专题07 解决问题的策略（期末复习-知识回顾+6个高频易错真题讲练+真题拔尖练 共38题）-2025-2026学年苏教版数学五年级上册培优讲练

专题07 解决问题的策略 （知识回顾+6个高频易错真题讲练+真题拔尖练 共38题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点梳理01：排列 1 知识点梳理02：解决问题的策略 1 易错考点讲练 2 易错讲练1 围长方形最大面积问题（表格） 2 易错讲练2 围长方形最大面积或最大周长问题 3 易错讲练3 搭配问题 4 易错讲练4 比赛问题 4 易错讲练5 推理问题 4 易错讲练6 集合问题 5 真题拔尖练20题 6 知识点梳理01：排列 1. 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。 2. 要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。 3. 排列（有顺序）：爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3；(ABC、BAC不同)组合（没有顺序）：5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1；(AB、BA相同) 4.四人互相通电话，总共要通的次数：3+2+1=6次，如果互相写信，总共要写的封数：3×4=12封。 知识点梳理02：解决问题的策略 把满足题目条件的所有可能的情况进行分类，并一一列举出来进行分析、讨论，在此基础上得出问题的解决方法。 在进行分类列举时，分类的标准要明确，类与类之间尽可能避免重复和遗漏，如果类与类之间有重复，在最后统计时，应将重复部分排除。 列举分的应用十分广泛，因而也特别重要。列举时，可以列表，也可以画图，要根据问题的特点，选择合适的列举方法。 易错讲练1 围长方形最大面积问题（表格） 1．（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 2．（21-22五年级上·江苏宿迁·期末）用24根1米长的木条围一个长方形花圃，可以围成多少个不同的长方形？围成长方形面积最大是多少平方米？（用一一列举的策略，把结果填在下表中。） 长/m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 宽/m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 面积/m2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 答：一共有( )种不同的围法，其中面积最大是( )平方米。 3．（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形。有多少种不同的拼法。在下表中列举，并算出它们的周长。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同拼法。 （2）比较它们的长宽和周长，有什么发现？请写下来。 易错讲练2 围长方形最大面积或最大周长问题 4．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 5．（23-24五年级上·江苏·期末）小明用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？这些长方形中周长最长是多少厘米？ （先列表，再回答问题。） 6．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 易错讲练3 搭配问题 7．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 8．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 9．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到( )种不同的环数。 易错讲练4 比赛问题 10．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 11．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 12．（24-25五年级上·陕西西安·期末）某校举行篮球赛，有4支队伍参加，分别是A队、B队、C队和D队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛4场。( )（判断对错） 易错讲练5 推理问题 13．（23-24五年级下·重庆云阳·期末）智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。居民王阿姨收到一条短信，请你根据下面的描述推断出王阿姨的取件码是( )。 取件码由ABCDE五个数字组成，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的偶数。 14．（23-24五年级上·内蒙古通辽·期末）小明、小雪、小丽三个人中，一个人参加了美术小组，一个人参加了合唱小组，一个人参加了剪纸小组。已知小雪参加的不是美术小组，小明参加了合唱小组，他们三个人分别参加了什么小组？ 15．（24-25五年级上·四川成都·期末）三件运动衣上的号码分别是“一、二、三”，甲乙两三个同学各穿一件。现有25个小球。首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定三个同学从剩下的球中各取一次球，其中穿“一号”衣的人取的和他手中的球数同样多，穿“二号”衣的人取他手中球数的3倍，穿“三号”衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下2个球。甲乙丙三人各穿几号运动衣？（请写出主要解答过程） 易错讲练6 集合问题 16．