精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

郑州外国语学校2025—2026学年高二上学期期中试卷 数 学 （120分钟 150分） 一、单选题（本大题8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，两点可求出线段的中点坐标及斜率，然后利用两直线垂直，从而求解. 【详解】由点，，可得线段的中点， 所以得：线段的斜率为， 所以得：线段垂直平分线的斜率为，解之得：. 故选：C. 2. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 3. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 4. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】直线过原点，可设，则， ； ，， ，. 故选：B. 5. 已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足：到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 故选：C． 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多选题（本大题3个小题，每题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C. 【详解】对于A，可知，即A正确； 对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确； 对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：AC 10. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得 ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 13. 已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 【答案】①双曲线（或②椭圆或③圆） 【解析】 【分析】先把圆化简得出标准方程，由①应用双曲线的定义判断可得轨迹；由②应用椭圆及圆的定义判断可得轨迹； 【详解】由题可得圆． 如图①，当点在圆外时，连接，则，有， 此时点的轨迹是以点为两焦点，实轴长为4的双曲线； 如图②，当点在圆内（除圆心外），连接，则，有， 此时点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为4的椭圆； 当点与圆心重合，此时点为中点， 所以此时点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆． 故答案为：①双曲线. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有， 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1）证明见解析 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 16. 已知直线与抛物线交于两点，. （1）求； （2）设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 【答案】（1）2 （2）32 【解析】 【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案. 【小问1详解】 设， 由，可得， 易得，所以， 则， 即，因为，所以. 【小问2详解】 由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为. 联立，化简可得，则， 设，则， 则， 因为，所以. 17. 已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用和证得平面，最后利用线面垂直性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，结合即可得到相关点的坐标，最后算出平面和平面的法向量，再利用公式即可得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 （1）如图，连接， 由题意易得为的中点，，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，因为，所以是等边三角形， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 所以，故二面角的正弦值为． 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【答案】（1） （2）①；②2 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025—2026学年高二上学期期中试卷 数 学 （120分钟 150分） 一、单选题（本大题8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. 2. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 3. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题3个小题，每题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 13. 已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 16. 已知直线与抛物线交于两点，. （1）求； （2）设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 17. 已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $