专题04 直线与圆的位置关系十二大题型总结（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题04 直线与圆的位置关系十二大题型总结 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线与圆的位置关系 1 题型二、已知位置关系求半径取值 3 题型三、已知直线与圆的位置关系求距离 4 题型四、求平移圆与直线相切时的距离 6 题型五、切线的判断 9 题型六、切线的证明与计算 11 题型七、切线的性质定理 12 题型八、切线长的求解与证明 15 题型九、切线的画法 16 题型十、圆与三角形综合 18 题型十一、圆与四边形综合 19 题型十二、圆与函数综合 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线与圆的位置关系 1．(24-25九上·江苏扬州江都区·期中)半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．(24-25九上·浙江金华东阳·期末)如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 5．(24-25九上·福建泉州泉州科技中学·期中)在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 6．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是 ． 7．(24-25九上·江苏连云港赣榆区·期中)如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 8．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 9．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 题型二、已知位置关系求半径取值 10．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 12．(23-24九下·上海宝山区·期中)如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 14．已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相离，则的半径可以是 ． 15．(24-25九上·江苏宿迁·期中)如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    题型三、已知直线与圆的位置关系求距离 16．(2024·河南省许昌市·二模)如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．(23-24九上·广东广州增城区·期中)已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 18．平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 20．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 21．(22-23九上·辽宁大连金普新区·期中)已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 22．(22-23九下·江苏泰州靖江·期中)若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ． 23．如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 24．已知的半径为10，直线AB与相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 ． 25．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 题型四、求平移圆与直线相切时的距离 26．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 27．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 29．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 30．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 31．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 32．如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 33．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．    34．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 35．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 36．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧. （1）直接写出圆弧所在圆的圆心P的坐标 （2）画出图形：过点B的一条直线l，使它与该圆弧相切； （3）连接AC，求线段AC和弧AC之间图形的面积． 题型五、切线的判断 37．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 38．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 39．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 40．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ． 41．(22-23九上·河南濮阳华龙区油田第十中学·)已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 42．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    题型六、切线的证明与计算 43．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 44．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 45．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长． 46．(25-26九上·广东深圳多校联考·期中)如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，求的长； (3)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形． 47．如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 题型七、切线的性质定理 48．如图，是的直径，点D在的延长线上，是的切线，若，则（　　） A．6 B．4 C． D．3 49．(24-25九·湖北十堰郧阳区柳陂镇柳陂中学·期中)如图，是的直径，P是延长线上一点，切于点A，如果，，那么线段的长等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 50．(24-25九下·陕西咸阳·期中)如图，是的直径，点、均在上，连接、，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 51．(25-26九·江苏南京·期中)如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为 ． 52．如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 53．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 54．(25-26九上·河南信阳百师联盟·期中)如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． (1)求证：； (2)连接，若，求半径和的长． 55．(25-26九上·江苏扬州邗江中学（集团）北区维扬中学·月考)【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 56．如图，是的外接圆，是的切线，切点为F，，连结交于E，的平分线交于D，连结． (1)证明：平分； (2)证明：． 题型八、切线长的求解与证明 57．(24-25九上·福建莆田仙游县第四教研片区·期中)如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 58．(23-24九下·湖北武汉解放中学·)如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C． (1)求证： (2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径． 59．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期中)如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，求的长． 60．