（24-25五年级下·广西贵港·期末）将两块长度分别为90厘米和80厘米的木板排成一条线后，钉在一起，中间重叠部分长30厘米，新钉成的木板长( )厘米。 17．（22-23五年级下·河北保定·期末）五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 18． （22-23五年级下·河北承德·期末）有100位学生回答A、B两题，A、B两题都没有回答对的有10人，有78人答对A题，81人答对B题。有( )人A、B两题都答对。 19． 一、选择题 1．（24-25六年级下·江苏无锡·期末）乐乐同学做一个数学实验：他将4个完全一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D，乐乐把它们放入一个不透明的袋里。每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有（    ）种可能。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）2025年江苏省城市足球联赛（苏超联赛）是由江苏省体育局和13个地级市于2025年5月－11月主办的赛事，此次联赛为期7个月，分为常规赛和淘汰赛两个阶段。常规赛中，13支参赛球队将进行单循环较量（每两支球队都要赛一场），一共要举办（    ）场常规赛？ A．156 B．78 C．85 D．26 3．（22-23五年级上·江苏淮安·期末）次央今年8岁，爸爸今年40岁，再过（    ）年，爸爸的年龄是次央年龄的3倍。 A．4 B．6 C．8 D．10 4．（22-23五年级上·河南平顶山·期末）在下图中，米老鼠从A点到B点走最短路线，一共有（    ）种不同的走法。 A．2 B．4 C．8 D．12 5．（20-21五年级上·江苏苏州·期末）三张不同颜色的彩纸包语文书、数学书、英语书（每张纸只能包－本书），一共有（    ）种不同的包法。 A．10 B．12 C．15 D．6 二、填空题 6．（24-25五年级下·江苏无锡·期末）学校举行羽毛球比赛，32个同学参加双打比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1组选手）进行，那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 7．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）一个盒子里有7个红球和5个白球，从中任意摸一个球，摸到( )球的可能性大；闭上眼睛，至少摸出( )个球，才能保证摸出两种不同颜色的球。 8．（24-25五年级下·江苏南京·期末）有32名选手参加围棋比赛，以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1名选手）进行，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 9．（20-21四年级下·江苏苏州·期末）红色、绿色和蓝色被称为光的三原色。在电子设备中，我们通过调节这三种颜色的亮度表示其他颜色。用三个255以内整数，分别表示红色、绿色和蓝色的亮度，数字越大代表亮度越高。例如：（255，0，0）是指红色；（0，255，0）代表绿色；（0，255，255）表示红光亮度为0、蓝光亮度255、绿光亮度255，合起来就是标准青色；（200，0，150）表示红光亮度200、绿光亮度0、蓝光亮度150，合成的颜色是偏红的紫色。（255，255，255）表示红光亮度255、绿光亮度255、蓝光亮度255，合起来是白色。 现已知红色和绿色可以合成黄色，标准黄色可以由亮度最高的红光和最高的绿光合成，“标准黄色”应表示为( )，“偏红的黄色”可以表示为( )。 三、判断题 10．（20-21六年级下·安徽蚌埠·期末）在八月份里进行五日游，一共有26种不同的日程安排。( ) 11．（21-22五年级上·江苏·单元测试）用2、3、5、0可以写出6个不同的四位数。( ) 四、解答题 12．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，有几种不同的拼法？拼成的长方形的周长最长是多少厘米？ 13．（23-24五年级上·福建宁德·期末）一个文具盒里有3支不同颜色的蜡笔（黄、蓝、绿）和2支不同颜色的签字笔（黑、红）。现从文具盒里任意拿2支笔，一共有多少种不同的拿法？请列举出所有情况（例如：黄黄、黄蓝……），再答题。 14．（21-22五年级上·山西太原·期末）有一个密码锁有两个可以滑动的轮子，第一个轮子上标有A、B、C、D，第二个轮子上标有E、F、G、H。设定一个密码（比如AE），让一个不知道密码的人来开锁，他最多试多少次就可以把锁打开？ 15．（22-23四年级下·江苏淮安·期末）用4块边长10厘米的正方形纸片拼成一个正方形或长方形。 （1）画出拼成的正方形示意图，这个正方形的周长是（    ）厘米。 （2）画出拼成的长方形示意图，这个长方形的周长是（    ）厘米。 16．（21-22五年级上·江苏泰州·期末）泰州火车站是1路和2路公共汽车的起始站，这两路公共汽车都是6时20分开始发车的，1路车每6分钟发一辆车，2路车每10分钟发一辆车，这两路公共汽车从6时20分第一次发车后到几时几分第二次同时发车？几时几分第三次同时发车？将你的思考过程写在下面。 17．（23-24五年级上·广东河源·期末）把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 18．（23-24五年级上·江苏南通·期末）用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 19．（2023六年级下·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁四个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一场比赛，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相等。丁胜了几场？ 20．