专题01 有理数【八大题型】2026年九年级中考数学一轮复习（全国通用版）

专题01 有理数 考点一：正数和负数 1、正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。 2、正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3、正负号的化简： 同号为正，异号为负。 （例题） 【例】．在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是掌握正数和负数的定义．根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴正数有，，共个； 故选：C． （练习题） 1．下列各数：，+3.5，0，，，11中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查负数的概念，负数是指小于零的数，准确判断是解题的关键． 直接判断每个数的正负即可得出答案． 【详解】负数小于零， 在给出的数中，和，是负数； ，既不是正数也不是负数，> 0，11> 0，都不是负数； 负数有2个， 故选：A． 2．科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，熟练掌握正负数表示的意义是解题的关键，根据题意原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷，即可得到答案． 【详解】解：∵原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷， ∴钠离子中的原子核带个电荷，表示为：； 核外电子带个电荷，表示为：， 故选：B． 3．若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若收入5元记为，则支出3元记为， 故选：D． 4．若零上记作，则表示（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，运用相反意义的量的表示思想，根据零上记为正，可知零下记为负，关键是理解正负数表示相反意义的量，易错点是对正负数表示的意义混淆． 解题思路：根据正负数表示相反意义的量，判断的含义． 【详解】解：因为零上C记作， 所以零下温度记作负数， 表示零下． 故选B． 5．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 6．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 7．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 8．已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，理解题意是解题的关键．根据高于中位数1分记作分，即可得到答案． 【详解】解：高于中位数1分记作分， 故于中位数1分应记作分， 故选B． 9.某交警在违规多发地段沿东西方向巡逻．若规定向东行走为正方向，该交警从出发点开始所走的路程（单位：）分别为，，，，，则最后该交警距离出发点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所有数据相加，再根据结果判断在出发点的东方还是西方，以及距离出发点的距离． 【详解】由题意得：m， ∵向东行走为正方向， ∴最后该交警在出发点的东方，且距离出发点120米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握相关概念是解题关键． 10．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 11．我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上画斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的数是 ． 【答案】307 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量再结合图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，即可得答案． 【详解】解：由图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数， 故表示的是 故答案为：307． 12．某国有企业年月盈利万元，记作万元，那么月份亏损万元记作 万元． 【答案】 【分析】本题考查了正、负数的意义，熟练掌握用正、负数表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：盈利万元，记作万元，月份亏损万元记作万元， 故答案为：． 13．在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 14．如果“节约”记作，那么“浪费”记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的意义，节约用“+”表示，浪费用“”表示，因此浪费应记作负值． 【详解】解：根据题意，“节约”记作，那么“浪费”记作． 故答案为：． 15．如果向南走记为“”，那么向北走可以记为 m． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向南走记为“”， ∴向北走可以记为． 故答案为：． 16．如果，那么 (用“”或“”填空) 【答案】< 【分析】根据a×b<0得出a、b异号，a×c>0得出a、c同号，利用a>0，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴b<0，c>0， ∴a×b×c<0． 故答案为：< 【点睛】本题主要考查的是有理数的正负号，掌握同号为正，异号为负是解题的关键． 考点二：相反数 1、相反数的定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。我们说其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。 2、相反数的性质： 互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔ （列题） 【例】下列各数中，与互为相反数的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可求解. 【详解】解：∵ 相反数的定义是只有符号不同的两个数， ∴ 的相反数为 ； 故选：A. （练习题） 17．若，是数轴上两点，则点，表示的数互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的几何意义、数轴，由“在原点的两侧，并且到原点距离相等的点表示的数互为相反数”逐一判断，即可求解． 【详解】解：、点、都在原点的右侧，表示的数不可能互为相反数，故不符合题意； B、点，都在原点的左侧，表示的数不可能互为相反数，故不符合题意； C、点都在原点的两侧，到原点的距离相等，表示的数互为相反数，故符合题意； D、点都在原点的右侧，表示的数不可能互为相反数，故不符合题意； 故选：C． 18．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 19．下列判断中不正确的是（　　） A．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 B．到原点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．一个数的相反数可能是它本身 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，正确，不符合题意； B、到原点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数，正确，不符合题意； C、只有符号不同的两个数互为相反数，原说法错误，符合题意； D、一个数的相反数可能是它本身，例如0，原说法正确，不符合题意； 故选C． 