(24-25九下·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 61．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 62．(24-25九上·云南昆明第十二中学教育集团·期中)如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 题型九、切线的画法 63．(24-25九下·江苏丹阳华南学校·期中)数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 64．(24-25九下·黑龙江绥化第八中学校·期中)已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 65．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ，平分， （         ①         ）（填推理的依据）． 为的直径，，在上， （      ②         ）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（         ③         ）（填推理的依据）． 66．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接；②作的垂直平分线，交于点A；③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：直线为所求作的一条切线． 题型十、圆与三角形综合 67．(24-25九下·四川泸州龙马高中·月考)已知：如图，在中，，，是的直径，于点． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的面积． 68．(24-25九下·福建泉州第一中学·期中)如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． (1)求证：． (2)若，求证：B，O，E三点共线． (3)如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 69．(24-25九上·江苏无锡锡山区锡北片·期中)如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 题型十一、圆与四边形综合 70．(24-25九上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图2，若为的直径，求线段的长度； (4)若，求线段的长度． 71．(23-24九上·江苏淮安涟水县·期中)在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 72．(23-24九上·浙江温州鹿城区第八中学·期中)如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 题型十二、圆与函数综合 73．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围； (3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 74．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 1．(2025·江苏省镇江市·模拟)如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 2．如图，与的边相切于点C，与分别交于点D，E，连接，，是的直径，连接，平分，过点C作交于点 G，连接与交于点F． (1)求证：直线与相切； (2)求证：； (3)若，求的半径． 3．(2025·四川省成都市·)如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 4．(2025·云南省临沧市·模拟)如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 5．(2025·山东省泰安市·模拟)如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5， ，求的长． 6．已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 7．(24-25九下·北京十一学校龙樾实验中学·)对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 8．(2025·广东省清远市·模拟)【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 9．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 10．综合与实践 在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学活动． 在正方形中，E为边上一点点E与点B，C不重合，，且交正方形外角的平分线于点 (1)如图①，若E为的中点，猜想与的数量关系为______．证明此猜想时，可取的中点G，连接易证． (2)如图②，若E为上任一点，上述结论是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展： 如图③，连接，交于点M，连接，则与之间存在的等量关系为______． (4)连接，若正方形的边长为，则的最小值为______． 11．【问题发现】 （1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________； 【探究猜想】 （2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明； 【探究应用】 （3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆的位置关系十二大题型总结 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线与圆的位置关系 1 题型二、已知位置关系求半径取值 8 题型三、已知直线与圆的位置关系求距离 13 题型四、求平移圆与直线相切时的距离 20 题型五、切线的判断 33 题型六、切线的证明与计算 38 题型七、切线的性质定理 46 题型八、切线长的求解与证明 56 题型九、切线的画法 63 题型十、圆与三角形综合 67 题型十一、圆与四边形综合 76 题型十二、圆与函数综合 86 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线与圆的位置关系 1．(24-25九上·江苏扬州江都区·期中)半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 2．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案． 【详解】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根， ∴， ∴， ∴直线l与圆相交， 故选：C． 3．(24-25九上·浙江金华东阳·期末)如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 5．(24-25九上·福建泉州泉州科技中学·期中)在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，由题意可求到y轴的距离d为3，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 6．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，再用面积法求出的长，考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 【详解】解：过点C作于点D， ∵在中，， ， ， ， 如图，当与相切时， 则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时， 则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 7．(24-25九上·江苏连云港赣榆区·期中)如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是是解题的关键． （1）先利用全等三角形判定定理推出，得到，从而得到，再利用平行线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用圆周角定理得到，结合和三线合一性质得到即可解答． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切． （2）解：如图，连接， 由（1）中的结论得， 在中，， ， ， 在中，， 是的直径， ，即， 又， ， 的长为． 8．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线l与相交，理由见解析 【分析】本题主经考查了网络作图．熟练掌握垂径定理，勾股定理，直线和圆的位置关系，是解题的关键． （1）根据垂径定理推论，得弦的垂直平分线相交于一点M，点M即为圆心； （2）根据垂直x轴，求出的长，比较即得． 【详解】（1）解：如图， 经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为． 故答案为：． （2）解：直线l与相交，理由： 连接， ∵直线l经过点，且平行于y轴， ∴直线l交x轴于点，， ∴， ∵， ， ∴， 故直线l与相交． 9．