.MW=2,即所有，点P组成的图形的长 故选B. 度为2.故选A. ·32· 二、填空题 ∠NDB=∠NDB+∠MDB=60°，∴.∠EDN=∠BDM, 11.2(答案不唯一）12.36 ∴.△DEN≌△DBM(SAS),∴.∠DEN=∠DBM= 13.√13【解析】如图，取OE的中点H,连接GH,在 180°-60°=120°，NE=MB,.∠BEN=∠DEN- 菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC= 8,BD=120A=24C=4,0B=2BD=6,4c1BD, DB=60∠BNE=0NE-号B=1, MB=1,.∴.MC=BC+MB=8: AE=2,.OE=OA-AE=2,点G为BE的中点， 点H为0E的中点，GH=20B=3,0H=0B=1, GH∥OB,∴.∠GHF=∠BOA=90°，OF=1,.HF= OH+OF=2,∴.在Rt△GHF中，GF=√G+HF= 图1 图2 W32+22=13 ②如图2，当点M在BC上，∠BDN=90°时，同理可 得，△DEN≌△DBM,∠NDE=∠BDN-∠BDE= 90°-60°=30°，∴.∠NED=∠MBD=60°，∠DNE= ∠DMB,∴.∠DNE=180°-∠NDE-∠NED=90°，. ∠DMB=∠DNE=90°，∴.MB=BD·cos∠MBD=1, ∴.CM=BC-MB=6; 14.6+2 ③如图3，当点M在BC上，∠DNB=90°时，同理可得， 2 【解析】如图，将数字0记为圆心0，数字6 △DEM≌△DBN,∠MBD=60°，.∠DME=∠DNB= 记为A,数字7记为B,连接OA,OB,过点0作OD⊥ 90°，∴.∠DBM=90°，∴.MB=BD·cos∠MBD=1,∴. AB于点D,由图可知，线段AB的长与其他的都不相 CM=BC-MB=6: 等，数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上， 360°÷12=30°，.相邻两个数字与圆心0的连线组 成的圆心角为30°，.∠A0B=30°×5=150°， ∠01B=∠0BA=2(180-∠A0B)=15,0D1 BD即 图3 图4 AB,∴.∠BOD=75°，∴.sin∠B0D=sin75o OB' ④如图4，当点M在CB的延长线上，∠BDN=90° BD=y6+2 V6+√2BD 时，同理可得，△DEM≌△DBN,DE=BD=BE=2, 4 4,0A=0B,0D⊥AB, ∠DEM=6O°，.∠EDM=∠BDN=90°，CE=BC-BE= 2,…这条线段的长为6+2 AB=2BD=6+2 DE 5,.ME= 2 =co60=4,CM=ME+CE=9.综上，CM 的长是6或8或9.。 三、解答题 16.(1)解：原式=3+1+1=5： (2)证明：AB∥CD,∴.∠1=∠ACD, .∠1=∠2，.∠2=∠ACD, .AE∥DF 17.(1)解：BC与⊙0相切于点C, .OC⊥BC,∴.∠OCB=90°， 10 .·∠ACB=120°， 15.6或8或9【解析】①如图1，当，点M在CB的延长 ∴.∠AC0=∠ACB-∠0CB=120°-90°=30°； 线上，∠DBN=90°时，过，点D作DE∥AC交BC于点 (2)证明：0A=0C, E,连接EN,:△BAC,△DMN是等边三角形， .∠OAC=∠AC0=30° ∠DBN=90°，∴.∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE= :∠ACB=120°，∠A+∠B+∠ACB=180°， 60°，DM=DN,.△DBE是等边三角形，∴.BD=DE= .∠B=30°，∴.∠A=∠B, BE=2,∠NBE=∠DBN-∠DBE=30°，∠EDN+ .·.AC=BC. ·33· 18.解：(1)①∠A+∠B=90°；②a2+b2=c2;③c>a 又.BE=DF, (2)四边形ADBE是菱形. .AB-BE=CD-DF,AE=CF, 证明：：BE∥AC,AE∥BD 又.AE∥CF, ·四边形ADBE是平行四边形， .四边形AECF是平行四边形： :∠ABC=90°，点D是AC的中点， (2)解：如图，过点E作EH⊥CD于点H, 1 则∠EHF=∠EHC=90°， 六DB=DA=2AC, .四边形ABCD是正方形，BC=12, .四边形ADBE是菱形， ∴.CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°， 19.解：(1)·EG⊥AB,AB⊥BD,EN⊥BD, ∴.四边形EBCH是矩形， .∴.∠AGE=∠BGE=∠GBN=∠BNE=90°， ∴.BE=CH=5,EH=BC=12, .四边形BNEG是矩形，.EN=BG, 又DF=BE=5, ,在Rt△AEG中，AE=13,EG=12, ∴.FH=CD-DF-CH=12-5-5=2, .AG=AE2-EG=√132-122=5， ∴.在Rt△EHF中，EF=EΠ+F=√12+22= .BG=AB-AG=14,.EN=14. √/148=2√37. 答：该连衣裙MN的长度为14分米； (2)如图，过点E作EH⊥AB于点H,延长EN交BD 于点T, E(M BL 22.解：(1)①0：39 【解析】当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭 7717111177n977Tt 合，此时∠CMN有最小值0°；当，点N滑动到限位，点 AB⊥BD,EH⊥AB,ET⊥BD, P处时，推拉门推至最大，此时∠CMN有最大值， .∴∠AHE=∠BHE=∠HBT=∠BTE=90°， ∠CNM=6°，∠BCD=135°，∴.∠CMN=180°-6°- ∴.四边形BTEH是矩形，∴.ET=BH, 135°=39°，即∠CMN的最大值为39°. .在Rt△AEH中，AE=13,∠HAE=76.1°， ②C ·.AH=AE·cos∠HAE≈3.12， 【解析】如图，过点N作NG⊥BC交BC的延长线于点 AB=19,.BH=AB-AH≈15.88， G,由题意可知，MN=60,BM=CV,设BM=CW=x,则 .ET≈15.88， EN=14, MC=BC-BM-60-x,NG- 2*Sacm= .·.NT=ET-EN≈2. 答：此时该连衣裙的下端点V到地面水平线l的距 离约为2分米. ∴.当x=30时，S△cww取最大值225W2;当x<30时， 20.(1)证明：C是线段AB的中点， S△cMw随x的增大而增大；当x>30时，SACMN随x的 六1c8=饭， 增大而减小，.△CMW面积的变化情况是先增大后 减小.故选C :CD∥BE,∴.∠DCA=∠B, 又，∠A=∠ECB, ·.△DAC≌△ECB(ASA); D P (2)解：AB=16CB=2AB=8, :△DAC≌△ECB,.CD=BE, BMCG 又.CD∥BE, (2)当∠CMW=30时，NG=。MN=30, ·.四边形BCDE是平行四边形， .DE=CB=8. .MG=√MW2-NG2=30W3, 21.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠NCG=45°，.∴.CG=NG=30 ∴.AB∥CD且AB=CD, .MC=MG-CG=303-30, ·34· .SACMN=2 MC·NG=)(30,3-30y×30=450w3- ∴.△E0Q为等腰直角三角形， 450(cm2). ·00=0E=V10 10 23.(1)相等：垂直 (2)证明：如图1，过点G作GM⊥BC于点M,过点G QF=AF-A0-00=/10-3010_310 10-105 作NT⊥GM分别交AB,CD于点T,N,则∠NGM= ∠TGM=∠GMB=∠GMC=90°， (4)32-3. 【解析】如图2，构造△DGP的外接圆⊙H,连接DH PH,GH,过点H作HR⊥AC于，点R,过点D作DT1 AC于，点T,设⊙H的半径为r,由(2)可知，GD=GE, GD⊥GE,∴.∠GDP=45°，.∠PHG=2∠GDP=90°， HP=HG,△HPG是等腰直角三角形，.HR= 图1 PR-PH_2 -22,PG=2PH=2,正方形AbCD中， :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD,∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°， AD=3,△ACD是等腰直角三角形，.AC=√2AD= .四边形TBMG为矩形，四边形GMCW为正方形， ∴.GN=GM=MC=CN=BT,BM=GT,∠DNT=∠CNT= 32nm-Ar-cT-4c-3.Smc ∠BTG=∠GTE=90° ∴.DC-CN=BC-CM,即DN=BM=GT, DT=)PGx32-32pPG,当PG最小时，△DpG 2 4 ,FG⊥AC,∠ACB=45°， 的面积最小，T最小时，△DPG的面积最小，： .∴∠ACB=∠CFG=45°， ∴.CG=GF,.MC=MF, ,.当DH+HR最小时， 2 .∴.GN=MC=MF, △DPG的面积最小，.当D,H,R三，点共线，且DR⊥ .AE=BF, AC时，DH+HR最小，此时点T与点R重合，如图3， ∴.AB-AE-BT=BC-BF-MF,即ET=MC, ∴.ET=GN,∴.Rt△DNG≌Rt△GTE(SAS), 则DR=1 +2=2,解得r=32-3PR=2, √232 .∴.GD=GE,∠NDG=∠TGE, 又.∠NDG+∠NGD=90°， 6-32 ...AP=AR-PR=AT-PR-32_6-3/Z_ .∠TGE+∠NGD=90°， 2 2 2 ∴.∠DGE=90°，∴.GD⊥GE; 32-3. (3)解：在正方形ABCD中，AB=AD,∠DAE= ∠ABF=90°，AE=BF, ∴.Rt△DAE≌Rt△ABF(SAS), ·.∠ADE=∠BAF,DE=AF, ∴.∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°， .∠AOE=90°，.AF⊥DE, 图2 图3 在Rt△DAE中，AD=3,AE=1, .DE=√AE+AD2=√1P+32=√10， 专题十六尺规作图、视图和投影 由等面积法得40~DE=46·AD, 考点1尺规作图 1.D【解析】由作图可知，∠CBN=∠A,但无法得到 即240xv1而=号×1×3，解得40=30而. 1 ∠ABN与∠CBN的大小关系，.无法确定∠ABN与 10, ∠A的大小关系，A项错误；：题千中没有说明 ∴.在Rt△OAE中， ∠ACB,LA的大小关系，∴.无法判断∠ACB,∠CBN 语 的大小关系，∴.无法得到∠BNC的度数，即无法得到 BN⊥AC,B项错误；根据题意无法得到AD,CM的数 由(2)可知，GD=GE,GD⊥GE, 量关系，C项错误；CD是△ABC的角平分线， .∠GED=45°， ∠BCD=∠ACD,.∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM= ·35·二、填空题 阶段测评四图形的认识 11.(2025河北省)平行四边形的一组邻边长分别为3.4.一条对 角线长为n.若n为整数，则n的值可以为 (写出一个 一、选择题 即可) 1.(2025四川德阳)如图，一条水渠两次转弯后和原来方向相同， 12.(2025吉林长春)图1是一个正十二面体，它的每个面都是正 如果第一次拐角∠CAB=135°，则第二次拐角∠ABD=() 第6题图 第7题图 五边形，图2是其表面展开图，则α为 度 7.(2025四川德阳)如图，点E,F,G.H分别是四边形ABCD的边 -4 AB,BC,CD,DA的中点，如果BD=AC,四边形EFGH的面积为 24,且HF=6.则GH= ( A.4 B.5 C.8 D.10 A.45 B.559 C.1059 D.135 8.(2025上海市)在锐角三角形ABC中，AB=AC,BC=8,△ABC的 图1 图2 2.(2025四川凉山州)下列说法正确的是 外接圆为⊙O,且半径为5，边BC的中点为D,如果以D为圆心 13.(2025辽宁省)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 A.若a=b,则a=b 的圆与⊙0相交，那么⊙D的半径可以为 ( 于点0，AC=8,BD=I2,点E在线段0A上，AE=2,点F在线段 B.若am<bm,则a<b A.2 B.5 OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点，连接FG,则FG的 C.8 D.9 C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 长为 9.(2025山东威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为 D.平分弦的直径垂直于弦.并且平分弦所对的弧 “筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.下列条件 眼肌运动训练图 3.(2025福建省)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一 中，不能判断四边形ABCD是筝形的是 () 副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直 A.B0=D0,AC⊥BD 线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC B.∠DAC=∠BAC.AD=AB 时，∠ADE的大小为 ( C.∠DAC=∠BAC.∠DCA=∠BCA 1.59 B.159 C.259 D.35 D.∠ADC=∠ABC.BO=D0O 使用方法：以0,1,2,3.…的顺序 顺着箭头方向移动眼球，移动 第3题图 第4题图 圈后再回到原点，反复进行， 第9题图 第10题图 4.(2025江苏连云港)如图，在△ABC中.BC=7.AB的垂直平分线 第13题图 第14题图 10.(2025黑龙江大庆)如图，在正方形ABCD中，AB=32,点E.F 分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 14.(2025河北省)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育 F,G,则△AEG的周长为 ( 分别在线段AB,BC上，AE=CF=2,连接EF,AC.过点E,F分 月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，如图是 A.5 B.6 C.7 D.8 别作线段AC的垂线，垂足分别为G,H.动点P在△ACD内部 一幅眼肌运动训练图，其中数字1~12对应的点均匀分布在 5.(2025四川遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍， 及边界上运动，四边形EFGH,△PEG.△PEF,△PFH,△PGH 个圆上，数字0对应圆心.图中以数字1~12对应的点为端点的 则该多边形的边数为 ( 的面积分别为S,S,S2,S,S.若点P在运动中始终满足3S。= 所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等，若该圆的半径 A.10 B.11 C.12 D.13 S,+5,+S,+S,则满足条件的所有点P组成的图形长度为 为1，则这条线段的长为 6.(2025四川泸州)如图.四边形ABCD内接于⊙0.BD为⊙0的 参考数据：im150=6-2 4 直径若AB=AC,∠ACB=70°，则∠CBD的度数为() 4.2 C.4 D.2m A.40° B.50 C.60° D.70° sin75=y6+,2 4 15.(2025黑龙江绥化)在边长为7的等边三角形ABC中，点D在 18.(2025四川达州)归纳与应用 19.