（23-24四年级上·吉林长春·期末）乐乐乘坐长春地铁—号线由“红嘴子开往北环城路”方向的列车，他想在以下路段选择其中—个站点上车，另外一个站点下车。他共有多少种不同的选法？（列式算一算） 市政府→卫星广场→繁荣路→工农广场→东北师大→解放大路→人民广场→胜利公园 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解决问题的策略 （知识回顾+6个高频易错真题讲练+真题拔尖练 共38题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点梳理01：排列 1 知识点梳理02：解决问题的策略 1 易错考点讲练 2 易错讲练1 围长方形最大面积问题（表格） 2 易错讲练2 围长方形最大面积或最大周长问题 5 易错讲练3 搭配问题 6 易错讲练4 比赛问题 7 易错讲练5 推理问题 9 易错讲练6 集合问题 10 真题拔尖练20题 11 知识点梳理01：排列 1. 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。 2. 要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。 3. 排列（有顺序）：爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3；(ABC、BAC不同)组合（没有顺序）：5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1；(AB、BA相同) 4.四人互相通电话，总共要通的次数：3+2+1=6次，如果互相写信，总共要写的封数：3×4=12封。 知识点梳理02：解决问题的策略 把满足题目条件的所有可能的情况进行分类，并一一列举出来进行分析、讨论，在此基础上得出问题的解决方法。 在进行分类列举时，分类的标准要明确，类与类之间尽可能避免重复和遗漏，如果类与类之间有重复，在最后统计时，应将重复部分排除。 列举分的应用十分广泛，因而也特别重要。列举时，可以列表，也可以画图，要根据问题的特点，选择合适的列举方法。 易错讲练1 围长方形最大面积问题（表格） 1．（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【答案】见详解 【思路引导】因为用15 根1米长的栅栏围一个长方形花圃，一条长边靠墙，所以两个宽＋长＝15米，所以把它写成15＝13＋1×2，15＝11＋2×2，15＝9＋3×2，15＝7＋4×2，15＝5＋5×2，由此得出不同围法下长方形花圃长和宽的长度，进而利用长方形面积公式求出花圃面积。 【规范解答】由分析得： 共有5种不同的围法。列举如下： 【考点剖析】本题主要考查通过列举的方法解决一面靠墙围长方形问题。注意：正方形是特殊的长方形。 2．（21-22五年级上·江苏宿迁·期末）用24根1米长的木条围一个长方形花圃，可以围成多少个不同的长方形？围成长方形面积最大是多少平方米？（用一一列举的策略，把结果填在下表中。） 长/m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 宽/m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 面积/m2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 答：一共有( )种不同的围法，其中面积最大是( )平方米。 【答案】 11 10 9 8 7 1 2 3 4 5 11 20 27 32 35 5 35 【思路引导】由题意得长方形的周长是24米，长与宽的和是：24÷2＝12（米），则组成长方形的长与宽情况有：11米和1米；10米和2米；9米和3米；8米和4米；7米和5米再分别计算出面积，选出面积最大的即可。 【规范解答】根据分析填表如下： 长/m 11 10 9 8 7 宽/m 1 2 3 4 5 面积/m2 11 20 27 32 35 答：一共有5种不同的围法，其中面积最大是35平方米。 【考点剖析】解决本题的关键是将组成的长方形的所有情况列举出来，再计算比较。 3．（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形。有多少种不同的拼法。在下表中列举，并算出它们的周长。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同拼法。 （2）比较它们的长宽和周长，有什么发现？请写下来。 【答案】列举见详解； （1）4； （2）见详解 【思路引导】（1）把24个正方形拼成一个长方形有如下几种方法： ①把这24个正方形一字排开，拼成的长方形的长是1×24＝24厘米，宽是1厘米； ②每行12个，分2行，拼成的长方形的长是1×12＝12厘米，宽是1×2＝2厘米； ③每行8个，分3行，拼成的长方形的长是1×8＝8厘米，宽是1×3＝3厘米； ④每行6个，分4行，拼成的长方形的长是1×6＝6厘米，宽是1×4＝4厘米。 再根据长方形的周长公式C＝（长＋宽）×2，求出拼成的长方形的周长。 （2）通过（1）的情况分析可以看出：24个正方形不论怎么拼，所拼成的长方形的周长随着长与宽的变化也在变化，拼成的长方形的长与宽的差越大，周长就越长，反之周长就越短。 【规范解答】（1）根据分析24个正方形拼成长方形有4种方法，它们的周长如下： ①（24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） ②（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） ③（8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） ④（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 根据以上填表如下： 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 （2）根据表格可以发现：24个正方形不论怎么拼，所拼成的长方形的周长随着长与宽的变化也在变化，拼成的长方形的长与宽的差越大，周长就越长，反之周长就越短。 