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 题型二、已知位置关系求半径取值 10．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 11．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 12．(23-24九下·上海宝山区·期中)如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 13．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 14．已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相离，则的半径可以是 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决问题的关键． 因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵的圆心到直线l的距离d是一元二次方程的一个根， ∴， ∵与直线l相离， ∴的半径， 即， ∴的半径可以是3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 15．(24-25九上·江苏宿迁·期中)如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论． 【详解】解：当与相切时，如图，   ， 又∵，且， 是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴； 当经过点A时，如图，    此时r取最大值，最大值为4， 综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围． 故答案为：． 题型三、已知直线与圆的位置关系求距离 16．(2024·河南省许昌市·二模)如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 17．(23-24九上·广东广州增城区·期中)已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可． 【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 18．平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论． 【详解】解：的半径为3，若直线与相离， 圆心到直线的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可． 【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接． ，，半径为2， ，， 根据勾股定理得：， 点在直线上， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 的圆心是， ． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°． 20．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　） A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0 【答案】D 【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点， ∴当P′C与圆相切时，切点为C， ∴OC⊥P′C， CO＝3，∠P′OC＝45°， OP′＝3， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3， 同理可得： 过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0， 综上所述：﹣3≤x≤3，且x≠0． 故选D． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 21．(22-23九上·辽宁大连金普新区·期中)已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 22．(22-23九下·江苏泰州靖江·期中)若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论． 【解答】解：， ∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线， 在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交， ∴， ∵抛物线开口向上，， ∴当，时，， 当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到． ． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围． 23．如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 5 【分析】（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 24．已知的半径为10，直线AB与相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交， ∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径， 即0≤d＜10； 故答案为：0≤d＜10． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数． 25．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线过点结束（不包括直线l过点．当直线l和半圆相切于点时，根据直线l的解析式知直线l与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线l过点A或点时，直接根据待定系数法求得的值即可． 【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线l过点结束（不包括直线l过点， ∵直线l的解析式为y＝x+t， ∴直线l与轴所形成的锐角是， 过点C作CD⊥x轴于点D，则． 当直线l和半圆相切于点时，则垂直于直线l，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即点，， 把点的坐标代入直线解析式，得， 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得； 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得． 即当或时，直线l和半圆只有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键． 题型四、求平移圆与直线相切时的距离 26．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 27．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【分析】平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 29．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【答案】D 【详解】试题分析：连接OA，如图： ∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D． 考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系． 30．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 31．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 【答案】 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差． 32．如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 【答案】3或5 【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间． 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==5（秒）． 故答案为3或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 33．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．    【答案】32 【分析】连接OP，根据题意得：当OP经过点C时，OP最长；结合C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切，根据勾股定理和圆的半径性质，计算得OP；在通过直角三角形斜边中线的性质，即可得到AB的最大值． 【详解】连接OP    当OP经过点C时，OP最长 ∵C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切 ∴， ∴ ∵OA＝OB，∠APB＝90° ∴OP是斜边上的中线 ∴，即OP取最大值时，AB最大 ∴ 故答案为：32． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线、圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线、圆、勾股定理的性质，从而完成求解． 34．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 【答案】（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为或；（4） 【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC＝OD可判断四边形OCPD为正方形； （2）利用正方形的性质得，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论； （3）利用直线y1＝﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1＝kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±； （4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO＝45°，然后讨论：当圆移动到点O1时与直线AB相切，作O1M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O1M＝，利用等腰直角三角形的性质得求出O1与O'2的坐标，于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围． 【详解】解：（1）四边形OCPD为正方形． 理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD， 又PC⊥PD， ∴四边形OCPD为矩形， 又OC＝OD， ∴四边形OCPD为正方形． （2）连接OP， 为正方形， ， 在直线上， 设， 由得：， 解得：或． 点坐标为或． （3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3， 分得的劣弧是圆周的， 直线AB与x轴夹角为，， ， 当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是与坐标轴的交点， 当AB平移到位置时，； 当AB平移到位置时，， 的值为或． （4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O1处，⊙O2处与直线y＝﹣x+6相切， 则圆在O落在O1，O2之间均满足题意， 在处相切时，为等腰直角三角形， ，． ，同理，在处相切时，， ， 当与直线有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为． 【点睛】此题是圆的综合题：涉及了正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 35．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）线段AC的长度是　 　． （2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5． 【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可； （2）连接PF，如图3，利用平行四边形的性质和切线的性质可得PF∥AC，进而可证明△DPF∽△DAC，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即得AP的长； （3）先利用平行四边形的面积求出当⊙P与BC相切时圆的半径，可发现此时⊙P与平行四边形ABCD的边有5个公共点；再分两种情况：①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，分别求出即可得到答案． 【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， ∵AB⊥AC， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 故答案为：8； （2）如图3所示，连接PF，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x， ∵⊙P与边CD相切于点F， ∴PF⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴AC∥PF， ∴△DPF∽△DAC， ∴，即， 解得：x＝， 即AP＝； （3）当⊙P与BC相切时，设切点为G，连接PG，如图4，则S▱ABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为5； ①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，与BC没有公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4； ②当⊙P过点A、C、D三点，如图5，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5， 综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5， 故答案为：＜AP＜或AP＝5． 【点睛】本题是平行四边形和圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、善于动中取静、灵活应用运动变化的观点和数形结合的思想方法是解题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧. （1）直接写出圆弧所在圆的圆心P的坐标 （2）画出图形：过点B的一条直线l，使它与该圆弧相切； （3）连接AC，求线段AC和弧AC之间图形的面积． 【答案】（1）P(2，0) ；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接BC，作BC的垂直平分线，交坐标轴于点P，P即为所求； （2）先连接BP，再过点B作BP的垂线即为所求过点B且与该弧相切的直线； （3）首先得出，进而利用扇形面积以及三角形面积公式求出即可． 【详解】解：（1）连接BC，作BC的垂直平分线，再利用网格得出AB的垂直平分线，即可得出交点P的位置； P(2，0)； （2）如图所示，EF即为所求； （3）连接AP，PC，AC 是直角三角形 S扇形APC=， 线段AC和弧AC之间图形的面积． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图以及等腰直角三角形的判定和扇形面积与三角形面积的求法，解题的关键是确定点P的位置． 题型五、切线的判断 37．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 38．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长即可. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵，，， ∴， ∵S△ABC， ∴， 则以C为圆心CD为半径作与AB相切. 故选D.    【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 39．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 40．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ． 【答案】1或5/5或1 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为1或5． 41．(22-23九上·河南濮阳华龙区油田第十中学·)已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 42．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    【答案】(1)见解析；(2) 【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线； (2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径．    【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型六、切线的证明与计算 43．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由圆周角定理可知，等量代换得，由得，进而得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）得，可得，由得，由等边对等角可得，由余角性质得，由对顶角相等得，等量代换得，等角对等边即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2）证明： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的判定及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 44．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理可证为的中位线，再根据中位线的性质可得，即可得证； （2）根据证明，再根据勾股定理求得，再根据等面积法即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的直径，C是的中点， ， ， 为的中位线， ， ， 是的切线； （2）解：E是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 为直径，   ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形的中位线，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 45．