20．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 21．若，的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查符号化简及相反数定义，熟记符号化简规律及相反数定义是解决问题的关键． 通过简化给定等式的符号，求出值，再根据相反数的定义求解即可得到答案． 【详解】解：由可得，， 的相反数为， 故答案为：． 22．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义化简后即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 23．按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正方体的表面展开图、相反数的定义，解题关键是熟练掌握正方体的表面展开图的特征． 根据正方体表面展开图的特征，得出、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “”的对面是“”，“”的对面是“”， 又相对面上的两个数都互为相反数， ，， ， 故答案为：． 24．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由符号规律直接化简即可得到答案； （2）由符号规律直接化简即可得到答案； （3）由符号规律直接化简即可得到答案； （4）由符号规律直接化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 25．利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)互为相反数，理由见详解 (2)互为相反数，理由见详解 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． （1）由相反数定义直接验证即可得到答案； （2）由相反数定义直接验证即可得到答案． 【详解】（1）解：与互为相反数， 理由如下： ， 与互为相反数； （2）解：与互为相反数， 理由如下： 是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数， ， 即， ， 则与互为相反数． 考点三：绝对值 1、绝对值的定义： 数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。 2、求绝对值： 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。 即或 3、绝对值与相反数： 互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。 绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即，则或。 绝对值等于一个正数的数有两个，他们互为相反数。，则。 （例题）。 【例】．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：∵是负数， ∴其绝对值为其相反数，即． 故选A． （练习题） 26．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是 （    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：由图可得，最靠近原点的点为点，所以的绝对值最小， 故选：C． 27．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、化简多重符号、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题关键．先化简多重符号、绝对值，再根据相反数的定义解答即可得． 【详解】解：A、与不是互为相反数，则此项不符合题意； B、，则与不是互为相反数，则此项不符合题意； C、，则与互为相反数，则此项符合题意； D、，则2与不是互为相反数，则此项不符合题意； 故选：C． 28．下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小的比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：A、因为，，且， 所以；该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、分别化简两数，得，， 所以；该选项不符合题意； D、因为，， 从而， 所以．该选项不符合题意； 故选：B． 29．下列说法正确的是（   ） A．一个有理数的绝对值一定是正数 B．若一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义以及相反数的定义，熟练掌握基本知识点是解题关键； 根据绝对值的意义和相反数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A：∵ ，∴一个有理数的绝对值不一不是正数，故 A错误； B：正数和0的绝对值等于本身，负数的绝对值为它的相反数，是正数， ∴若一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，故B正确； C： 相反数要求绝对值相等且符号不同，如3与符号不同但非相反数，故C错误； D：当时，a与b可能相等或互为相反数，如但，故D错误． 故选：B． 30．把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．先根据题干中的式子得到规律，再代入求解． 【详解】解：若， 则， ， ， ， ， ， ， ， 从第1次操作开始，以这两个数不断循环出现， ， ∴， 故选：B． 31．下列说法正确的有（    ）个 ①是绝对值最小的有理数；    ②相反数大于本身的数是负数； ③一个有理数不是正数就是负数； ④两个数比较，绝对值大的反而小； ⑤绝对值等于本身的数是正数；   ⑥是正数，则是负数； A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的相关定义及性质，熟练掌握这些概念的定义和性质，是解决此类问题的关键； ①根据绝对值的非负性即可判断； ②根据相反数的定义即可判断； ③根据有理数的分类即可判断； ④根据两个负数绝对值大的反而小即可判断； ⑤根据绝对值的性质即可判断； ⑥根据相反数的定义即可判断. 【详解】解：由和正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，是绝对值最小的有理数可判断①正确⑤错误； 由有理数分为正有理数、负有理数和，可判断③错误； 由正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，的相反数是，可判断②、⑥正确； 由两个负数绝对值大的反而小，可判断④错误；正确的共有个. 故选：B ． 32．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质，通过符号讨论确定表达式的可能值．根据a和b的符号分类讨论，计算和的值，再求其和． 【详解】解：∵ 为非零实数， 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ 的值可能为，不可能为． 故选：C． 33．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，则a取最大值时，b的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简和数轴．解题的关键在于能够结合数轴判断a、b的大小关系，进而化简．注意：最大的负整数是． 先根据A、B的位置关系，判断出a、b的大小关系，化简；再根据a取最大值，得出；最后求出b的值． 【详解】解：∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴， ∴； ∵点A在原点左侧， ∴a为负整数，取最大值时为， 此时，则； 故选：B． 34．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 35．某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义以及绝对值方程，举反例：，，即可判断①；由结合可得 ，即可判断②． 【详解】解：对于观点①：当，时，符合，，但不符合m，n都为正数，故①错误． 对于观点②：若，即， 又， 则， ∴，故②正确． 故选：A． 36 ．化简得： 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，熟练掌握绝对值，相反数的定义是解题的关键． 先计算绝对值，再处理外部的负号． 【详解】解： 故答案为：． 37．在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解决本题的关键是不要漏掉解． 根据数轴上点的位置与距离的关系，到原点的距离等于2.7个单位长度的点有两个，分别位于原点的两侧，求解即可． 【详解】解：设该点表示的有理数为x， 则，解得或． 故答案为：． 38．若为有理数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值即可． 【详解】解：因为对于任意有理数a，有， 所以； 当，即时，， 此时， 因此最小值为5． 故答案为：5． 39．比较大小： （填“<”“>”或“=”）． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较，化简多重符号，计算绝对值，先分别化简，再比较两数大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 40．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若，则满足条件的整数有 个． 【答案】8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义可得，当时，，则整数的取值范围为，即可求解对应的整数个数． 【详解】解：表示数的点和表示数之间的距离为， 根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴整数有，共个， 故答案为：． 41．在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示方法及绝对值方程的求解．根据数轴上两点距离公式，列出方程并求解即可． 【详解】解：由题意，A、B两点的距离为， ∴或， 解得或． 故答案为：7或1． 42．若的最小值是，则为 ． 【答案】或4 【分析】本题主要考查绝对值；分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据题意计算求解即可． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上点x到点的距离之和． 对于三个定点的距离之和，当x取中间位置的定点时，距离之和最小． 当时，三点顺序为，中间点为，此时最小值为： ， 由题意得， 解得，即或（不符合，舍去）． 当时，三点顺序为，中间点为a，此时最小值为： ， 与最小值为7矛盾，舍去． 当时，三点顺序为，中间点为2， 此时最小值为 由题意得， 解得，即或（不符合，舍去）． 综上，或． 故答案为：或4． 43．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 44．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 【答案】(1) (2)0或6 (3)；，，0，1，2，3 (4)或 【分析】本题考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出的取值范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：表示与3的距离为3，则或6， 故答案为：0或6； （3）解：表示与的距离与它与3的距离之和， ∴当时，，其他情况下都， ∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3， 故答案为：；，，0，1，2，3； （4）解：表示与的距离与它与3的距离之和为， ∴当时，，不合题意； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 考点四：倒数 1、倒数的定义： 乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。 乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。 （例题） 【例】．有理数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数定义，熟记倒数定义是解决问题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是与之相乘得1的数，列方程求解后逐项验证即可得到答案． 【详解】解：设倒数为，则由倒数定义可得， ， 则， 故选：D． （练习题） 45．的相反数的倒数是(      ) A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是按“化简原式→求相反数→求倒数”的顺序逐步计算． 先化简得到具体数值，再求出该数值的相反数，最后计算相反数的倒数，对照选项得出答案． 【详解】解：， 的相反数是， 的倒数是， 故选：A． 46．下列各组数中，互为倒数的是（ ） A．和1.5 B．和1 C．和 D．0和0 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义．乘积为1的两个数叫做互为倒数，利用倒数的定义判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、0没有倒数，则0和0不可能互为倒数，故该选项不符合题意； 故选：C． 47．，所以（   ） A．是倒数 B．是倒数 C．和都是倒数 D．和互为倒数 【答案】D 【分析】本题主要考查了互为倒数的关系，解题的关键是掌握倒数的相关定义． 根据互为倒数的关系进行求解即可． 【详解】解：根据得，和互为倒数， 倒数是表示两个数之间的关系，它们是相互依存的，所以必须说清一个数是另一个数的倒数，而不能孤立地说某一个数是倒数， 故选：D． 48．下列说法中正确的有（   ）个 （1）和的乘积为1，所以和互为倒数 （2），所以，，互为倒数 （3）0的倒数还是0 （4）一个数的倒数一定比这个数小 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，理解倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”成为解答本题的关键．根据倒数的定义逐项排查即可． 【详解】解：（1）和的乘积为1，所以和互为倒数，故原说法正确； （2），有三个数，故原说法错误； （3）0没有倒数，故原说法错误； （4）1的倒数是1，则一个数的倒数不一定比这个数小，故原说法错误， 则说法正确的有1个， 故选：B． 49．如果一个正数的倒数比小，一定有(    ) A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据倒数的意义，乘积是的两个数互为倒数．由此可知，大于的数的倒数小于它本身，从而得到的取值范围．此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法，明确：大于的数的倒数小于它本身，小于的数的倒数大于它本身． 【详解】解：根据分析：乘积是的两个数互为倒数，则大于的数的倒数小于，所以如果一个数的倒数比小，一定有． 故选：C． 50．若a是的倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数．将化为分数，根据倒数的定义即可求出a的值． 【详解】解：， ∴其倒数， 故答案为：． 51．的倒数是( )，的倒数是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的认识、一位或多位小数化分数（约分），根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分时要约分；先把小数化成分数；再根据分数求倒数的方法：把分子分母调换位置，即可解答． 【详解】解：的倒数是； ，的倒数是， 故答案为：；． 52．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，解题的关键是理解乘积为的两个数互为倒数，没有倒数． 【详解】解：若，互为倒数，则， 所以； 若没有倒数，的倒数是它本身， 则，或， 所以或， 故答案为：，． 53．写出下列各数的倒数： (1)3； (2)； (3)； (4)； (5)0.2； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】本题考查倒数，乘积等于1的两个数互为倒数． （1）直接根据倒数的定义求解； （2）直接根据倒数的定义求解； （3）直接根据倒数的定义求解； （4）先把带分数化成假分数，再根据倒数的定义求解； （5）直接根据倒数的定义求解； （6）先把小数化成分数，再转化为假分数，最后根据倒数的定义求解． 【详解】（1）∵, ∴3的倒数是； （2）∵, ∴的倒数是； （3）∵, ∴的倒数是； （4）∵，, ∴的倒数是； （5）∵, ∴的倒数是； （6）∵，, ∴的倒数是． 考点五：有理数的大小比较 1、定义比较法： 正数大于0，0大于负数。 2、数轴比较法： 数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。 3、其他比较： 同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。 ，则；，则；，则； （例题） 【例】．下列判断错误的是（　　） A．3＞﹣5 B．﹣3＞﹣5 C．﹣2.5＞﹣|﹣2.25| D．＞ 【答案】C 【分析】根据有理数比较大小的法则即可得出答案. 【详解】A、3＞﹣5，故本选项不合题意； B、因为|﹣3|＝3，|﹣5|＝5，3＜5， 所以﹣3＞﹣5，故本选项不合题意； C、﹣|﹣2.25|＝﹣2.25， 因为|﹣2.5|＝2.5，|﹣2.25|＝2.25，2.5＞2.25， 所以﹣2.5＜﹣|﹣2.25|， 故本选项符合题意； D、因为，，， 所以，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是有理数的比较大小，注意负数的比较大小：绝对值大的反而小. （练习题） 54．在下面的四个有理数中，最小的是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据比较有理数大小，负数小于零和正数，且负数中绝对值越大值越小，比较各数即可得到答案． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：D 55．已知，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可推导出，然后比较各数的大小关系即可；本题主要考查了绝对值、有理数的加法、有理数的比较大小，熟练掌握绝对值越大，负数越小，正数越大是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选项：A． 56．已知，，则、、由小到大的排列顺序是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了整式的比较，掌握字母的符号是解决本题的关键． 由条件和可知，为正数，而m和均为负数．通过比较m和，由于，可得，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∴由小到大为m、、， 故选D． 57．下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是熟练的掌握有理数的大小比较法则． 根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴比小的数是， 故选：A． 58．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据符号[x]表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案． 【详解】解：由题意可得， [-3]=-3，故①正确； [-2.9]=-3，故②错误； [0.9]=0，故③正确； 当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0， 当x为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义． 59．比较大小： ．（选填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小的方法：绝对值大的反而小． 先分别求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结果． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 60．、、三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )． 【答案】 【分析】本题考查了分数的比较大小． 先将分子都化为60，再比较分母的大小即可． 【详解】解：，，当分子相同时，分母越大，分数越小， 所以， 故答案为：； 61．A和B都是大于0的数，并且 则A B．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了分数的乘除法运算和数的大小比较，解题的关键是根据给定的等式分别求出A和B的值，再进行比较． 根据等式，分别求解A和B的表达式（用等式右边的结果表示）；计算出A和B的具体值后进行大小比较． 【详解】解：由，可得，即． 因为A和B都是大于0的数，所以． 故答案为：． 62．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 【答案】2 【分析】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．根据题意，a、b、c两两不等，可设，易得，，，进而可得，，的符号，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设， 易得，，， 则，，中有2个是负数， 故答案为2． 63．把下列各数填在相应的集合中，并用“”把这些数连接起来. ，，，，， 负整数集合：{                                           …}； 分数集合：{                                             …}. 【答案】负整数集合：{}；分数集合：{，， }； 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较方法； 先根据有理数的分类解答，再根据有理数的大小比较方法进行比较即可． 【详解】解：负整数集合为：{}； 分数集合为：{，， }； 用“”把这些数连接起来． 64．【阅读理解】对于三个数，我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）___________；___________； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数，使，若有，求出的值，若没有，说明理由． 【答案】（1），；（2），；（3）存在， 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较和新定义，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据有理数大小比较确定最小值即可； （2）根据，，即可求得，根据，即可求得； （3）根据（2）的结论，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：；， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）存在，，理由如下: 由（2）可知：，， ∵ ∴． 考点六：有理数的运算 1、有理数的加法运算： 同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。 （1） 加法的交换律：；（2）加法的结合律：。 2、有理数的减法运算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。 3、有理数的乘法运算： 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零， （1）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，若负因式有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。 （2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：。 4、有理数的除法运算： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。 5、有理数的乘方运算： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即。在中，为底数，为指数。底数和指数不能同时为0。即无意义。 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当为正奇数时:，与互为相反数。 当为正偶数时: ，与互为相反数。 6、 有理数的混合运算： 先算乘方，再算乘法，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 （例题） 。 【例】．下列算式中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法，减法及乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的运算进行排除选项即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意； 故选C． （练习题） 65．在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（　　） A．16元 B．14.8元 C．11.5元 D．10.7元 【答案】C 【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案. 【详解】由题意可得： （元）． 故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱. 66．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本运算，包括加法、乘法和乘方的运算顺序及符号规则． 根据有理数的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， D错误． 故选B． 67．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 68．下列四个算式：设①；④；③；④．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加、乘、除运算及乘方运算，解题的关键是熟练掌握各类有理数运算的符号法则和运算顺序． 分别计算四个算式的结果，判断每个算式的正误，统计正确算式的个数，进而匹配对应选项． 【详解】解：计算各算式结果： ①，该算式错误； ②，该算式错误； ③，该算式正确； ④，该算式正确； 正确的算式有2个， 故选：C． 69．在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为5，再根据“九宫格中为从1到9不重复的9个自然数”即可求解． 【详解】解：因为九宫格数字总和为， 所以区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中数字可能是4， 故选：D． 70．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，理解“双减添括操作”的定义是解题的关键．根据题意通过分类讨论的方法，将所有“双减添括操作”列式计算，并求出结果，即可求解． 【详解】解：将其中任意两个加号变为减号，有三种情况： （1）当前两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是2或10或； （2）当第一个和第三个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； （3）当后两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； 综上可知， “双减添括操作”共有12种，运算结果为2，10，，，，共6种． 所以：有一种“双减添括操作”的运算结果是10，故①正确； 不存在任何“双减添括操作”的运算结果是，故②正确； 所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果，故③正确； 正确的个数是3， 故选：D． 71．减去与的和，所得的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，先计算两个数的和，再求与这个和的差即可． 【详解】解：根据题意，列式计算： ． 故答案为：． 72．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，利用加法结合律将每两个连续数字分组，每组结果为，再计算组数求和即可． 【详解】解： 从1到2026共有2026个数字，每两个数字一组，组数为组， 因此原式． 故答案为：． 73．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘法计算，求出这8个数字的和，进而可得横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和，进一步可求出⊙表示的数，则可确定△表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都为， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 74．在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 【答案】10或14 【分析】本题主要考查了整数的加减运算的应用，理解游戏过程以及分类讨论思想是解题的关键． 先分析确定胜负情况，然后运用整数的加减运算求解即可． 【详解】解：小亮出现一次3连胜前进：； 小伟出现一次3连胜和一次4连胜，； 其余10回合为小亮胜6回合或小伟胜5回合， ①当其余10回合小亮胜6回合时，则负4回合，总共负11回合， ∴其余10回合小伟负6回合时，则胜4回合，总共负9回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； ②当其余10回合小亮胜5回合时，则负5回合，总共负12回合， ∴其余10回合小伟负5回合时，则胜5回合，总共负8回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； 综上，游戏结束时两人相距为10或14米． 故答案为：10或14． 75．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记有理数乘方、有理数加减运算及乘法运算法则是解决问题的关键． （1）先化简符号，再计算有理数乘法，最后由有理数减法运算即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算括号里的式子，最后由有理数加法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点七：绝对值与偶次方的非负性 1、绝对值的非负性： 根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。 2、偶次方的非负性： 任何数的偶次方都恒大于等于0。即。 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。 （例题） 【例】．任意数的绝对值一定是（    ） A．正数 B．正数或零 C．负数 D．负数或零 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性作答即可． 【详解】解：任意数的绝对值一定是正数或零． 故选：B． （练习题） 76．如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． 77．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 78．对于任意有理数a和b，满足，对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是（   ） A．②③④ B．③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．先根据绝对值的性质，分四种情况进行讨论，①当，时；②当，时；③当，时，④当，时；就能得到答案． 【详解】解：分四种情况讨论： ①当，时， ，， 则，则，， 故①②③正确； ②当，时，，， 则，则，， 故②③正确； ③当，时，，， 由得，则，， 故③正确； ④当，时，，， 由得，则，， 故③正确 ∴一定成立的是③ 故选：B． 79．若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值，明确题意，利用分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 根据题意，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵为整数， ∴为整数， ∵，且， ∴当时，符合题意， 此时，或， ∴； 当时，符合题意， 此时，或， ∴； 综上，的值为2， 故选：C． 80．代数式的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，先求的最小值，再计算整个表达式的最小值． 【详解】解：∵ ， ∴的最小值为． 故答案为：． 81．若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负性，掌握绝对值和平方的非负性是解决本题的关键． 根据绝对值和平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，． 82．请观察下列算式： ，① ，② ，③ … 探索规律，并根据规律解答以下问题 (1)第n个等式是_______________； (2)计算：； (3)若有理数a、b满足，试求： 的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，绝对值的非负性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据规律可得第个算式； （2）根据规律将各项展开，然后拆项相加互相抵消即可得出结果； （3）先根据绝对值的非负性求得a和b的值，再模仿上述规律将各项展开，拆项相加即可． 【详解】（1）解：， ， ， …， ∴第n个等式是， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 考点八：科学记数法 1、科学记数法定义： 把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学记数法。在中，，为整数。 （例题） 【例】．德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：2404亿． 故选：A ． （练习题） 83．2025年国庆中秋假期，据大数据初步测算，汕头市接待游客450.2万人次，较2024年国庆假期7天增长，数据450.2万用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是科学记数法表示绝对值较大的数，将450.2万转换为整数形式，再根据科学记数法的定义（，其中）进行表示即可． 【详解】解：∵ 1万， ∴ 450.2万 ， ∴ 450.2万用科学记数法表示为， 故选：B． 84．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示是解决本题的关键． 将0.000688毫米转换为米，再将其表示为科学记数法形式（，为整数）即可． 【详解】解：0.000688毫米米米米， 故选：B ． 85．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 86．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，将0.05克每立方厘米转换为千克每立方厘米，需利用单位换算关系，并结合科学记数法表示． 【详解】解：1克（g） 千克（kg）， 因此，， ， 故选：A． 87．水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】25 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零． 故答案为：25． 88．用科学记数法表示的数有 个整数位． 【答案】7 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 89．现有5000张纸，每张厚度为0.1毫米，若将每张纸对折3次，则对折后的5000张纸的厚度为 （用科学记数法表示）毫米． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，先求出对折后的5000张纸的厚度，再根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为： 90．一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【答案】克 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：克克， 故答案为：克． 91．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 92，．科学家研究发现，水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知一个氧原子的质量约为，求一个氢原子的质量． 【答案】；． 【分析】首先把单位化统一，再利用可得水中大约有多少个水分子，再用水的一个分子的质量减去一个氧原子的质量，然后再除以可得一个氢原子的质量． 【详解】解：， ， ． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 考点一：正数和负数 1、正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。 2、正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3、正负号的化简： 同号为正，异号为负。 （例题） 【例】．在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 （练习题） 1．下列各数：，+3.5，0，，，11中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 3．若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．若零上记作，则表示（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 5．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 7．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 8．已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 9.某交警在违规多发地段沿东西方向巡逻．若规定向东行走为正方向，该交警从出发点开始所走的路程（单位：）分别为，，，，，则最后该交警距离出发点（    ） A． B． C． D． 10．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 11．我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上画斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的数是 ． 12．某国有企业年月盈利万元，记作万元，那么月份亏损万元记作 万元． 13．在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 14．如果“节约”记作，那么“浪费”记作 ． 15．如果向南走记为“”，那么向北走可以记为 m． 16．如果，那么 (用“”或“”填空) 考点二：相反数 1、相反数的定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。我们说其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。 2、相反数的性质： 互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔ （列题） 【例】下列各数中，与互为相反数的是（   ） A．3 B． C． D． （练习题） 17．若，是数轴上两点，则点，表示的数互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 18．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 19．下列判断中不正确的是（　　） A．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 B．到原点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．一个数的相反数可能是它本身 20．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 21．若，的相反数为 ． 22．若，则 ． 23．按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 24．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．利用所学的知识解决下列问题： (1)已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由； (2)如果是任意两个不等于0的有理数，且互为相反数，那么与有什么关系？请说明理由． 考点三：绝对值 1、绝对值的定义： 数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。 2、求绝对值： 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。 即或 3、绝对值与相反数： 互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。 绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即，则或。 绝对值等于一个正数的数有两个，他们互为相反数。，则。 （例题）。 【例】．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 （练习题） 26．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是 （    ） A．点 B．点 C．点 D．点 27．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 28．下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 29．下列说法正确的是（   ） A．一个有理数的绝对值一定是正数 B．若一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 30．把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 31．下列说法正确的有（    ）个 ①是绝对值最小的有理数；    ②相反数大于本身的数是负数； ③一个有理数不是正数就是负数； ④两个数比较，绝对值大的反而小； ⑤绝对值等于本身的数是正数；   ⑥是正数，则是负数； A． B． C． D． 32．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 33．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，则a取最大值时，b的值为（    ）． A． B． C． D． 34．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 35．某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 36 ．化简得： 37．在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 38．若为有理数，则的最小值为 ． 39．比较大小： （填“<”“>”或“=”）． 40．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若，则满足条件的整数有 个． 41．在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ． 42．若的最小值是，则为 ． 43．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 44．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 考点四：倒数 1、倒数的定义： 乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。 乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。 （例题） 【例】．有理数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． （练习题） 45．的相反数的倒数是(      ) A． B．3 C． D． 46．下列各组数中，互为倒数的是（ ） A．和1.5 B．和1 C．和 D．0和0 47．，所以（   ） A．是倒数 B．是倒数 C．和都是倒数 D．和互为倒数 48．下列说法中正确的有（   ）个 （1）和的乘积为1，所以和互为倒数 （2），所以，，互为倒数 （3）0的倒数还是0 （4）一个数的倒数一定比这个数小 A．0 B．1 C．2 D．3 49．如果一个正数的倒数比小，一定有(    ) A． B． C． D．不确定 50．若a是的倒数，则 ． 51．的倒数是( )，的倒数是( )． 52．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 53．写出下列各数的倒数： (1)3； (2)； (3)； (4)； (5)0.2； (6)． 考点五：有理数的大小比较 1、定义比较法： 正数大于0，0大于负数。 2、数轴比较法： 数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。 3、其他比较： 同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。 ，则；，则；，则； （例题） 【例】．下列判断错误的是（　　） A．3＞﹣5 B．﹣3＞﹣5 C．﹣2.5＞﹣|﹣2.25| D．＞ （练习题） 54．在下面的四个有理数中，最小的是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 55．已知，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 56．已知，，则、、由小到大的排列顺序是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 57．下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C．0 D．2 58．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 59．比较大小： ．（选填“>”、“<”或“=”） 60．、、三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )． 61．A和B都是大于0的数，并且 则A B．（填“”或“”） 62．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 63．把下列各数填在相应的集合中，并用“”把这些数连接起来. ，，，，， 负整数集合：{                                           …}； 分数集合：{                                             …}. 64．【阅读理解】对于三个数，我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）___________；___________； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数，使，若有，求出的值，若没有，说明理由． 考点六：有理数的运算 1、有理数的加法运算： 同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。 （1） 加法的交换律：；（2）加法的结合律：。 2、有理数的减法运算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。 3、有理数的乘法运算： 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零， （1）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，若负因式有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。 （2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：。 4、有理数的除法运算： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。 5、有理数的乘方运算： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即。在中，为底数，为指数。底数和指数不能同时为0。即无意义。 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当为正奇数时:，与互为相反数。 当为正偶数时: ，与互为相反数。 6、 有理数的混合运算： 先算乘方，再算乘法，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 （例题） 。 【例】．下列算式中与相等的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 65．在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（　　） A．16元 B．14.8元 C．11.5元 D．10.7元 66．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 67．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 68．下列四个算式：设①；④；③；④．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 69．在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 70．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 71．减去与的和，所得的差是 ． 72．计算： ． 73．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则的值为 ． 74．在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 75．计算． (1)； (2)． 考点七：绝对值与偶次方的非负性 1、绝对值的非负性： 根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。 2、偶次方的非负性： 任何数的偶次方都恒大于等于0。即。 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。 （例题） 【例】．任意数的绝对值一定是（    ） A．正数 B．正数或零 C．负数 D．负数或零 （练习题） 76．如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 77．若，则（   ） A． B． C． D． 78．对于任意有理数a和b，满足，对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是（   ） A．②③④ B．③ C．②③ D．③④ 79．若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 80．代数式的最小值等于 ． 81．若，则 ， ． 82．请观察下列算式： ，① ，② ，③ … 探索规律，并根据规律解答以下问题 (1)第n个等式是_______________； (2)计算：； (3)若有理数a、b满足，试求： 的值． 考点八：科学记数法 1、科学记数法定义： 把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学记数法。在中，，为整数。 （例题） 【例】．德阳2020年全市GDP为2404亿元，比上年增长2.5%，将2404亿元用科学记数法表示应为（       ） A． B． C． D． （练习题） 83．2025年国庆中秋假期，据大数据初步测算，汕头市接待游客450.2万人次，较2024年国庆假期7天增长，数据450.2万用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 84．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（    ）米 A． B． C． D． 85．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 86．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 87．水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 88．用科学记数法表示的数有 个整数位． 89．现有5000张纸，每张厚度为0.1毫米，若将每张纸对折3次，则对折后的5000张纸的厚度为 （用科学记数法表示）毫米． 90．一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 91．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 92，．科学家研究发现，水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知一个氧原子的质量约为，求一个氢原子的质量． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $