专题5 整式方程(组)及应用-2026年中考数学真题分类必刷

b,..AM=a+b-a=b,BM=b-(a+b)=-a,.AM> BM,.原点在点A,M之间，.a<0,b>0且a< (2)原式=2-2-4×41-2 b,∴.a+b>0,a-b<0,ab<0,a-b<0,.运算结 b 果一定是正数的是a+b.故选A. 21.(1)证明：3m+n三。，mn=C a 二、填空题 ∴.b=a(3m+n),c=amn, 11.x212.2(答案不唯一）13.2m(m-3)2 ∴.b2-12ac=[a(3m+n）]2-12a2mn 14.8【解析】.(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b,∴ =a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn (x+2)4=x4+4x3·2+6x2·22+4x·23+24=x4+8x2+ =a2(9m2-6mn+n2) 24x2+32x+16,∴.m=8. =a2(3m-n)2, 15,9【解析1由题意可知，重叠饰分为}-号，设重 a,m,n是实数，.a2(3m-n)2≥0， 5 .b2-12ac为非负数： 5 (2)解：m,n不可能都为整数.理由如下： 叠部分的长度为k,则a=3弘，6=2人，重叠后的总长 ①当m,n都为奇数时，3m+n必为偶数， 度为a-k+(b-k)+k=81,即a+b-k=81,把a=3k, 3m+n=b=a(3m+n), 6=k代入，得3k+k-k=81,解得=18，∴a=3x 又.a为奇数， 18=54,6=56=454+h=9. ∴a(3m+n)必为偶数，与b为奇数矛盾： ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn 三、解答题 必为偶数， 16.解：(1)原式=2+1-3=0： mn= ,.∴.c=amn, (2)原式=x2+2x+1-x2-2x=1. 17解：原式=a2-1+1a(a-2) 又a为奇数 a-1(a-2)2 ∴.amn必为偶数，与c为奇数矛盾. a2(a-2)2 综上，m,n不可能都为整数， a-1a2(a-2） 专题五 整式方程（组）及应用 -a-2 a-1’ 考点1一次方程（组）及解法 :a满足a2-4=0,即a=±2但a-2≠0， 1.A2.A 3.B【解析】设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由 ∴.a=-2, 原默是 题意，得45x+60=90,-60,4y,x,y均为正整 3 数，.当y=3时，x=16;当y=6时，x=12;当y=9 18.解：(1)原式=3-√2+1+√2-9=-5； 时，x=8;当y=12时，x=4,.共4种满足条件的正整 (2)原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2) 数解，对应4种租车方案.故选B. 19.解：(1)原式=9-2√2+22-2=7： 4.C5.4 (2)原式= a+1)(a-D+i.a-3)2 a+1 a-3 6 【解析】小x-y=2,x-y=4,.x=y+2>0, =(a-1+1)(a-3) x=y+4≥0，∴.y≥-4，.x=x=y+2=y+4,当 =a(a-3) y≥0时，方程无解；当-4≤y<0时，-y+2=y+4, =a2-3a, 当a=2时，原式=22-3×2=4-6=-2. V=-1,…x=y+2=3,=33 20.解：(1)原计算第一步开始出错： 7.解：(1)原式=2-3=-1； (-日号副 (2)去括号，得2x-2=2+x, 移项，得2x-x=2+2, =-6×2 2 5 合并同类项，得x=4. 3 +6× 6 考点2一元二次方程及应用 =-3-4+5 1.A2.D3.A4.D5.C =-2; 6B【解析】：小影在化简过程中写错了常数项，得到 ·3 方程的两个根是6和1，.x1+x2=6+1=7,又：小冬9.解：(1)由题意得，实际支付高速费用： 在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个 0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元； 根是-2和-5，.x1x2=10.x2+6x+5=0中，x1+x2= (2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费 -6,x12=5,A项不符合题意；x2-7x+10=0中，x1+ 原价分别为x元和y元， x2=7,x1x2=10,B项符合题意；x2-5x+2=0中，x1+ 则/0.5y=27.55 x2=5,x1x2=2,C项不符合题意；x2-6x-10=0中，x1+ (0.95x+0.95y=95.95 x2=6,x1x2=-10,D项不符合题意.故选B. 解得45.9 7.2 y=55.1 8.29【解析】.方程x2-5x-24=0的两根分别为a和 答：此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其 b,.a2-5a-24=0,a+b=5,.a2-5a=24,b=5-a, 他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. a2-4a+b=a2-4a+5-a=a2-5a+5=24+5=29. 专题六分式方程及应用 9.(1)解：把x,=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,解得m=±√6， 考点1分式方程及解法 .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 1.A 解得x1=-1,x2=4, 2.A【解析】由+女26=3，得+3张 x-44-x -43,得x+3k=3x .x2=4,m=±√6； (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2 2,则x=3张+12 12,解得x=3+12 <0,即3k+12<0,解 2 m2=0, 4=4m2+1>0, 得k<-4,.分母x-4≠0，即x≠4， 3k+12 2 ≠4，解 .原方程有两个不相等的实数根， .x1+x2=3,x1x2=2-m2, 得头、4 一k<-4故选A （x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1= -m2, 3x-4 -m2≤0，∴.(x1-1)(x2-1)≤0. 4.-1【解析】心+m+1 x-2+2-x =3,x+m-1=3x-6,x-3x= 考点3方程（组）的实际应用 1.A2.C3.1.24.35.0.5 -6-m+1,-2x=-5-m,x= m,原方程无解，… 6.3(x-2)=2x+9 71【解析】设三阶幻方的幻和为S(即每行、每列、每 5+m是系方程的特根5=2m=-小 条对角线的数字之和均为S),三阶幻方中的一些数 x 字和字母如图所示： 5.解.x-32 2 x-2x2-3x+2x-1' 方程两边同时乘以(x-2)(x-1), 得(x-3)(x-1)-2=2(x-2), 去括号，得x2-3x-x+3-2=2x-4, a b 移项、合并同类项，得x2-6x+5=0, 则2+2+x=-4+x+b 'y-2+a=a+2-4② ,解得=4 y=0S=y+2+ ∴.(x-1)(x-5)=0, .x-1=0或x-5=0, b=6,再代入①，得x=6,.x=6°=1. 解得x=1或x=5, 8.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条 检验：当x=1时，x-1=0,此时x=1是原方程的 AD的长度为(5x-10)cm,BC= 是3(5x-10)cm,AB国 增根， 当x=5时，(x-2)(x-1)=12≠0，此时x=5是原方 CD=x,头部高为x,尾部高为2x,这只风筝的骨架的 程的解， 总高为4x, ∴.原方程的解为x=5. '.·AD=AB+BC+CD 6解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时 5 乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； .5x-10=x+g(5x-10)+,解得x=20, 小李的解答过程不正确，正确解答如下： .这只风筝的骨架的总高4x=80(cm). 1-x.1-2, 答：这只风筝的骨架的总高为80cm. x-22-x 4个，则x和y满足的方程组是 5.(2025北京市)若关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有两个 专题五整式方程（组）及应用 A/+3=17 B/5r+3=10 相等的实数根，则实数a的值为 2x+y=10 2x+y=17 A.-4 B.-1 C.I D.4 考点1一次方程（组）及解法 5x+2y=17 Cy=10 n/r+2=10 6.(2024黑龙江绥化)小彩与小冬一起写作业，在解一道一元二次 (3x+y=17 方程时，小影在化简过程中写错了常数项.因而得到方程的两 1.(2025天津市)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一 5.(2025广东深圳)若关于x的方程x+a=5的解为x=1,则a= 个根是6和1：小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得 道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.餐马先 到方程的两个根是-2和-5则原来的方程是 行一十二日，问良马几何日追及之.“意思是：跑得快的马每天走 6.(2025重庆市)若实数x,y同时满足-y=2,x-y=4,则x A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可 的值为 4 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为 7.(2025四川眉山)(1)计算：4--3： 7.(2025四川达州)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是 ( (2)解方程：2(x-1)=2+x. 1.则m的值为 A.240x=150(x+12)） B.240x=150(x-12】 8.(2025四川广安)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12 则代数式a2-4a+6的值为 2.(2025四川南充)我国宋代数学家素九韶发明的“大衍求一术” 9.(2025四川南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m 阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知 的两根 数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩 (1)当x,=-1时，求x2及m的值： 三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一 (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 数，剩余2个：每5个一数，剩余3个…问这些物体共有多少 个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x,y为 考点2一元二次方程及应用 正整数.依题意可列方程 ( 1.(2025河南省)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是( A.3x+2=5y+3 B.5x+2=3y+3 A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C.3x-2=5y-3 D.5x-2=3y-3 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.(2025黑龙江齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个 2(2025湖北省)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1, “中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织 x,下列结论正确的是 () 900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座 A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车 C.12=4 D.x1x2=3 都没有空座位，则租车方案有 () 3.(2025广东省)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制 A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 造业呈现快速增长态势某公司工业机器人在今年5月产值达 4.(2025浙江省)手工社闭的同学制作两种手工艺品A和B,需要 到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7 用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表。 两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为() 材料 彩色纸（张） 细木条（捆） A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 类别 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 手工艺品A 3 4.(2025安徽省)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 手工艺品B 2 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种 A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 7 手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 9.(2025广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末 考点3方程（组）的实际应用 6 -4 自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以 1.(2025山东烟台)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出 -22x 下简称高速货)优患小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲 售，则每台风扇亏损10元：若按标价的九折出售，则每台风扇 91 游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 盈利95元这款风扇每台的标价为 () 湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段 A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 图1 图1 8.(2025北京市)北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为 周一至周四 9.5折 2.(2025福建省)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用 制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门 周五至周日 9.5折 全免 5折 总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出 一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示，设矩形的一 条、两根等长的膀条和两根等长的尾条他将门条和膀条分别烤 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段 边长为x米，根据题意可列方程 弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与 广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元，b A.5x2=6 尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比 元和元.则此行程的高速费实付多少元？ B.5(1+x2)=6 单根膀条短10cm,图1中BC的长是门条长的。，AB,CD的长 (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付 C.x(5-x)=6 27.55元：周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95 均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高 D.5(1+x)2=6 元则此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路 A B C D 3.(2025陕西省)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助 部高 段的单程高速费原价分别是多少元？ 果农采摘草莓，小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康 胸腹高 采摘的草莓比小悦多2.4kg.已知小康平均每小时采摘6kg,小 尾涕高 悦平均每小时采摘4kg,小康采摘的时长是 小时 4.(2025四川成都)任意给一个数x,按下列程序进行计算，若输出 图 2 的结果是15，则x的值为 /输入采以6诚去出 5.(2025四川德阳)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现： 若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡 后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力 臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m,当动力为1200N 时，动力臂是m. 6.(2025吉林省)《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共 车，二车空：二人共车，九人步问车几何？其译文为：有若干人 乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一 车，最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此 问题，设共有x辆车，可列方程为 7.(2024四川广元)幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的 “洛书”中把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶 幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足 每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就 得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一些数字和字