第24章 圆 单元测试卷 2025-2026学年沪科版九年级数学下册

第24章 圆 单元测试卷 满分150分 时间120min 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．下列天气图形符号是中心对称图形的是(　　) 2．如果⊙O的直径为8 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，那么点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定 3．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不大于45°”时，首先应假设这个钝角三角形中(　　) A．每一个内角都小于45° B．每一个内角都大于45° C．有一个内角大于45° D．有一个内角小于45° 4．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D、E，连接AD，点E恰好落在线段AD上．若AB＝1，AE＝3，则CE2的值是(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 (第4题) 　　　(第6题) 5．已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是(　　) A．216° B．90° C．135° D．108° 6．如图，⊙O的周长为6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于(　　) A．3 B. C. D．3 7．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC.若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为(　　) A．58° B．42° C．32° D．29° 8．为了测量圆形工件的直径． 甲：如图①，在工作台上用边长相同的两个正方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可； 乙：如图②，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱的半径n和两个圆心之间的距离m即可． 下面的说法正确的是(　　) A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对 9．如图，AB 是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，IO＝1，则AO的长是(　　) A.＋1 B.＋1 C．2 D. 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 ，D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ，当∠ADQ＝90°时，AQ的最大值为(　　) A．2 B. C．5 D. (第10题)　　　(第11题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＝∠COD，AB＝2，则CD＝________. 12．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝100°，则∠ADC＝_____. (第12题)　　(第13题) 13．小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案，如图①.为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图②所示的“太阳”轮廓，那么这个“太阳”轮廓的总长度是________. 14．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，点P是Rt△ABC的内心. (1)点P到边AB的距离为 ________； (2)点Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为 __________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度数. 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1). (1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； (2)画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°所得的△A2B2C1. 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17．如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为圆周长的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，求这个圆锥的高. 18．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，求该正六边形的外接圆与其内切圆所形成的圆环的面积. 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19．如图，在△ABC中，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC. (1)请判断直线AC是不是⊙O的切线，并说明理由； (2)若CD＝2，CA＝4，求⊙O的直径. 20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D. (1)求∠ABC的度数； (2)若⊙O的半径为5，求CD的长． 六、(本题满分12分) 21．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，点M在PA上，连接MO交⊙O于点D. (1)尺规作图：过点P作⊙O的另一条切线PB，切点为B(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若MO∥PB，PA＝9，DM＝2，求⊙O的半径． 七、(本题满分12分) 22．某公司设计制作一款摇椅，图①为效果图，图②为其侧面示意图，其中FC为椅背，EC为坐垫，C，D，A，B为焊接点，连接AB，且CD与AB平行，支架AC，BD所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O.已知A，B两点间的距离为70 cm，C，D两点间的距离为50 cm，A，C两点间的距离为25 cm.经研究，当∠OCF＝53°时，舒适感最佳．为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时(如图③)，点F比点E在竖直方向上至少高出10 cm.在舒适感最佳的情况下，若椅背FC与坐垫EC的长均为60 cm，试判断此设计是否合理，并说明理由．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3) 八、(本题满分14分) 23．【问题提出】 (1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，D是△ABC外一点，且AD＝AC.以点A为圆心，AB长为半径作圆，则∠BDC的度数为________； 【问题探究】 (2)如图②，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是边AB的中点，F是边BC上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连接B′C，求线段B′C长度的最小值； 【问题拓展】 (3)如图③，在正方形ABCD中，AB＝10，动点M，N分别在边BC，CD上移动，且满足CM＝DN.连接AN和DM，交于点O.当点N从点D开始运动到点C时，点O也随之运动，直接写出点O的运动路径长． 参考答案 一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.A 6.C　点拨：设⊙O的半径为R，则2πR＝6π，∴R＝3. 连接OC和OD，则OC＝OD＝3. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝＝60°，∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝OC＝3. 又∵OG⊥CD，∴CG＝CD＝， ∴OG＝＝＝. 7.C　8.D　9.D　10.D 二、11.2　12.130°　13.50π 14.（1）2　（2）　点拨：（1）如图，连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F. 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10， ∴BC＝＝8. ∵点P是Rt△ABC的内心，∴PD＝PE＝PF. ∵S△ABC＝BC·AB＝×8×6＝24，∴×PD×6＋×PE×8＋×PF×10＝24，∴PD＝2，∴点P到边AB的距离为2. （2）由（1）知PD＝PE＝PF＝2， ∴易得四边形BEPD是正方形，∴BD＝2. ∵AB＝6，∴AD＝4. ∵点P是Rt△ABC的内心， ∴易得AF＝AD＝4. ∵点Q是Rt△ABC的外心， ∴AQ＝AC＝5，∴FQ＝1， 在Rt△FPQ中，根据勾股定理得PQ＝＝＝. 三、15.解：连接BC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝∠ADC＝26°， ∴∠CAB＝90°－26°＝64°. 16.解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所作，其中点C1的坐标为（－2，－1）. （2）如图所示，△A2B2C1即为所作. 四、17.解：∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为圆周长的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长为＝8π（cm）. ∵圆锥底面圆的周长等于留下的扇形弧长， ∴圆锥底面圆的半径为＝4（cm）， ∴圆锥的高为＝3（cm）. 18.解：连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M，如图所示. 易得∠AOB＝＝60°， ∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2，∴AM＝AB＝1， ∴OM＝＝， 即正六边形外接圆的半径为2，内切圆的半径为， ∴圆环的面积＝π[22－（）2]＝π. 五、19.解：（1）直线AC是⊙O的切线.理由如下： 如图，连接OA. ∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°， ∴∠OAB＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC. 又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠OAB＝∠CAD， ∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∴OA⊥AC. 又∵OA是⊙O的半径，∴直线AC是⊙O的切线. （2）由（1）知OA⊥AC，在Rt△OAC中，由勾股定理，得OC2＝AC2＋OA2， 设OA＝OD＝x，则OC＝OD＋CD＝x＋2， ∴（x＋2）2＝42＋x2，∴x＝3，∴OA＝3， ∴BD＝2OA＝6，∴⊙O的直径为6. 20.解：（1）如图，连接AC， ∵＝，∠BEC＝30°， ∴∠BAC＝∠BEC＝30°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°. （2）∵⊙O的半径为5，∴AB＝10， 在Rt△ACB中，∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝5. ∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴CF＝FD＝CD. 在Rt△CBF中，∠FBC＝60°， ∴∠FCB＝30°，∴FB＝BC＝， ∴FC＝＝， ∴CD＝2FC＝5 . 六、21.解：（1）如图所示，PB即为所求. （2）如图所示，连接OA. ∵MO∥PB，∴∠MOP＝∠BPO. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠APO＝∠BPO，OA⊥PA， ∴∠MPO＝∠MOP，∴OM＝PM， 设⊙O的半径是r， 则PM＝OM＝OD＋DM＝r＋2， ∴AM＝PA－PM＝9－（r＋2）＝7－r. 在Rt△AOM中，AO2＋AM2＝OM2， ∴r2＋（7－r）2＝（r＋2）2，解得r＝3或r＝15（舍去）， ∴⊙O的半径是3. 七、22.解：此设计合理，理由如下： 过点O作OG⊥AB于点G，如图①， 设OA＝OB＝r cm， ∵OG⊥AB，∴AG＝AB＝35 cm. ∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∠OAB＝∠OCE， ∴＝，∴＝， ∴r＝87.5，∴OA＝OB＝87.5 cm， ∴cos∠OCE＝cos∠OAB＝＝＝0.4， 过点F作FP⊥OA于点P，过点E作EQ⊥OA于点Q，如图②，则PF∥QE， ∵摇椅后摇至底座与地面相切于点A， ∴OA垂直于地面，∴PF、QE平行于地面， 在Rt△CEQ中，CQ＝CE·cos∠OCE＝60×0.4＝24（cm）， 在Rt△CPF中，CP＝CF·cos∠OCF＝CF·cos 53°≈60×0.6＝36（cm）， ∴PQ＝CP－CQ≈36－24＝12（cm）， ∴点F比点E在竖直方向上高出12 cm，大于10 cm， ∴此设计合理. 八、23.解：（1）24° （2）如图①，连接AC，CE， ∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴BC＝AB＝4. ∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形. ∵E是边AB的中点，∴BE＝AE＝2，CE⊥AB， ∴CE＝＝2 ， 由折叠的性质可得，BE＝B′E＝2， ∴点B′在以点E为圆心，半径为2的圆上，作出该圆. ∵B′C≥CE－B′E， ∴当B′，C，E三点共线时，B′C长度最小，为CE－B′E＝2 －2. （3）点O的运动路径长为.　点拨：如图②，连接AC，BD交于点P，取AD的中点E，连接EP，OE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝10， AP＝DP. ∵CM＝DN，∴△ADN≌△DCM， ∴∠CDM＝∠DAN， ∴∠CDM＋∠DNA＝∠DAN＋∠AND＝90°， ∴∠AOD＝90°. ∵E为AD的中点， ∴OE＝AD＝AE＝DE＝5， ∴点O在以E为圆心，半径为5的圆上运动，点A，D，O三点共圆，画出该圆， 当点N运动到点C时，则点M与点B重合，此时点O与点P重合， ∴点O的运动路径为. ∵AP＝DP，E为AD的中点， ∴PE⊥AD，∴∠DEP＝90°， ∴的长为×5＝，即点O的运动路径长为. 学科网（北京）股份有限公司 $