专题15 圆-2026年中考数学真题分类必刷

A.20 则∠ACD的度数为 专题十五圆 B.35 C.55 考点1圆周角定理和推论 D.70 6.(2025江苏扬州)如图，点A,B,C在⊙0上，∠BAC=50°，则 1.(2025重庆市)如图，点A,B,C在⊙0上，∠A0B=100°，∠C的 ∠OBC= 0. 度数是 ( 第4题图 第5题图 A.40° B.50° C.80° D.100 5.(2025重庆市)如图，4B是⊙0的直径，点C在⊙0上.连接AC. 以AC为边作菱形ACDE,CD交OO于点F,AB⊥CD,垂足为G. 连接AD,交⊙0于点H,连接EH.若AG=12,GF=5,则DF的长 度为，EH的长度为 第6题图 第7题图 6.(2025安微省)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆0上，AB是 B 7.(2025四川广安)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形. 半圆O的直径，连接OC,∠DAB+2∠ABC=180. 第1题图 第2题图 ∠BCD=120°，⊙0的半径为6，则BD的长为 (1)求证：0C∥AD: 2.(2025湖北省)如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=30°.分别以点 考点2垂径定理及有关的计算 (2)若AD=2,BC=23,求AB的长 A和点B为圆心.大于B的长为半径作弧，两弧交于从.N两 1.(2025新通)如图.CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD.∠ADC= 点，作直线MN交AC于点D,连接BD并延长交⊙O于点E,连 30°，则∠B0C= ( ) 接OA,OE.则∠AOE的度数是 ( A.30° B.459 C.60 D.750 A.30° B.50° C.60° D.75° 3.(2025湖南长沙)如图，AC,BC为⊙0的弦，连接0A,0B,0C.若 ∠A0B=40°，∠OCA=30°，则∠BC0的度数为 ( A.40° B.45° C.50° D.55 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025四川宜宾)如图，AB是⊙0的弦，半径0C⊥AB于点D.若 AB=8.OC=5.则OD的长是 ( 第3题图 第4题图 A.3 B.2 C.6 喝 4.(2025山西省)如图，AB为⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于 3.(2025四川广元)如图，CD是⊙0的弦，过圆心0作OA⊥CD AB异侧的两点，连接AD,CD,若AC=BC,则∠D的度数为 于点H,交⊙O于点A,OH:HA=3:2,点M是弧CBD上异于C, ( D的一点，连接CM,DM,则sin∠CMD的值是 () A.30 B.45 C.60 D.75 5.(2025甘肃平凉如图.四边形ABCD内接于⊙0.AB=BC,连接 B时 c BD,若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为 () 4.(2025陕西省)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24° 7.(2025四川南充)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 考点3切线的性质和判定 D,以CD为直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F,M为线段 1.(2025福建省)如图，PA与⊙0相切于点A.P0的延长线交 DB上一点，ME=MD ⊙O于点C.AB∥PC.且交⊙0于点B.若∠P=30°，则∠BCP (1)求证：ME是⊙0的切线： 的大小为 () 2)若cF=3,nB=号求Ow的长 6.(2025湖北省)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点 O作DF⊥AB,垂足为E,交AC于点D,交⊙O于点F,过点F作 A.30° B.45 C.609 D.759 ⊙0的切线，交CA的延长线于点G 2.(2025四川自贡)PA,PB分别与⊙0相切于A,B两点，点C在 (1)求证：FD=FG: ⊙0上，不与点A,B重合.若∠P=80°，则∠ACB的度数为 (2)若AB=12,FG=10,求⊙0的半径. A.50° B.80° C.130° D.50°或130° 10 3.(2025安徽省)如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆 心0在线段PA上.已知∠P=50°，则∠PAB的大小为 第3题图 第4题图 考点4弧长、扇形的计算 4.(2025黑龙江龙东)如图，PA,PB是圆0的切线，A.B为切点。 AC是直径，∠BAC=35°，∠P= 1.(2025湖南省)如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠A0C= 5.(2025广东省)如图，点0是R△ABC的斜边AC边上的一点， 40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15（即∠B0C= 以OA为半径的⊙0与边BC相切于点D.求证：AD平分LBAC. 15),东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116所在 经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 () 北核 4(北40，东经116) -北纯15o,东经116) A干米 B千米) (1)求CD的长： 2.(2025四川达州)如图，圆维的侧面展开图是一个扇形，已知圆 (2)求∠DAB的度数； 锥的底面半径为2，则扇形的狐长是 c(千米) D2(千米) (3)求cos∠OFP的值 2.(2025黑龙江绥化)在⊙0中，如果75°的圆心角所对的弧长是 2.5πcm,那么⊙0的半径是 () A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 3.(2025浙江省)如图.在R1△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB 第2题图 第5题图 上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交 3.(2025黑龙江龙东)若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆雏的侧 点为E.若AB=2,则DE的长为 () 面展开图的面积为 4.(2025黑龙江齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40cm,母线长为 90cm,则其侧面展开图的圆心角为度. B. 5.(2025山东潍坊)如图，圆锥的底面圆心为0，顶点为A,母线1 长为4，母线1与高A0的夹角为30°，那么圆锥侧而展开图的面 .11 c-36 积为 考点6正多边形、圆的计算 1.(2025上海市)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且 4.(2025吉林长春)若扇形的面积是它所在圆的面积的子，则这个 在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那 扇形的圆心角的大小是 度 么这个角的大小是 5.(2025江苏连云港)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC= 2.(2025江苏宿迁)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，连接AC, 则∠ACD的度数为 45°.若⊙0的半径为2，则劣弧BC的长为 考点5圆锥的计算 D 第5题图 第6题图 第2题图 第3题图 1.(2025四川广安)如图.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90 6.(2025四川凉山州)如图.△ABC内接于⊙0.∠B=65°.∠C= 3.(2024江苏苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图 的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为 70°，若BC=22,则BC的长为 是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧 7.(2025内蒙古)如图，AB是⊙0的直径，半径0C⊥AB,垂足为 所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C O,0C=2,P是BA延长线上一点，连接CP,交⊙0于点D,连接 4 B 恰好是△AB0的内心，若AB=25,则花窗的周长（图中实线部 AD,∠OCP=60°.过点P作⊙0的切线，切点为E,交C0的延长 c 分的长度)= (结果保留)： D.5 线于点F(3)BF=√5DG.理由如下： 7.63【解析】如图，连接B0并延长，交⊙0于点E, 如图，过点F作FH⊥AB于点H,则∠FHB=∠FHA= 连接DE,则BE为⊙O的直径，.∠BDE=90°，：四 90°=∠PAE, 边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠BCD=120°， PA PE AE∥FH,·AHEF 1, ∠A=180°-∠BCD=60°，∴.∠E=∠A=60°，：⊙0的 半径为6，.BE=I2,在Rt△BDE中，BD=BE· .PA=AH, PE=EF, simE=12x3。 -=6V3 .AE为△PHF的中位线， .HF=2AE, 由(2)可知，△PAE≌△EDG, .AE=DG,AP=DE, .DE=AH, 又AD=AB,∴.AE=BH, .在Rt△BHF中，BF=√HF+B=√5AE, 考点2垂径定理及有关的计算 1.C【解析】如图，连接BD,:CD是⊙O的直径，AB AE=DG,∴.BF=V5DG 是弦，AB⊥CD,.∠ADC=∠BDC=30°，∴.∠BOC= 2∠BDC=60°.故选C. 专题十五圆 考点1圆周角定理和推论 1.B 2A【解析1小0C1B,AB=8A0=B=4,又 2.C【解析】由作图可知，MN是AB的垂直平分线， DA=DB,:∠BAC=30°，∠BAD=∠ABD=30°， 0A=OC=5,∴.在Rt△OAD中，OD=√OA-AD= ∠AOE=2∠ABD=60°.故选C. √52-4=3.故选A. 3.B【解析】如图，连接OD,CD是⊙0的弦，OA⊥CD, 3.C【解析】：∠A0B=40°，∠ACB=2∠A0B= 20°，又∠OCA=30°，∴∠BC0=∠OCA+∠ACB= 4c=AD.∠c04=∠01∠01=<c0D, 30°+20°=50°.故选C. 4.B【解析】如图，连接AC,BC,AB为⊙O的直径， ∠CwD=∠coD∠c0A=∠cD,0n:=3 .∠ACB=90°，AC=BC,.∠CAB=∠CBA=45°， 2,OC=0A,.设0H=3x,则0C=0A=5x,∴.在 ∠D=∠CBA=45°.故选B. Rt△OCH中，CH=√OC2-Om=4x,∴.sin∠C0A= CH 4x 4 5x=5.sin∠CMD=sin∠COA=s.故 5.C【解析】：四边形ABCD内接于⊙O,.∠ABC+ ∠ADC=180°，：∠ABC=70°，.∠ADC=180°-70°= 110°，AB=BC,.∠ADB=∠BDC,∴.∠BDC=110°× 4.6°【解析】·AB为⊙0的直径，BC=BD,.AB1 2=5,故选C. 1 CD,.∠A+∠ACD=90°，：∠A=∠CDB=24°， ∠ACD=90°-∠A=90°-24°=66°. 6.40【解析】：点A,B,C在⊙0上，∠BAC=50°， ∠B0C=2∠BAC=100°，：OB=OC,.∠OBC= ,13√13 【解析】AB⊥CD,AG=12,GF=5, ∠00B=180°-LB0C=40. 5.34 2 CG=GF=5,∴.CF=2CG=10,∴.AC=WAG+CG= ·28· √12+52=13，四边形ACDE为菱形，.CD=AC= 解得r1=3,12=-2(舍去). AE=13,.DF=CD-CF=3;如图，连接BC,BH,过点 .AB=2r=6. H作HⅢLAE于点L,AB是⊙O的直径，.∠ACB= 考点3切线的性质和判定 1.C【解析】如图，连接OA,OB,则OA=OB=OC,PA 4HB=90°，cos∠CAB=-AC-AG,即1213 13A ,解得 与⊙0相切于点A,.OA⊥AP,即∠OAP=90°， AB=169 GD=CD-CG=8,在R△AGD中，AD= ∠P=30°，∴.∠POA=90°-∠P=60°，.AB∥PC,. ∠P0A=∠OAB=60°，.△AOB为等边三角形， AG ∠AOB=60°，.∠B0C=180°-∠POA-∠AOB=60°， /AG2+GD2=√122+82=4√13，.c0s∠DAB= AD ∴△BOC为等边三角形，∠BCP=60°.故选C 2 铝片格年行w压 4,”菱形ACDE 12 中，CD∥AE,·∠DAE=∠GDA,.sin∠DAE= sin∠GD1,es∠DAE=coe∠GDA,HI AG AL_GD 2D【解析】如图，根据题意画出示意图，并连接OA, AH AD'AH AD' OB,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∴.∠PAO= 即”三12,0三8，解得Ⅲ=39 ∠PB0=90°，.∠P=80°，∴.∠A0B=360°-∠PA0- 13√134W13'13√134√/13 ∠PB0-∠P=1O0°，.当，点C在优孤AB上时，∠ACB= 4 B=1极-=1B号3m=v7B0 13 2∠A0B=50;当点C在劣孤AB上时，LAC'B= 180°-∠ACB=130°，.∠ACB的度数为50°或130° 132,39213√13 故选D. W2+4 4 B 3.20【解析】如图，连接OB,PB与⊙0相切于点B, ∴.OB⊥PB,即∠PB0=90°，∠P=50°，.∠B0P= 6.(1)证明：，∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°， .∠DAB+∠AOC=180°， 90°-LP=40,.∠PAB= 2∠B0P=20. .OC∥AD: (2)解：如图，连接BD交OC于点E, 4.70°【解析】：PA是切线，.PA⊥AC,即∠PAC= 90°，：∠BAC=35°，.∠PAB=∠PAC-∠BAC=55°， AB是⊙0的直径， PA,PB是圆O的切线，∴.PA=PB,.∠PBA= .∠ADB=90°，即AD⊥BD, ∠PAB=55°，∴.∠P=180°-∠PBA-∠PAB=180°- ·OC∥AD,.OC⊥BD 55°-55°=70°. 点E为BD的中点， 5.证明：如图，连接0D,并标记各角， 又O是AB的中点， ∴.OE是△ABD的中位线， 0E=2AD=1, 设半圆的半径为r,则CE=r-1, :⊙O与边BC相切于点D, 由勾股定理得，OB2-OE2=BE2=BC2-CE2, .OD⊥BC,即∠ODC=90°， 即r2-1=(23)-(r-1)2, :△ABC为直角三角形， ·29· .∴.∠0DC=∠B=90°， .OD∥AB,.∠1=∠3， ∠B=∠ACD,∴sim∠ACD=sinB=4 0D=0A,∴.∠1=∠2， CD为直径，∴.∠CFD=90°， .∠3=∠2，.AD平分∠BAC. .sin∠ACD= DF 6.(1)证明：FG是⊙0的切线，∴.DF1FG, CD' DF⊥AB,∴AB∥FG, 设DF=4x,CD=5x, .∠BAC=∠G=45°， 在Rt△CDF中，CD2=DF2+CF2, .∴.∠FDG=90°-45°=45°， .(5x)2=(4x)2+32, ∴.FD=FG; (2)解：如图，连接OA, x=1,.CD=5,0D=2 ·.·△ODM≌△OEM. .∠1=∠2， 0C=0E,.∠3=∠4， ∠1+∠2=∠3+∠4， ∠1=∠3，.OM∥BC, ∴.∠OMD=∠B, DF⊥AB,AB=12, 4 =能=报=6 ∴.sin∠OMD=sinB= 5 0D25 ∠BAC=45 .∴.OM sin∠OMD8' .∠ADE=90°-45°=45°， 考点4弧长、扇形的计算 ∴.△ADE是等腰直角三角形， 1.C【解析】由题意可知，∠AOB=∠AOC-∠BOC= .'AE=DE=6, 由(1)可知，FD=FG=10, 250劣孤AB的长为25m×R5mR 18036 千米).故选C. .EF=FD-DE=4. 设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA, 2.A【解析】由题意可知，2.5m= 75 ×2πr,解得r= 360 在Rt△A0E中，OA2=AE2+OE2 6(cm).故选A 5 .(x+4)2=6+2,解得x=2, 3.B【解析】Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， .0A=x+4= 513 *4 AB=2,CD=2AB=AD=1∠A=∠ACD=35°， 2 ∠CDE=∠A+∠ACD=70°，由作图可知，CD=CE, ©0的半径为号 ∠CDE=∠CED=70°，.∠DCE=180°-2×70°=40°， 7.(1)证明：如图，连接0E, DE的长为40 180 2m故选B. -×1 9 CD⊥AB,∴.∠ODM=90°， 4.240 在△OEM与△ODM中， 5.m【解析】如图，连接B0,C0,∠BAC=45°， OE=OD.OM=OM.ME=MD. ∴.△OEM≌△ODM(SSS), ∠B0C=90,劣孤BC的长为90mX2 =π. 180 .∠OEM=∠ODM=90°， .ME为⊙O的切线； 6.T【解析】如图，连接0B,OC,则OB=OC,':在△ABC > 中，∠ABC=65°，∠ACB=70°，.∠A=180°-60°-75°= (2)解：如图，连接DF,并标记各角， 45°，：△ABC内接于⊙0，.∠C0B=2∠A=90°，· ∠ACB=90°，CD⊥AB, .·.∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°， △0CB为等腰直角三角形，0C=0B=号BC=2, ·30· BC的长为 0m×2 的扇形，圆锥的母线长为5，.该扇形的孤长= 180 90π×55 5 180 -2 π，.该圆锥的底面圆的半径为2π÷2m= 陵人 2.4m 3.15π【解析】小圆锥的底面半径为3，高为4，∴.圆锥 7.解：(1)如图1，连接0D, 的母线长为√32+4=5，.圆锥的侧面展开图的面积 为3×5×π=15π. 4.160【解析】设圆心角的度数为n,由题意得，80π= nT:90,解得n=160,即倒面展开图的圆心角为 180 160度 图1 5.8π【解析】小：母线1长为4，母线1与高A0的夹角 ∠0CP=60°，0C=0D, .△OCD是等边三角形， 为30，心圆维的底面回的辛径7=了×4=2阅维 .∠C0D=60°， 侧面展开图的面积=Trl=T×2×4=8T. .0C=2, 考点6正多边形、圆的计算 ·CD的长=60m×2.2m 1.36°或108°【解析】如图，当角的顶点在圆上时，即 180=3； ⊙O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB,BC,此时 (2)OC⊥AB, ∠ABC恰好是正五边形的一个内角，.∠ABC= .∠P0F=∠AOC=90°， .∴.∠A0D=∠A0C-∠C0D=30°， (5-2)×180°=108°；当角的顶点在圆外部时，即⊙0 5 .OA=OD. 交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE,CD时，∠AED= .∠DAB=∠ADO 180-LA0D=75°： 2 ∠CDE=(5-2)×180° 5 =108°，.∠FED=∠FDE= (3)如图2，连接0E, 180°-108°=72°，.∠F=180°-2×72°=36°.综上，这 个角的大小是36°或108° 图2 D .∠AOC=90°，∠OCP=60°， 2.72° 【解析】：正五边形ABCDE内接于⊙O,AB= .∠CP0=30°， BC,∠B=∠BCD=5-2)x180 =108°，.∠ACB= .P0=30C=25, PF与⊙0相切于点E, ∠CAB= .∠0EF=90°，0E=0C=2, 180°LB=36°，∠ACD=LBCD- 2 ∴.∠OFP+∠FOE=90°， ∠ACB=72°. .∠P0F=∠AOC=90°， 3.8π【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E,六条 .∠P0E+∠F0E=90°， 孤所对应的弦构成一个正六边形，.∠AOB=60°， ∴.∠OFP=∠POE, OA=OB,.△AB0为等边三角形，：圆心C恰好是 cos∠OFP=cos∠POE=OE.2-V3 △AB0的内心，.∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°， P0233 ∠ACB=120°，AB=23,∴.AE=BE=√3，.AC= 考点5圆锥的计算 1.A【解析】：圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90° 2丽的长为02行花有的消大 AE 31· 为 8B【解析】如图，根据题意画出示意图，连接AD并延 ×6=8π， 3 长交⊙O于点E,AB=AC,D为BC的中点，BD= DC=4,OD⊥BC,锐角三角形ABC中，AB=AC,.外 接圆的圆心0在AD上，连接OB,则OB=5,由勾股 定理得，OD=√OB2-BD2=3,设以点D为圆心的圆 的半径为r,⊙D,⊙0相交应满足|5-r<0D<5+r, 即5-r<3<5+r,解得2<r<8,结合选项可知，⊙D 阶段测评四图形的认识 的半径可以为5.故选B. 一、选择题 1.D 2.C【解析】若a=b,则a=±b,A项错误；若am< 0 bm(m>0),则a<b,B项错误；对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形，C项正确；平分弦（非直 径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的孤，D项错 9D【解析】.BO=DO,AC⊥BD,∴.AC垂直平分BD, 误.故选C. ∴AD=BD,CD=CB,.四边形ABCD是筝形，A项不 3.B【解析】：∠BAC=90°，∠B=45°，.∠ACB=45°， 符合题意；：AD=AB,∠DAC=∠BAC,AC=AC, AD∥BC,·.∠DAE=∠ACB=45°，∠DEF= △ADC≌△ABC(SAS),∴.CD=CB,.四边形ABCD ∠DAE+∠ADE=60°，.∠ADE=15°.故选B. 是筝形，B项不符合题意；：∠DAC=∠BAC,AC=AC, 4.C【解析】：DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∠DCA=∠BCA,.△ADC≌△ABC(ASA),.AD= AE=BE,AG=CG,∴.△AEG的周长为AE+AG+EG= AB,CD=CB,.四边形ABCD是筝形，C项不符合题 BE+CG+EG=BC=7.故选C. 意；由∠ADC=∠ABC,B0=D0不能判定AB=AD, 5.A【解析】设这个多边形的边数为n,根据题意得 CB=CD,.不能判定四边形ABCD是筝形，D项符合 (n-2)×180°=4×360°，解得n=10,该多边形的边 题意.故选D. 数为10.故选A. 10.A【解析】小在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC= 6.B【解析】'AB=AC,∠ACB=70°，∴.∠ABC=∠ACB= 32,∠B=ADC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，∴.AC= 70°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，∴.∠BDC= ∠BAC=40°，BD为⊙0的直径，.∠BCD=90°， √AD2+CD2=6,EG⊥AC,FH⊥AC,∴.∠EGA=∠ECC= ∠FHC=∠FHG=90°，∴.∠AEG=∠HFC=45°， ∠CBD=90°-∠BDC=50°.故选B. △AGE,△HFC为等腰直角三角形，∴.AG=EG,CH= 7B【解析】如图，连接EG交HF于点O,点E,F, G,H分别是四边形ABCD边的中点，EH∥BD,EH= FH,∴，AE=CF=√2，.AG=EG=CH=FH=1,BE= 2RD:FG/RD.FG-BD:EF/AC.EF-2AC:CH/ BF,.GH=AC-AG-CH=4,∠BEF=∠BFE=45°，∴. ∠GEF=180°-∠BEF-∠AEG=90°，又：∠EGC= 4C,GI=号AG,BD=AC,Bm=5G=Ef=6H,四 ∠FHG=90°，∴.四边形GEFH是矩形，∴.S。=EG· GH=4,又：S,+S2+S3=S+S4,3So=S1+S2+S3+S4, 边形EFGH是菱形，EGLF,0H=2F=3,0G= .S4=S。=4,:动点P在△ACD内部及边界上运 动，∴，点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行 2BG,∠H0G=90°，：四边形EFGH的面积为24， 于AC的一条线段MN,∴.△DMN是等腰直角三角 形，如图，取AC的中点O,连接OD交MW于点Q,则 HF=6,∴.24= 2×6×EG,解得EG=8,0G=2BG= 0D=24C=3.S,=cH00=4,00=2D0= 4,.在Rt△H0G中，GH=√0H+0G2=√32+42=5. OD-OQ=1,∴.MW=2,即所有，点P组成的图形的长 故选B. 度为2.故选A. ·32·