(2025湖南省)如图1，某处有一个晾衣装置，周定立柱AB和 AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD,以MD 归纳是学好数学的蔽门砖，尤其对儿何而言例如，我们看到图 CD分别垂直地面水平线I于点B,D,AB=19分米，CD>AB.在 为边在MD的左侧作等边三角形MND,连接BN,当△BND为 1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形的对边 点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米，一件连衣 直角三角形时，则CM的长是 平行且相等：从角的角度，平行四边形的对角相等，邻角互补： 裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥L 三、解答题 从对角线的角度，平行四边形的对角线互相平分：从对称性的 (1)如图1，当该连衣裙的下端点N刚好接触到地面水平线1 16(305江香省10计算：-3引+侣八-(-1)， 角度，平行四边形是中心对称图形.通过如此归纳形成知识体 时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙 系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙 MN的长度： (2)如图.已知点C在AE上.AB∥CD.∠1=∠2.求证：AE∥DF (1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质 (2)如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F ① 处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE=76.1】 @ 此时该连衣裙的下端点N到地面水平线1的距离约为多 ③ 少分米？（结果保留整数，参考数据：in76.1°=0.97， (2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出图 0s76.1°s0.24,am76.1°年4.04 3.∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC,AE∥BD.试撂 他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论 E(M) 图1 图2 17.(2025湖南省)如图，△ABC的顶点A,C在⊙0上，圆心0在 边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙0相切与点C,连接OC (1)求∠AC0的度数： (2)求证：AC=BC. 38 20.(2025江苏苏州)如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB, 22.(2025江西省)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其附视示意图如 23.(2025江苏连云港)综合与实践 CD∥BE. 图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔 【问题情境】 (1)求证：△DAC≌△ECB: 板，BC处是门框，测得AB=BC=-CD=60cm,LABC=∠BCD= 如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB,BC上分别取点 (2)连接DE,若AB=16,求DE的长 135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M,N分别 E,F,且AE=BF,AF交DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC, 在BC,CD对应的轨道上滑动.当点N与点C重合时，推拉门 垂足为G,连接GD,GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q 与门框完全闭合：当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最 【活动猜想】 大，此时测得∠CNM=6° (1)GD与GE的数量关系是 位置关系是 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中 【探索发现】 ①∠CMN的最小值为度，最大值为 度： (2)证明(1)中的结论： ②△CMW面积的变化情况是 【实践应用】 A.越来越大 B越来越小 C.先增大后减小 (3)若AD=3.AE=1,求QF的长： (2)当∠CMN=30时，求△CMN的面积 【综合探究】 (4)若AD=3,则当AP= 时，△DPG的面积最小 图1 图2 21.(2025湖南长沙)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在AB, CD上，且BE=DF (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长 39