【考点剖析】此题考查的是图形的拼组问题、注意长方形的周长的计算，并找规律。 易错讲练2 围长方形最大面积或最大周长问题 4．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 【答案】3种；12平方米 【思路引导】根据题意，用14根1米长的木条围－一个长方形，则长方形的周长是14米。已知长方形的周长是14米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2可得到长＋宽＝7米，又因为7＝6＋1＝2＋5＝3＋4，可以围成长6米宽1米、长5米宽2米、长4米宽3米的长方形。长方形面积＝从×宽，把数据代入计算即可。 【规范解答】 答：一共有3种不同的围法，面积最大是12平方米。 【考点剖析】列举法解决问题能做到不重复、不遗漏。 5．（23-24五年级上·江苏·期末）小明用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？这些长方形中周长最长是多少厘米？ （先列表，再回答问题。） 【答案】 5种；74厘米 【思路引导】用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，则长方形的面积是36平方厘米。长方形面积＝长×宽，有36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6，可以拼成长36厘宽1厘米、长18厘米宽2厘米、长12厘米宽3厘米、长9厘米宽4厘米的长方形和边长6厘米的正方形。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可。 【规范解答】 答：有5种不同的拼法，拼成的长方形中周长最长是74厘米。 【考点剖析】正方形是特殊的长方形。 6．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】由于李叔叔买来18根1米长的木条，由此即可知道长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可知道长加宽的和是：18÷2＝9（米），当长是8米，宽为l米；长是7米，宽为2米；长是6米，宽为3米；长是5米，宽为4米；根据长方形的面积公式：长×宽，分别求出几种情况的面积，再和李叔叔的邻居家的长方形花圃的面积比较即可。 【规范解答】1×18＝18（米） 18÷2＝9（米） 长（米） 8 7 6 5 宽（米） 1 2 3 4 面积（平方米） 8 14 18 20 5×4＝20（平方米） 6×3＝18（平方米） 20＞18 答：他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃。 易错讲练3 搭配问题 7．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 【答案】 6 9 【思路引导】每支球队都要与其余的（4－1）支球队比赛一场，共要比赛4×（4－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数； 如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，每场比赛有3种可能，即甲队赢，丁队输；甲队输，丁队赢；甲队平，丁队平。乙队和丙队也是同样的3种可能，甲队和丁队的每种情况都对应乙队和丙队3种情况，共（3×3）种得分情况。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（场） 3×3＝9（种） 每两支球队比赛一场，一共要比赛6场。最后一轮会有9种得分情况 8．（24-25五年级上·江苏无锡·期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有( )个，其中最大的是( )。 【答案】 8 80 【思路引导】从8开始，由大到小，分别做十位数，据此把个位上的数和十位上的数相加得8的两位数写出来，即可得出答案 【规范解答】十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数有：80、71、62、53、44、35、26、17，一共有8个，其中最大的是80。 9．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到( )种不同的环数。 【答案】5 【思路引导】把所有可能的情况，一一列举，进而找出一共几种不同的环数。 【规范解答】①投中2个8环，共得：8＋8＝16（环） ②投中2个6环，共得：6＋6＝12（环） ③投中2个4环，共得：4＋4＝8（环） ④投中1个8环，1个6环，共得：8＋6＝14（环） ⑤投中1个8环，1个4环，共得：8＋4＝12（环） ⑥投中1个6环，1个4环，共得：6＋4＝10（环） 其中②和⑤所得的环数相同，所以有5种不同的环数。 一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到5种不同的环数。 易错讲练4 比赛问题 10．（24-25五年级上·江苏盐城·期末）体育节到了，学校五年级举行足球比赛，一共有6个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．10 B．12 C．15 D．36 【答案】C 【思路引导】每个班都要与其余（6－1）个班比赛一场，共比赛6×（6－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数。 【规范解答】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝15（场） 一共要比赛15场。 故答案为：C 11．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 【答案】C 【思路引导】采用淘汰制，第一轮要赛12÷2＝6场，第二轮要赛6÷2＝3场，第三轮要赛（3－1）÷2＝1场，第四轮要赛（1＋1）÷2＝1场。据此求出总场数即可。 【规范解答】12÷2＝6（场） 6÷2＝3（场） （3－1）÷2 ＝2÷2 ＝1（场） （1＋1）÷2 =2÷2 ＝1（场） 6＋3＋1＋1=11（场） 所以一共要比赛11场。 故答案为：C 【考点剖析】淘汰赛制参赛队数与比赛场数之间的关系为：参赛队数－1＝比赛总场数。 12．（24-25五年级上·陕西西安·期末）某校举行篮球赛，有4支队伍参加，分别是A队、B队、C队和D队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛4场。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】每一支队伍都要和其他三个队伍进行比赛，即每一队伍都要赛3场，共4支队伍，所以一共要赛4×3＝12场，去掉重复的情况，一共要赛12÷2＝6场，据此解答。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 一共要比赛6场。原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查搭配问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况。 易错讲练5 推理问题 13．（23-24五年级下·重庆云阳·期末）智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。居民王阿姨收到一条短信，请你根据下面的描述推断出王阿姨的取件码是( )。 取件码由ABCDE五个数字组成，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的偶数。 【答案】93648 【思路引导】最大的一位数是9；最小的质数是2； 2和3的倍数有6，12，18……其中一位数的倍数只有6；最小的合数是4；能被2整除的数是偶数，比如0，2，4，6，8，10……其中一位数中最大的偶数是8；据此解答。 【规范解答】由分析可得，A是9，B是2＋1＝3，C是6，D是4，E是8，所以王阿姨的取件码是93648。 14．（23-24五年级上·内蒙古通辽·期末）小明、小雪、小丽三个人中，一个人参加了美术小组，一个人参加了合唱小组，一个人参加了剪纸小组。已知小雪参加的不是美术小组，小明参加了合唱小组，他们三个人分别参加了什么小组？ 【答案】小明合唱小组，小雪剪纸小组，小丽美术小组 【思路引导】已知小雪参加的不是美术小组，那么她参加的可能是合唱小组或剪纸小组。可是小明参加了合唱小组，则小雪参加了剪纸小组。所以小丽参加的是美术小组。 【规范解答】通过分析可得：小明参加了合唱小组，小雪参加了剪纸小组，小丽参加了美术小组。 15．（24-25五年级上·四川成都·期末）三件运动衣上的号码分别是“一、二、三”，甲乙两三个同学各穿一件。现有25个小球。首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定三个同学从剩下的球中各取一次球，其中穿“一号”衣的人取的和他手中的球数同样多，穿“二号”衣的人取他手中球数的3倍，穿“三号”衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下2个球。甲乙丙三人各穿几号运动衣？（请写出主要解答过程） 【答案】甲穿的运动衣的号码是2，乙的号码是1，丙的号码是3，过程见详解 【思路引导】先取走了6个球，最后还剩下2个球，那么剩下的17个球就按照“穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍”取球；把17分解成1×a＋3×b＋4×c（abc分别表示1，2，3中的一个）；找出a，再根据a是1的几倍找出他所穿的衣服的号码。 【规范解答】3人自己取走的球数是：25﹣（1＋2＋3）＝19（个） 19﹣2＝17（个） 17＝3×2＋3×1＋4×2 穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲，那么乙的号码是1，丙的号码是3。 答：甲穿的运动衣的号码是2，乙的号码是1，丙的号码是3。 【考点剖析】解决本题关键是把17正确的分解成1、2、3这3个数的2倍、3倍、4倍相加的形式，从中找出甲取走的个数，进而得出甲的运动衣的号码。 易错讲练6 集合问题 16．（24-25五年级下·广西贵港·期末）将两块长度分别为90厘米和80厘米的木板排成一条线后，钉在一起，中间重叠部分长30厘米，新钉成的木板长( )厘米。 【答案】140 【思路引导】两块木板排成1条线后，因为中间重叠部分是30厘米，要求这块钉在一起的木板长度，就要再减去30厘米。依此解答问题即可。 【规范解答】90＋80－30 ＝170－30 ＝140（厘米） 【考点剖析】如果求这块钉在一起的木板长度，就要用“两块木板各自的长度和－重叠部分”计算。 17．（22-23五年级下·河北保定·期末）五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【答案】18人 【思路引导】根据集合问题的解题方法，做对第一题和做对第二题的总人数超过总人数，超过的人数就是两道题都做对的人数，做对第一题的人数＋做对第二题的人数－全班的总人数＝两道题都做对的人数，据此列式解答即可。 【规范解答】36＋30－48＝18（人） 答：两道题都做对的有18人。 18．（22-23五年级下·河北承德·期末）有100位学生回答A、B两题，A、B两题都没有回答对的有10人，有78人答对A题，81人答对B题。有( )人A、B两题都答对。 【答案】69 【思路引导】根据题意可知，有100－10＝90（人）至少回答对了一题。两题都答对的人数即属于答对A题的78人，又属于答对B题的81人，则答对A题与答对B题的人数之和减去至少答对一题的人数即为两题都答对的人数。据此解答。 【规范解答】100－10＝90（人） 78＋81－90 ＝159－90 ＝69（人） 有69人A、B两题都答对。 一、选择题 1．（24-25六年级下·江苏无锡·期末）乐乐同学做一个数学实验：他将4个完全一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D，乐乐把它们放入一个不透明的袋里。每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有（    ）种可能。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】可能出现的情况有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共有6种情况。 【规范解答】根据分析可知，每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有6种可能。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）2025年江苏省城市足球联赛（苏超联赛）是由江苏省体育局和13个地级市于2025年5月－11月主办的赛事，此次联赛为期7个月，分为常规赛和淘汰赛两个阶段。常规赛中，13支参赛球队将进行单循环较量（每两支球队都要赛一场），一共要举办（    ）场常规赛？ A．156 B．78 C．85 D．26 【答案】B 【思路引导】“单循环赛”的规则：每两支队伍之间只比赛一次，且不重复计算。参赛队伍数量为13支，每支队伍都要和其他（13－1）支队伍各比一场，因此初步计算总场数为：13×（13－1），但这样计算时，每一场比赛（如甲队对乙队）会被算两次（甲队算一次，乙队也算一次），所以需要除以2来去除重复计算的部分，即13×（13－1）÷2，计算出结果，即可求出一共要举办多少场常规赛。 【规范解答】13×（13－1）÷2 ＝13×12÷2 ＝78（场） 即一共要举办78场常规赛。 故答案为：B 3．（22-23五年级上·江苏淮安·期末）次央今年8岁，爸爸今年40岁，再过（    ）年，爸爸的年龄是次央年龄的3倍。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】由题意知道次央今年与爸爸的年龄相差（40－8）岁，因为两人的年龄差不会随时间变化，所以再过几年两人的年龄差也是（40－8）岁，又知道爸爸的年龄是次央年龄的3倍，由此根据差倍公式，解决问题。 【规范解答】（40－8）÷（3－1） ＝32÷2 ＝16（岁） 16－8＝8（年） 再过8年，爸爸的年龄是次央年龄的3倍。 故答案为：C。 【考点剖析】本题主要考查差倍问题，明确年龄差不变是解题的关键。 4．（22-23五年级上·河南平顶山·期末）在下图中，米老鼠从A点到B点走最短路线，一共有（    ）种不同的走法。 A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【思路引导】本题利用加法原理的“标数法”，在交叉点上标数解答比较简单。如图： 从A点向右走，走到1处向下走时，走法有A-1-4-7-8-9-B、A-1-4-7-8-10-B、A-1-4-5-8-10-B、A-1-4-7-8-9-B；走到2处向下走时，走法有：A-1-2-5-8-10-B、A-1-2-5-8-9-B； 当从点A向数字3方向往下走时，走法有：A-3-6-7-8-9-B、A-3-6-7-8-10-B、A-3-4-5-8-10-B、A-3-4-5-8-9-B、A-3-4-7-8-10-B、A-3-4-7-8-9-B；据此求解。 【规范解答】米老鼠从A点到B点走最短路线，一共有12种不同的走法。 故答案为：D 【考点剖析】这种类型的最短路程问题，在标数的时候要按顺序标注，不要走“回头路”。 5．（20-21五年级上·江苏苏州·期末）三张不同颜色的彩纸包语文书、数学书、英语书（每张纸只能包－本书），一共有（    ）种不同的包法。 A．10 B．12 C．15 D．6 【答案】D 【思路引导】根据题意，第一张纸可以选择包语文书、数学书、英语书任意一种；3种选择，第二张纸只能在剩下的两本中选择；2种选择，第三张纸只能选择剩下的那一本；1种选择。 【规范解答】3＋2＋1＝6（种） 故答案为：D 【考点剖析】本题利用加法原理，计算即可得出答案。 二、填空题 6．（24-25五年级下·江苏无锡·期末）学校举行羽毛球比赛，32个同学参加双打比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1组选手）进行，那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】15 【思路引导】根据题意，双打比赛每组由2名同学组成，32个同学可组成16组。采用单场淘汰制，每场比赛淘汰1组，产生冠军需淘汰（总组数－1）组，据此得出比赛场次。 【规范解答】总组数：32÷2＝16（组） 需淘汰的组数：16－1＝15（组） 每场淘汰1组，那么一共要进行（15）场比赛才能产生冠军。 7．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）一个盒子里有7个红球和5个白球，从中任意摸一个球，摸到( )球的可能性大；闭上眼睛，至少摸出( )个球，才能保证摸出两种不同颜色的球。 【答案】 红 8 【思路引导】在第一问中，不同颜色的球除数量外，其他都一样，哪一种数量多，摸到哪一种的可能性大。 在第二问中，按最不利情况考虑，计算出最少的数量。 【规范解答】7＞5 所以摸到红球的可能性大。 7＋1＝8（个） 至少摸出8个球，才能保证摸出两种不同颜色的球。 8．（24-25五年级下·江苏南京·期末）有32名选手参加围棋比赛，以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1名选手）进行，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】31 【思路引导】在单场淘汰制中，每场比赛淘汰1名选手，要产生冠军需要淘汰剩余31名选手，因此，比赛总场次为（32－1）场，据此解答。 【规范解答】32－1＝31（场） 所以，一共要进行31场比赛才能产生冠军。 9．（20-21四年级下·江苏苏州·期末）红色、绿色和蓝色被称为光的三原色。在电子设备中，我们通过调节这三种颜色的亮度表示其他颜色。用三个255以内整数，分别表示红色、绿色和蓝色的亮度，数字越大代表亮度越高。例如：（255，0，0）是指红色；（0，255，0）代表绿色；（0，255，255）表示红光亮度为0、蓝光亮度255、绿光亮度255，合起来就是标准青色；（200，0，150）表示红光亮度200、绿光亮度0、蓝光亮度150，合成的颜色是偏红的紫色。（255，255，255）表示红光亮度255、绿光亮度255、蓝光亮度255，合起来是白色。 现已知红色和绿色可以合成黄色，标准黄色可以由亮度最高的红光和最高的绿光合成，“标准黄色”应表示为( )，“偏红的黄色”可以表示为( )。 【答案】 （255，255，0） （255，150，0）（答案不唯一） 【思路引导】根据题意可知，第一个位置的数字代表红色，第二个位置的数字代表绿色，第三个位置的数字代表蓝色，用三个255以内整数，分别表示红色、绿色和蓝色的亮度，数字越大代表亮度越高。“标准黄色”可以由亮度最高的红光和最高的绿光合成，则红光和绿光的亮度都是255，蓝光亮度0，“偏红的黄色”只需要保证红光的亮度大于绿光的亮度且绿光的亮度不能为0即可，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，“标准黄色”表示为（255，255，0）；“偏红的黄色”可以表示为（255，150，0）（答案不唯一）。 【考点剖析】本题主要考查学生分析问题和解决问题的能力，读懂题目信息是解决此题的关键。 三、判断题 10．（20-21六年级下·安徽蚌埠·期末）在八月份里进行五日游，一共有26种不同的日程安排。( ) 【答案】× 【思路引导】根据题意，可以把5天看作一个整体，当做1天，31天减去5天还剩26天，相当于从（26＋1）天，即27天中任选一天，因此有27种安排，据此解答。 【规范解答】由分析可知，在八月份里进行五日游，一共有27种不同的日程安排。原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】此题主要考查了简单的排列组合问题，解题关键是把这五日看作一个整体单做1天来考虑。 11．（21-22五年级上·江苏·单元测试）用2、3、5、0可以写出6个不同的四位数。( ) 【答案】× 【思路引导】写出用2、3、5、0组成的不同的四位数的所有可能，0不能放在首位，据此解答。 【规范解答】2、3、5、0组成的不同的四位有：2035、2053、2350、2305、2530、2503、3025、3052、3250、3205、3520、3502、5023、5032、5230、5203、5320、5302、共18种。 原题干用2、3、5、0可以写出6个不同的四位数，说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查了数的组成，要注意“0”不能放在一个数的最高位。 四、解答题 12．（22-23五年级上·江苏泰州·期末）用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，有几种不同的拼法？拼成的长方形的周长最长是多少厘米？ 【答案】4种；50厘米 【思路引导】根据题意，用24张边长为1厘米的小正方形纸片拼成一个长方形，24可以分解成24×1、12×2、8×3、6×4，所以有4种不同的拼法。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出这4种长方形的周长，再比较，得出最长的周长。 【规范解答】如下表： 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 可以拼成长为24厘米、宽为1厘米，或长为12厘米、宽为2厘米，或长为8厘米、宽为3厘米，或长为6厘米、宽为4厘米的长方形，一共有4种。 （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） （12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 50＞28＞22＞20 答：有4种不同的拼法，拼成的长方形的周长最长是50厘米。 13．（23-24五年级上·福建宁德·期末）一个文具盒里有3支不同颜色的蜡笔（黄、蓝、绿）和2支不同颜色的签字笔（黑、红）。现从文具盒里任意拿2支笔，一共有多少种不同的拿法？请列举出所有情况（例如：黄黄、黄蓝……），再答题。 【答案】10种；列举见详解 【思路引导】只拿蜡笔：先确定一种颜色，用另外两种颜色进行搭配； 只拿签字笔：只有2支不同颜色的签字笔，即只有1种拿法； 拿1支蜡笔和1支钢笔：先确定蜡笔，用钢笔进行搭配，每种颜色的蜡笔都有2种搭配方式。 据此列举出所有情况，解答即可。 【规范解答】2支蜡笔：黄蓝、黄绿、蓝绿，有3种； 2支钢笔：黑红，有1种； 1支蜡笔和1支钢笔：黄黑、黄红：蓝黑、蓝红、绿黑、绿红，有6种。 3＋1＋6＝10（种） 答：一共有10种不同的拿法。 14．（21-22五年级上·山西太原·期末）有一个密码锁有两个可以滑动的轮子，第一个轮子上标有A、B、C、D，第二个轮子上标有E、F、G、H。设定一个密码（比如AE），让一个不知道密码的人来开锁，他最多试多少次就可以把锁打开？ 【答案】16次 【思路引导】因为是两个字母组成密码，所以第一个轮子上的每一个数字都和第二个轮子上的每一个数字组合，每一个数字有4种组合，4个数字有4×4种组合，即最多4×4次可以把锁打开，据此解答。 【规范解答】4×4＝16（次） 答：他最多试16次就可以把锁打开。 15．（22-23四年级下·江苏淮安·期末）用4块边长10厘米的正方形纸片拼成一个正方形或长方形。 （1）画出拼成的正方形示意图，这个正方形的周长是（    ）厘米。 （2）画出拼成的长方形示意图，这个长方形的周长是（    ）厘米。 【答案】（1）图见详解；80； （2）图见详解；100 【思路引导】（1）要将其拼成正方形，一行2个，摆两行，那么这个正方形的边长是2个10厘米，即边长是20厘米，根据正方形周长公式：边长×4，再用20乘4即可求出其周长； （2）把4个正方形摆成一行，即可得到一个宽是10厘米，长是4个10厘米即40厘米的长方形，根据长方形周长公式：（长＋宽）×2，先求出10与40的和，再乘2即为其周长。 【规范解答】（1）拼成的正方形示意图如下： 10×2×4 ＝20×4 ＝80（厘米） 这个正方形的周长是80厘米。 （2）拼成的长方形示意图如下： 10×4＝40（厘米） （10＋40）×2 ＝50×2 ＝100（厘米） 这个长方形的周长是100厘米。 16．（21-22五年级上·江苏泰州·期末）泰州火车站是1路和2路公共汽车的起始站，这两路公共汽车都是6时20分开始发车的，1路车每6分钟发一辆车，2路车每10分钟发一辆车，这两路公共汽车从6时20分第一次发车后到几时几分第二次同时发车？几时几分第三次同时发车？将你的思考过程写在下面。 【答案】6时50分；7时20分；思考过程见详解 【思路引导】首先根据发车时刻＋间隔时间＝下一辆的发车时间，然后用列表的方式将下一辆的发车时刻记录在表格中，最后根据表格中数据找到第一次发车后到几时几分第二次同时发车，得到每隔多少分钟，这两路公共汽车会同时发一次车，再求出几时几分第三次同时发车。据此解答即可。 【规范解答】思考过程： 1路车和2路车的发车时间表整理如下： 1路 6：20 6：26 6：32 6：38 6：44 6：50 … 2 路 6：20 6：30 6：40 6：50 7：00 7：10 … 由表可知，6时50分，这两路公共汽车第二次同时发车，距离第一次同时发车过去30分钟。说明每30分钟，这两路公共汽车会同时发一次车。 所以第三次同时发车的时间是：6时50分＋30分＝7时20分 答：这两路公共汽车从6时20分第一次发车后到6时50分第二次同时发车，7时20分第三次同时发车。 17．（23-24五年级上·广东河源·期末）把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】5种；见详解 【思路引导】先列举出20的所有因数，这些因数就是每盒装月饼的个数，结合“每盒最少2个”的要求，排除每盒装1个的装法，进而得出不同的装法，据此解答。 【规范解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 每盒最少2个，装法有： ①每盒装2个，装10盒； ②每盒装4个，装5盒； ③每盒装5个，装4盒； ④每盒装10个，装2盒； ⑤每盒装20个，装1盒； 一共有5种装法。 答：有5种装法，分别是①每盒装2个，装10盒；②每盒装4个，装5盒；③每盒装5个，装4盒；④每盒装10个，装2盒；⑤每盒装20个，装1盒。 18．（23-24五年级上·江苏南通·期末）用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 【答案】表格见详解 （1）5种；（2）74厘米；24厘米 【思路引导】（1）根据乘法的意义，将36拆分成2个数相乘，也就是36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6，一共有5种不同的拼法，分别是：拼成一排，每排36个小正方形；拼成2排，每排18个小正方形；拼成3排，每排12个小正方形；拼成4排，每排9个小正方形；拼成6排，每排6个小正方形； （2）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，和正方形的周长＝边长×4，分别求出每种情况的周长，然后把周长按照从大到小的顺序排列，就可以得出周长的最大和最小。 【规范解答】（1）36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6 （36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 6×4＝24（厘米） 长/厘米 36 18 12 9 6 宽/厘米 1 2 3 4 6 周长/厘米 74 40 30 26 24 答：一共有5种不同的拼法。 （2）74厘米＞40厘米＞30厘米＞26厘米＞24厘米 答：周长最大是74厘米，最小是24厘米。 19．（2023六年级下·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁四个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一场比赛，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相等。丁胜了几场？ 【答案】0场 【思路引导】甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，即每个人要与其他3人各赛一场，又比赛是在两人之间进行的，所以一共赛了3＋2＋1＝6场，即共有6场比赛：如果甲、乙、丙各胜一场比赛，丁就胜了三场，与甲胜了丁一场相矛盾；如果甲、乙、丙每人胜2场，那么丁胜了0场；据此解答。 【规范解答】共比赛的场数：3＋2＋1＝6（场） 3×2＝6（场） 6－6＝0（场） 答：丁胜了0场。 【考点剖析】首先根据赛制算出比赛的总场数是完成本题的关键，然后据甲、乙、丙三人胜的场数相同及甲胜了丁这两个条件分析推理即可。 20．（23-24四年级上·吉林长春·期末）乐乐乘坐长春地铁—号线由“红嘴子开往北环城路”方向的列车，他想在以下路段选择其中—个站点上车，另外一个站点下车。他共有多少种不同的选法？（列式算一算） 市政府→卫星广场→繁荣路→工农广场→东北师大→解放大路→人民广场→胜利公园 【答案】28种 【思路引导】如果从市政府上车，后面有7个站点可以下车，就有7种选法；如果从卫星广场上车，后面有6个站点可以下车，就有6种选法；如果从繁荣路上车，后面有5个站点可以下车，就有5种选法；……，最后从人民广场上车只能在胜利公园下车，只有1种选法；然后把所有选法相加即可解答。 【规范解答】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝13＋9＋6 ＝28（种） 答：他共有28种不同的选法。 【考点剖析】熟练掌握搭配问题解题方法是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $