专题12 几何图形初步&专题13 三角形-2026年中考数学真题分类必刷

【解析】由(2)可，货车的速度为120÷专=90(km), ,MN的长随OP的长的增大而增大， .MN的长随t的增大而增大， .当轿车到达B地之前，轿车与货车相距40km时， 2n≤弓解得u≤子 3 120x+90x+40=300,解得x=21 26 当t>3时，MN=at2-3at,其图象开口向上，对称轴为 当轿车到达B地，货车离B地40km时，40÷90= 子此时x号+号2开合是态： 直线x=3 ,不符合题意； 当货车到达C地时，轿车离C地的距离为120× 1 40(km),治好满足题意，此时-条上，桥车出发 26h或6h .8 2 。h时与货车相距40km. 3 18.解：(1)将0(0,0)代入y=ax2+bx+c, 图2 图3 得c=0, 如图3，当a<0时，2a<0,此时点B在y轴左侧， ∴.该抛物线的解析式为y=ax2+bx, 当t<0时，MN=-at2+3at,其图象开口向上，对称轴 将A(3,3a)代入y=ax2+bx, 得3a=9a+3b,解得b=-2a; 为直线 (2)①若a=1,则该抛物线及直线解析式分别为y= MN的长随OP的长的增大而增大， x2-2x,y=x, ∴.MW的长随t的增大而增大， 当t=4时，点P(4,0),如图1， 3 3 2a≤2，解得a≤4 .∴.a<0. 综上，a的取值范围为a 3且u≠0. 专题十二几何图形初步 考点1点、线、面、体 A 图1 考点2相交线和平行线 PM⊥x轴，.xw=xx=4, 1.C2.C3.D4.B5.C6.A 将x=4代入y=x2-2x, 7.A【解析】.a∥b,.旋转后的∠2=∠1=80°，∴.要 得y=42-2×4=8,即M(4,8), 使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数 将x=4代入y=x,得y=4,即N(4,4), 为110°-80°=30°.故选A. .MN=8-4=4; 8C【解析】如图，标记直尺的长a,b及∠3，∠4，：a ②.PM1x轴，P(t,0), ∥b,∴.∠3=∠1=50°，∠2=∠4，∴.∠4=180°-60°- .Xw=xN=t, ∠3=70°，∴.∠2=∠4=70°.故选C. 将x=t代入y=ax2-2ax, 得y=at2-2at,即M(t,at2-2at), 30 将x=t代入y=ax,得y=al,即N(t,at), :MN=at2-2at -at |at2-3at, 令MN=0,则at2-3at=0, 4入人3 解得t=0或t=3, 如图2，当a>0时，2a>0,此时点B在y轴右侧， 9.C【解析】AD∥BC,∠B=38°，.∠DAE=∠B=38°， 当0<t≤3时，MN=-at2+3at,其图象开口向下，对 ∠DAC=∠C,·AD是∠EAC的平分线，∴.∠DAC= 称植为直线：， ∠DAE=38°，∴.∠C=∠DAC=38°.故选C. 10.C【解析】小·PQ∥AB,CD∥PQ,.∠ABE+∠BGP= .19。 180°，∠CDF+∠DGP=180°，∠ABE=130°， 考点3等腰三角形的性质和判定 ∠CDF=150°，.∠BGP=50°，∠DGP=30°，. 1.D【解析】由作图可知，AB=AE,∠ABC=60°，. ∠EGF=∠BGD=∠BGP+∠DGP=8O°.故选C. △ABE为等边三角形，.BE=AB=3,.EC=BC- 11.B【解析】如图，过点C作CG∥AB,并标记∠1， BE=2.故选D. ∠2，则DF∥AB∥CG,.∠1+∠BAC=180°，∠2= 2.B【解析】：点D在BC上，∴.∠ADB+∠ADC= ∠CED,∠BAC=120°，∴.∠1=180°-∠BAC=60°， 180°，.当∠ADB=∠ADC时，∠ADB=∠ADC=90°， :∠ACE=100°，.∠2=∠ACE-∠1=40°，.∠CED= .AD⊥BC,A项不符合题意；由∠B=∠C不能得到 ∠2=40°.故选B. AD⊥BC,B项符合题意；AB=AC,当BD=CD或 B AD平分∠BAC时，AD⊥BC,C、D两项不符合题意.故 选B. 3.A【解析】由作图可知，AP平分∠BAD,∴.∠BAG= ∠DAG,,AD∥BC,,∠DAG=∠BGA,.∠BAG= D ∠BGA,∴.BA=BG=6,:BC=10,∴.CG=BC-BG=4. 12.45°【解析】由题意可知，在空气中的两条直线也 故选A. 平行，∴.∠1=∠2，∠1=45°，∴.∠2=45° 4.D【解析】由作图可知，∠B=∠DCB=45°，∴.∠BDC= 13.130【解析】.AB∥CD,∠D=50°，∠BOD=∠D= 180°-∠B-∠DCB=90°，DB=DC,A、B、C三项正确； 50°，∴.∠B0E=180°-∠B0D=130°. ∠A>∠ACB>∠B,∴.BC>AB,AD+DC=AD+DB= 考点3命题 AB,∴.AD+DC<BC,D项错误.故选D. 1.D【解析】“矩形的对角线相等”是真命题，A项不符 5.2【解析】□ABCD中，AD=2,∴.AB∥CD,AD=BC= 合题意；“菱形的对角线互相垂直”是真命题，B项不 2,.∠DCE=∠CEB,:CE平分∠BCD,∴.∠DCE= 符合题意；“正方形的对角线相等且互相垂直”是真 ∠BCE,∴.∠BCE=∠CEB,.BE=BC=2. 命题，C项不符合题意；平行四边形的对角线互相平 6.(1)解：△ABC是等边三角形， 分，但不一定相等，.“平行四边形的对角线相等”是 ∴.∠ACB=60°，AB=CB, 假命题，D项符合题意.故选D. D是AB的中点， 2.-3(答案不唯一)；1（答案不唯一） ·∠DCB=∠DCA=1 ∠ACB=30°， 2 专题十三三角形 CE⊥BC,.∠BCE=90°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°； 考点1三角形的三边关系 (2)证明：由平移可知，CD∥EF, B ∴.∠EAC=∠DCA=30°， 考点2三角形的内角和及其推论 又·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， 1.43【解析】如图，延长FI与OG交于点K,∠D0B= ∴∠EAC=∠ECA, ∠F0B=23.5°，.∠K0F=∠D0B+∠F0B=23.5°+ ∴.AE=CE,∠AEC=120°， 23.5°=47°，FI为⊙0的切线，∴.∠0FK=90°， 又.·AB=CB. ∠OKF=180°-∠0FK-∠K0F=43°，FH∥OG, .BE垂直平分AC, ∠IFH=∠OKF=43°. ∴.∠GEC=60°， 由(1)可知，∠GCE=60°， 北归线 ∴.∠EGC=60°， ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC, 赤道 ∴.△CEG是等边三角形 南归线 考点4直角三角形的性质和判定 1.C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°， 2.117【解析】：⊙0是△ABC的内切圆，∴.∠OBC= ∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-20°=70°，.·CD 2∠ABC,∠0CB=1 ∠ACB,.·∠A=54°，∴.∠ABC+ 为AB边上的中线，.CD=AD=BD,∴.∠DCA=∠A= 2 20°，∠DCB=∠B=70°，∴.∠CDB=2∠A=40°，DE ∠ACB=180°-∠A=126°，.∠B0C=180°-（∠0BC+ ⊥AC,∴.∠CDE=180°-90°-∠DCA=70°，∠ADE= ∠0CB)=180-7∠ABC+乙ACB)=17 180°-90°-∠A=70°，∴.与∠A互余的角是∠B, ∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个.故选C. ·20· 2.B【解析】在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，.∠C= ∠3=180°-30°-50°=100°.故选B. 180°-120°=30°，D是AC的中点，设AC=2x,则 2 CD=x,·ED⊥AC,∴△EDC是直角三角形，且∠C= 30°，∴.EC=2DE,,DE=√3，∴.EC=23,在Rt△EDC 中，EC=DE2+CD2,.(23)=(3)+x2,即x2=9, 解得x=3(负值舍去)，∴AC=6.故选B. 3.C【解析】如图，设AC,BD交于点O,:∠EAD= 3.A【解析】：∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴.AB=2BC, ∠BAC,∴.∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE,即∠BAE= AC=√3BC,设BC=x,则AB=2x,AC=√3x,:AD平分 ∠CAD,又AB=AC,AE=AD,.△BAE≌△CAD ∠CAB,∠ACB=90°，∴.点D到AC,AB的距离相等且 (SAS),.∠ABE=∠ACD,∠AOB=∠COD, ∠BA0=∠CD0=56°，：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB= S△AcD 24C·CD 1 180°-∠BAC_180°-56° 均为CD的长，∠CAD=∠BAD,∴ =62°.故选C. S△ABD 2 2AB·CD BDD02C0=, CD,CD AC3 BC=(23-3)x, 2+3 AD=√AC2+CD2=(32-√6)x,:BE⊥AD,∠CAD= ∠BAD,∴.sin∠CAD=sin∠BAD,∴ CD_BE,即BE AD AB' 2x 4.A【解析】如图，过点C作CG∥AD,连接DM并延长 23-3 交CG于点G,连接EG,则∠GCM=∠A,点M是AC 32-6BE= 6-√2 AD(32-6)x 2 ,. BE W6-√2 的中点，∴.CM=AM,又∠GMC=∠DMA,∴.△GMC≌ x 2 △DMA(ASA),∴.CG=AD=4,GM=DM,CG∥AD, ∠B=90°，∴.∠GCE=180°-∠B=90°，∴.GE= 2√3.故选A. 4.4 √CG+CE=√4+32=5，GM=DM,点N是DE的中 5.12【解析】如图，连接AD,BC=23,BD=13,.CD= 点MN是△DEG的中位线，MN=CB=5故选A BC-BD=10,由作图可知，AD=AC,AE垂直平分CD, LC=LADC,ZAED=LAEC=90,DE=CE-CD=5, ,∠C=2∠B,∴.∠ADC=2∠B,,∠ADC=∠B+ ∠BAD,.∠B=∠BAD,.AD=BD=13,.在Rt△ADE 中，AE=AD-DE2=12. 5W3-1【解析】如图，过点D作DH⊥BC交BC于点 H,则∠DHB=∠DHC=90°，BD=CD,DH=DH, R△BDH≌Rt△CDH(HL),BH=CH=2BC=L,即 3 DH是BC的垂直平分线，.DH=√BD-BⅢ=1， 米 AB=AC,BD=CD,∴点A,D,H在同一条直线上，即 考点5全等三角形的性质和判定 1.B AH⊥BC,.AH=√AB2-B=3,.AD=AH-DH= 2.B【解析】如图，连接AB,OC,BC,并标记各角，由作 3-1. 图可知，OA=OB,AC=BC=AB,,△ABC为等边三角 形，.∠ACB=60°，，OC=OC,∴.△OAC≌△0BC (ss,L1=L2=2∠40B=7×60=30,∠3= ∠4=0B-=×10m=50∠0aC=180-∠1 H ·21· 6.证明：在△AOC和△B0D中， 叉、 ∠C=∠D 【解析】如图，延长AN交直线BC于点E,并标记 {∠AOC=∠BOD, 点F,G,由题意可知，AD=BC=CD=9,∠D=90°，AD AC=BD ∥BC,AN∥FG,设DW=x,则CN=9-x,:密封透明正 .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡 7.证明：(1)：∠BAF=∠EAD, 上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上 .∠BAF-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠BAC=∠FAD, 时，水的体积等于长为9、宽为9、高为9-x的长方体 .·AC=AD,∠ACB=∠ADB, 的体积与长为9、宽为9、高为x的长方体的体积的 .△ABC≌△AFD(ASA); 半之和，.9x9(9-)+】×9x9x=9x9x7,解得=4， (2):△ABC≌△AFD, 2 ∴AB=AF, ∴.DN=4,AN∥FG,∴.∠AEF=∠F=a,AD∥BC, .BE=FE, DN 4 ∠DAN=∠AEF=a,∴.tana=tan∠DAN= .AE⊥BF,即AC⊥BD. AD 9 8.(1)SSS:全等三角形的对应角相等 (2)证明：：∠AED=∠AOB,∴.ED∥OB, ∴.∠EPO=∠BOP, EP=EO,∴.∠EPO=∠EOP, .∴.∠BOP=∠EOP, F-a B .OP平分∠AOB. 考点7解直角三角形的实际应用 考点6锐角三角形的性质和判定 1.1.2【解析】如图，过，点C作CE⊥AB于点E,则BE= 1.D CD=1.8,:AB=27,.AE=AB-BE=0.9,.在 【解析】如图，过点O作OH⊥AB交AB于点H, R△ACB中，m4-5-133CE=12.印该人 AE0.9 交圆孤于点C,由题意可知，AB=8,HC=2,设OA=x, 与扫描仪的水平距离约为1.2米 则OH=x-2,:OH⊥AB,OC为半径，.AH=BH= 2AB=4,在Rt△0AH中，AH+0H=02,4+( 2)'=,解得x=50A=5,c0s∠0AB=104 0A5 2.15,5【解析】：坡AB的斜坡坡度i=12,BC 【解析】如图，连接AB交OC于点D,由作图可 1,即15=1 2’AC ,解得AC=152,由勾股定理得，AB= 知，OA=0B=2,AC=BC=√6，∴.OC垂直平分AB, AC+BC=W(152)+152=153. 0C1AB,BD=2AB,∠M0N=60,△A0B是等 3解：(1)理由如下： 由题意可知，EF∥AD,.∠ADC=∠EFD, 边三角形，.AB=OA=2,∴BD=1,在Rt△BCD中， ∠ACD=∠EDF=90°，∴.△ACD∽△EDF, CD=/BC-BD-/5..anL BCO=BD_15 CD DF CD 55 六CA-DE=1CD=-CA: 1 (2)如图，设BN与DE的交点为P, 由题意可知，PN=DM=1,DP=BC=MN=1.2, BN=CM. ) ∴.PE=DE-DP=0.9, 六在R△PNE中，am∠PNE=PE-0,9=0.9, PN 1 ·22· 设AB=x,则CD=CA=x+1.2, .'BN=CM=CD+DM=x+2.2, 45 在Rt△BNM中，an∠BNM= BN=0.9 ∴.AB=0.9BN, F.607 309 ∴.x=0.9(x+2.2),解得x=19.8, a B 即AB=19.8. (2).∠CBE=60°， 答：纪念碑AB的高度为19.8m; ∴.∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30°， 由(1)可知，∠ACB=30°， ∴.∠ABC=∠ACB=30°， AB=800,∴.AB=AC=800, w 在t△ACM中，sin∠ACM=AM AC,cos∠ACM=C C MM=AC,sin∠ACM=80×sin30°=800×2=400， F M D (3)·19.8-19.64=0.16,19.64-18.5=1.14,1.14> CW=AC·c0s∠ACM=800×cs30°=800xY =4003, 2 0.16, ∴.BM=BA+AM=800+400=1200. .小红的结果误差较大， .∠BDM=45°，BM⊥DM, 可能原因是平台底部点C不能直接到达，间接测量 ∴.DM=BM=1200, 时产生了较大的误差 ∴.DC=DM-CM=1200-4003. 4.解：如图，延长DF与AB相交于点G,则DG∥CA, 答：景点C与景点D之间的距离为(1200-4003)m. 由题意可知，∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°， 6.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E, AG=EF=CD=1.7,DF=CE=32, 在Rt△FGB中，tan∠GFB= GB 由题意可知，∠EBC=53°，∠EBD=45,CD=10× 25, GE .∠C=90°-∠EBC=37°， GB ..GF= 设BE=x,则ED=x, tan31' ∴.EC=ED+DC=x+5, 在Rt△DGB中，tan∠GDB= GB BE GD ∴.在Rt△BCE中，EC 4 tanC tan37°0.753x, .GD= GB 4 tan22' 六3x=x+5,解得x=15, .·GF+DF=GD .渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15 lan316+32=GB GB tan220,解得GB≈38.4， 海里； ∴.AB=AG+GB≈40. 东 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. B B (2):在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, 31-220 ∴.AE=BE·tan∠ABE≈3.75， A .AC=AE+DE+CD≈23.75， 5.解：(1)如图，标记点E,F, .23.75÷10=2.375(小时)=142.5（分钟）， 由题意可知，∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°， 又从14：30，经过142.5分钟是16：52：30， BM⊥DM,BE∥AF∥DM, .渔船在17：30之前到达码头A, ∴.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°， ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码 .∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°； 头A. ·23·4.(2025广东深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 9.(2025黑龙江绥化)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC,∠B= 专题十二几何图形初步 A0经平面镜后反射入眼，若CB∥O4,∠CB0=122°，∠B0N= 38°，则∠C的度数是 90°，则入射角∠AON的度数为 ( A.16 B.30 C.38° D.769 A.22° B.32 C.35 D.122° 考点1点、线、面、体 10.(2025江苏扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经 5.(2025江苏苏州)如图，在A,B两地间修一条笔直的公路，从A 过凸透镜折射后，折射光线BE,DF交于主光轴上一点G,若 (2025江苏苏州)如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直 地测得公路的走向北偏东70°.若A,B两地同时开工，要使公路 ∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠ECF的度数是 ( 线旋转一周后形成的几何体是 准确接通，则上α的度数应为 ( A.60 B.709 C.80° D.90° A.100 B.105 C.110 D.1159 北 起跳线∥C 第10题图 第11题图 考点2相交线和平行线 第5题图 第6题图 1L.(2025四川凉山州)如图，DF∥AB,∠BAC=120°，∠ACE= 6.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留 100°，则∠CED= () 1.(2025河南省)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角 下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩 A.30° B.40 C.60° D.80 器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( (最近着地点到起跳线的景短距离)，依据的数学原理是( 12.(2025四川广安)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因 A.100° B.110 C.1209 D.1309 A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 此当光线从水中射向空气时，要发生折射由于折射率相同.所 C两点之间线段最短 D.两直线平行，内错角相等 以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，4，b为两条 7.(2025甘肃平凉)如图1，三根木条a,b,c相交成∠1=80°，∠2= 平行的光线，∠1=45°，则∠2的度数为 110°，周定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图2所 示，使木条a与木条b平行，则可将木条旋转 ●● 第1题图 第2题图 2.(2025河北省)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方 式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC.∠ABC=70°，则 第12题图 第13题图 ∠BAD= 13.(2025江苏连云港)如图，AB∥CD,直线AB与射线DE相交于 A.70 B.100 C.110 D.130° 点0.若∠D=50°，则∠B0E= 3.(2025湖北省)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被 A.309 B.40 C.60° D.80° 第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1=56°，则∠2的 8.(2025黑龙江齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺按如 考点3命题 度数是 图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是 ( 1.(2025四川成都)下列命题中，假命题是 A.34° B.44 C.46 D.56 A.50° B.609 C.709 D.80° A矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等 2.(2025北京市)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题的一 组实数a.b的值为a= ,b= 第3题图 第4题图 第8题图 第9题图 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C 专题十三三角形 C.BD=CD D.AD平分∠BAC 3.(2025四川眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=6,BC= 10.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分 考点1三角形的三边关系 (2025江苏连云港)下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三 别交B,AD于E,F两点：②分别以点E,F为圆心，大于F 角形的是 () 的长为半径画弧，两弧相交于点P:③作射线AP交BC于点G, A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,58 D.4,5,10 则CG的长为 () A.4 B.5 C.6 D.8 考点2三角形的内角和及其推论 1.(2025北京市)如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤道， CD,EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5 夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处 的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI 第3题图 第4题图 所成的锐角)的大小为 4.(2025吉林省)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B. 考点4直角三角形的性质和判定 尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分 北回口毁 别交边BA,BC于点M,N:(2)以点C为圆心，BN长为半径画 1.(2025陕西省)如图.在△ABC中.∠ACB=90°，∠A=20°，CD为 AB边上的中线，DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有() 去道0 弧，交边CB于点N':再以点N为圆心，MN长为半径画弧，与前 一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M':(3)过点 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 南线 画射线CM”交边AB于点D.下列结论错误的为 ( 第1题图 第2题图 A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90 2.(2025宁夏)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠B0C= C.DB=DC D.AD+DC=BC 5.(2025新疆)如图，在口ABCD中， 第1题图 第2题图 ∠BCD的平分线交AB于点E,若AD= 考点3等腰三角形的性质和判定 2.(2025安微省)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC 2.则BE= 的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=√3，则AC 1.(2025贵州省)如图，在□ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°， 6.(2025福建省)如图，△ABC是等边三 的长是 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E,则EC的长为 角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方 向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点(G A.43 B.6 C.23 D.3 A.5 B.4 C.3 D.2 (1)求∠DCE的大小： 3.(2025江苏连云港)如图.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB= (2)求证：△CEG是等边三角形. 30,AD平分∠CB,B1AD,E为垂是，则记的值为 D 第1题图 第2题图 2.(2025江苏扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB=AC,点D A.23 3 53 C 在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是 () 4.(2025福建省)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC,E,F分别是斜 8.(2025四川达州)开启作角平分线的智慧之窗 梁AB,AC的中点.若AB=AC=8m,则DE的长为 武 问题：作∠AOB的平分线OP 第3题图 第4题图 第5题图 F米 4.(2025黑龙江龙东)如图，在R△ABC中，∠B=90°，点D,E分 甲同学 乙同学 内同学 工人师傅 第4题图 第5题图 别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3,连接DE,点M,N分别是 作法：甲同学用尺规作出了角平分线：乙同学用圆规和直角三 5.(2025四川广安)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点 AC,DE的中点，连接MN,则MN的长度为 ( 角板作出了角平分线：丙同学也用尺规作出了角平分线，工人 A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D:(2)分别以点C C.2 师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角 和点D为圆心，大于CD的长为半径同弧，两弧相交于点F: 的两边上.即得OP为∠AOB的平分线： 5.(2025广西)如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD= 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑认为判断角 (3)画射线AF交BC于点E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则 2,则AD 平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 AE的长为 6.(2025云南省)如图，AB与CD相交于点0，AC=BD,∠C=∠D. 求证：△AOC≌△B0D, 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定依据：①三 考点5全等三角形的性质和判定 角形全等，AAS,ASA或HL,② 1.(2025山西省)如图，小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中 对丙同学的作法陷入了沉思 点连在一起，记中点为0，即A0=C0,B0=D0.测得C,D两点之 任务： 间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A,B两 (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整： 点之间的距离.图中△AOB与△C0D全等的依据是() (2)完成对丙同学作法的验证：已知∠AED=∠AOB,EP=EO.求 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 7.(2025河北省)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 证：OP平分∠AOB. E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD. (I)求证：△ABC≌△AFD: (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD 第1题图 第2题图 2.(2025北京市)如图，∠M0N=100°，点A在射线0M上，以点0 为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A,B 为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接 AC,则∠OAC的大小为 (） A.80° B.100 C.110° D.120 3.(2025四川凉山州)如图，AB=AC,AE=AD,点E在BD上， LEAD=∠BAC,∠BDC=56°，则LABC的度数为(） A.56 B.60° C.62 D.64 根据以上信息，解决下列问题： 考点6锐角三角形的性质和判定 考点7解直角三角形的实际应用 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=C4A 1.(2025年广东深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10 1.(2025上海市)某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设 请说明理由： 米，斜道AC长为30米，则sinA的值为 置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段AB)的竖直高度为2.7米， (2)求纪念碑AB的高度： 某人（线段CD)的身高为1.8米，扫描仪测得∠A=53°，那么该 (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高 人与扫描仪的水平距离为 米（各用数据：sim53°=0.8， 度约为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m cos53°=s0.6,an53°=1.33，精确到0.1米) 请判晰小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析 432 误差较大的可能原因.（写出一条即可） B.3 3 2.(2025山东东营)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代 表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积= 2(弦×矢+夫)，弧田（知因）是由圆孤和其所对的弦所围成 ■■■■■■■世■ “ 的，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”等于半径长与圆心0 到弦的距离之差在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则 第1题图 第2题图 cOs∠OAB的值为 2.(2025黑龙江缨化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面 坡度i=1:2(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC 的比)，堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 m. 3.(2025河南省)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物 保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实 践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下 第2题图 第3题图 活动主题 测量纪念碑的高度 3.(2025江苏苏州)如图.∠M0N=60°，以点0为圆心，2为半径 画弧，分别交OM,ON于A,B两点，再分别以A.B为圆心，6为 半径画弧，两弧在∠MO内部相交于点C,作射线OC,连接 实物图和 AC,BC,则an∠BCO=(结果保留根号). 测量示意图 4.(2025江苏扬州)如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器 水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm.将此正方体放在 1) 坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图 如图2所示，则ana= 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下 其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的 测量说明 标杆DE的T顶端E的影子落在点F处，位于点M处的 说测者眼晴所在位置为点N,点N,E,A在一条直线 上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上。 测量数据 DE=2.1 m,DF=2.1 m.DW=1 m,MN=1.2 m. 29 图2 备注 点F,M.D.C在同一水平线上 4.(2025陕西省)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高 7.(2025山东烟台)综合与实践 度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量.测量示意图如图 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往 所示，他们在坡面B上的点D处安装测角仪DE,测得信号杆顶 船只提供导航服务为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣 端A的仰角为45°，DE与坡而的夹角B为72.5°，又测得点D与 小组开展了实践探究活动 信号杆底端B之间的距离BD为22m.已知DE=1.7m,点A,B,C 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航 在同一条直线上，AB,DE均与水平线FC垂直，求信号杆的高AB. 行，小组同学收集到以下信息： (参考数据：sin72.5°=0.95，c0s72.5°=0.30，tan72.5°=3.17) 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 信息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气 受暖湿气流影响，今天17：30到夜问，码头A附近海域将出现 预警浓雾天气，请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： 6.(2025湖南长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于 (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离： 点M,景点A.B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来 升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点 前到达码头4.（参考效据：sin37°=0.60，c0s37°=0.80， D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A tan37°≈0.75，sin14°=0.24，c0s14°≈0.97，anl4°=≈0.25) 的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45方向上. 北 已知AB=800m. (1)求∠ACB的度数： (2)求景点C与景点D之间的距高.（结果保留根号） 5.(2025天津市)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津市站附 东 近世纪钟建筑AB的高度（如图1）. 某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点A,E,C依次在同 一条水平直线上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=l.7m.在D处 测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑 顶部B的仰角为31°，CE=32m根据该学习小组测得的数据， 计算世纪钟建筑AB的高度.（结果取整数，参考数据：ta22°= 0.4,an31°=s0.6) 图1 图2