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 46．(25-26九上·广东深圳多校联考·期中)如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，求的长； (3)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)直线为的切线，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。 （1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可； （3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证． 【详解】（1）直线为的切线，理由如下： 如图1，连接， ∵是的直径， ， ， ∵， ， ， ∴，即， ∵是的半径， 直线为的切线； （2）为切线， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ∵， ∴； （3）如图2，连接， 由题意得：，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， 为切线， ， ， 四边形为平行四边形， ∵、为切线， ∴， 四边形为菱形． 47．如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，折叠的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线的判定方法，含的直角三角形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）连接，得，根据折叠可得，，可证，在中，，即，根据切线定义即可求解； （2）根据题意可得，，由折叠的性质可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，设，则，运用勾股定理可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 证明：连接， ， ， 图形沿过点的直线翻折，点的对应点落在边上， ， ， ， 又在中，， ，即， 又经过半径的外端， 与⊙O相切； （2）解：在中，， ， ∴， ∴，， ∵将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴半径为． 题型七、切线的性质定理 48．如图，是的直径，点D在的延长线上，是的切线，若，则（　　） A．6 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，由切线的性质得到，进一步证明，即可得到． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 49．(24-25九·湖北十堰郧阳区柳陂镇柳陂中学·期中)如图，是的直径，P是延长线上一点，切于点A，如果，，那么线段的长等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答此题的关键．连接．根据切线的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理来求该圆的半径，则易求直径的长度． 【详解】解：设该圆的半径为，如图，连接， ∵切于点A， ∴，即， 又∵，， ∴在直角中，利用勾股定理得到：，即， 则， ∴的直径， 故选：D． 50．(24-25九下·陕西咸阳·期中)如图，是的直径，点、均在上，连接、，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质是解答的关键．连接，根据切线性质得到，再利用圆周角定理得到，进而根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． ∴， 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即 ∵ ∴， ∴， 故选：C． 51．(25-26九·江苏南京·期中)如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 52．如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 53．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 54．(25-26九上·河南信阳百师联盟·期中)如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． (1)求证：； (2)连接，若，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为的长为 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确判定相似三角形的对应角与对应边，利用切线性质和圆周角关系构建等量关系． （1）核心是通过证，结合外角定理和圆周角相等证，进而得垂直； （2）核心是先由勾股定理求，再通过两组对应角相等证，代入数据求半径和． 【详解】（1）证明：连接、 ∵、、均为的半径， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵是的切线，是半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 即． （2）解：∵ ∴在中，由勾股定理得： ． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 又∵， ∴（均为直角）． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴． ∵，设半径为，则 ①求半径：代入得：， 化简得：， 即， ②求：代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的半径为的长为． 55．(25-26九上·江苏扬州邗江中学（集团）北区维扬中学·月考)【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相切，理由见解析；（4） 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1），，， 在中，， ∴， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接，则线段中点为， 以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示： （3）与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， ∴， 化简得：， 同理可得：． ∴m、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 56．如图，是的外接圆，是的切线，切点为F，，连结交于E，的平分线交于D，连结． (1)证明：平分； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连结，由是的切线，可得 ，由，可得垂直平分，根据垂径定理可得，根据圆周角性质可得即可； （2）根据的平分线，可得，可证，可得． 【详解】（1）证明：连结， ∵是的切线， ∴， ∵ ， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴平分， （2）证明：如图， ∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解题的关键． 题型八、切线长的求解与证明 57．(24-25九上·福建莆田仙游县第四教研片区·期中)如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，熟知切线长定理内容是解题关键．由切线长定理可知，，，进而可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 58．(23-24九下·湖北武汉解放中学·)如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C． (1)求证： (2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆和切线性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识； （1）连接并延长，交于点E，根据外接圆和切线性质得到，推出，利用三角形的内角和定理即可证出； （2）由（1）得，根据相似性质得，计算得到，在中，由勾股定理，得，连接，在中，由勾股定理，得 ，代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E． ∵是的外接圆，， 所以． 又∵是的切线， ∴，． 所以． 所以， ∴ ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 所以． 因为， 所以， 在中，由勾股定理，得， 连接， 设的半径为r，则 所以 在中，由勾股定理， 得 ， 所以 解得 ∴半径为． 59．(24-25九上·陕西渭南大荔县·期中)如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，由内切圆分别与、、相切于点、、，则，，，然后由勾股定理即可求解，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：∵内切圆分别与、、相切于点、、， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍）或， ∴的长为． 60．(24-25九下·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 61．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （）根据切线的性质得到，在中，设，根据和勾股定理列方程即可得到结论； 本题考查了切线的判定，切线长定理，角平分线的性质定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴与相切， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设， 则，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 62．(24-25九上·云南昆明第十二中学教育集团·期中)如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，根据等边对等角得出，结合已知可得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据切线的判定和切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴是的切线， 又是的切线， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， 即． 题型九、切线的画法 63．(24-25九下·江苏丹阳华南学校·期中)数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角为直角 【分析】本题考查了作圆的切线，圆周角定理，切线的判定． （1）①连接，分别以O，P为圆心，以大于长为半径作弧，两弧分别交于C，D两点（点C，D分别位于直线的上下两侧）；②作直线交于点M；③以点M为圆心，为半径作，交于点Q；④连接，则直线即为所求； （2）由作图知是的内接三角形，且是的直径，则，即，得到是的切线，即可得出作图的依据． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求的切线． （2）解：由作图知是的内接三角形，且是的直径， 则，即， 是的半径， 是的切线， 故作图的依据是：直径所对的圆周角为直角． 64．(24-25九下·黑龙江绥化第八中学校·期中)已知：点是外一点． (1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或． 【分析】本题考查了作图——过圆外一点作圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点；以点为圆心，长为半径作，与的交点为、，则、即为所求作切线； （2）连接、，由圆内接四边形对角互补，得到，再根据点的位置分两种情况求解，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图，连接、， 四边形内接于，， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上可知，的度数为或． 65．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ，平分， （         ①         ）（填推理的依据）． 为的直径，，在上， （      ②         ）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（         ③         ）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析； (2)等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；②作的角平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；④作直线，，则直线，为的切线； （2）连接，，根据等腰三角形的性质得到，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，， ∴直线，为的切线，如图： （2）证明：连接，， ，平分， （等腰三角形三线合一）， 为的直径，，在上， （直径所对的圆周角是直角）， 半径，半径， 直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）， 故答案为：等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 66．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接；②作的垂直平分线，交于点A；③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：直线为所求作的一条切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作圆的切线，切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）根据要求作图即可； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据是的半径，且，得出为所求作的一条切线． 【详解】（1）解：如图，补全图形： （2）证明：连接， ∵，且为的半径， ∴为的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线为的切线． 题型十、圆与三角形综合 67．(24-25九下·四川泸州龙马高中·月考)已知：如图，在中，，，是的直径，于点． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)3 (3) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，连接，证明得到，进而推出，由此即可证明是的切线； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，进而推出，证明，得到，，解直角三角形求出，根据勾股定理即可得到结论； （3）连接，过点作于，设圆的半径为，则，利用勾股定理求出，则，证明，求出，解直角三角形得到，进而利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2）解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 在中，， ， 是的直径，， ， ， ， ； （3）解：， ； 如图，连接，过点作于， 设圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ，， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 68．(24-25九下·福建泉州第一中学·期中)如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． (1)求证：． (2)若，求证：B，O，E三点共线． (3)如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得，即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得 ， ，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正方形的判定方法得 菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形内接于， ∴， ∵， ， ，           平分， ， ， ， ， ． （2）证明：连接， 由(1)得， ， ， ． 是的直径， ∴B，O，E三点共线． （3）解：连接，，过点作于点． 由(1)得， ， ． ， ， ， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ． 点A、C、D、E在上， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ． 是的直径， 的半径是5． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等；掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 69．(24-25九上·江苏无锡锡山区锡北片·期中)如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 题型十一、圆与四边形综合 70．(24-25九上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图2，若为的直径，求线段的长度； (4)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由三角形内心的性质得出，．根据圆周角定理的推论得出，从而得出，最后根据三角形外角性质可求出，即可证是等腰三角形； （2）证明，得出，结合（1）即得出； （3）由直径所对圆周角为直角结合勾股定理可得，．由是的内心，易证，即得出，代入数据即得出．再证明，即得出，即，代入数据即可求出的长； （4）过点B作于点G，连接，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出．再证明四边形为菱形，即得出，，从而可求出．结合（3）知，，即得出，，从而即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为的直径， ∴， ∴，． ∵是的内心， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 解得：； （4）解：如图，过点B作于点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵是的内心，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴． 由（3）可知，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（舍去负值，且验算正确）． 【点睛】本题考查三角形外接圆和内切圆的性质，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 71．(23-24九上·江苏淮安涟水县·期中)在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解． （2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解． （3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 与对角线相切于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的半径． （2）过点作并延长，交于，交于，如图： 由（1）得：，， ， 四边形是矩形，且， ， 当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值， ． （3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由： 由（1）得， ①在的左侧时，设与相切于点， 连接，，如图： 由题意得：，， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ②在的右侧侧时， 设与相切于点，连接，，如图： 由题意得： ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 综上所述，t的值为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 72．(23-24九上·浙江温州鹿城区第八中学·期中)如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理了，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． （1）利用矩形的性质，平行线的性质，圆周角定理解答即可； （2）利用矩形的性质和圆周角定理的推论得到为圆的直径，再利用垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）利用等腰三角形的性质和分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，利用等腰三角形的性质，对顶角的性质，圆周角定理得到，利用（2）的结论求得边上的高，再利用三角形的面积公式解答即可；②当时，过点作于点，利用①的方法解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ； （2）解：四边形是矩形， ， 为圆的直径， ， ． 矩形中，，， ． ， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于点，如图， ， ， ，， ， ， 由（2）知：， 的面积 ； ②当时，过点作于点，如图， ， ． ，， ， ． 由（2）知：， ，， ． ， ． 的面积 ． 综上，的面积为或． 题型十二、圆与函数综合 73．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围； (3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 【答案】(1) (2) (3)CI的最小值为 【分析】（1）利用顶点式求抛物线的解析式； （2）由已知并结合函数图象可得：，求解即可； （3）连接DI，AI，OI，根据内心定义得到∠DIA=135°，证明，得到∠OIA=∠DIA=135°，确定I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，求出N（2，－2），连接NC得到，当C、I、N三点共线时，CI最小，即可求出CI的最小值． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 将C（0，4）代入，得． ∴， ∴ 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又，时，均有， 结合函数图象可得：，解得：； （3）连接DI，AI，OI， ∵I为△ADG的内心， 所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI， 又∵IA=IA，DA=OA， ∴，     ∴∠OIA=∠DIA=135°， ∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上， 又A（4，0），OA=4，   ∴在等腰Rt△AON中，， ∴ N（2，－2），， 连接NC， ∴， ∴当C、I、N三点共线时，CI最小， ∴CI的最小值为． 【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，待定系数法求抛物线的解析式，三角形内心的理解，三点共线问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 74．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 【答案】(1)45° (2)①（4，0）或（8，4）；② 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数； （2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，由AH＝4=OH＝BH，得到坐标为（4，0）．连接，由，，得到坐标为（8，4）； ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题． 【详解】（1）∵，点B为抛物线顶点， ∴点B的坐标为（4，－4）． 作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4， ∴∠AOB＝45°． （2）①，解得，， ∴ A点坐标为（8，0）． 作OB的垂直平分线交⊙A于、两点， ∵⊙A半径为4，AH＝4， ∴点H在⊙A上，此时OH＝BH， ∴点H与点重合， ∴坐标为（4，0）． 连接， ∵，， ∴，则坐标为（8，4）， 综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）． ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8）， 连接MD， ∵点N为OM中点， ∴ ． 如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值， 当点M在点E处时，MD有最小值， ∵点A、D横坐标相同， ∴此时MD⊥x轴， ∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 1．(2025·江苏省镇江市·模拟)如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为16． 【分析】（1）连接，由，，可得，，而，可得，故可证，是的切线； （2）连接，设的半径为，由，可得，从而可用的代数式表示和，再根据是的切线，根据角的等量代换，证明，即可列式计算，解得的半径． 【详解】（1）解：连接，如图： ，， ，， ， ，， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图： ， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， ， ， ， 是的切线， ∴， ∵点是以为直径的半圆上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得或（舍去）， 的半径为8， 的直径为16． 【点睛】本题考查圆综合知识，圆周角定理，切线判定、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．如图，与的边相切于点C，与分别交于点D，E，连接，，是的直径，连接，平分，过点C作交于点 G，连接与交于点F． (1)求证：直线与相切； (2)求证：； (3)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理以及得，然后得到垂直平分线段，继而可证明，再结合与的边相切，即可证明直线与相切； （2）先证明，则，然后证明，而，故，那么，再交叉相乘并由结合即可证明； （3）先导角证明，求出，在中，由勾股定理得，即可求解半径． 【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， 即直线与相切； （2）证明：如解图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴在中， ， ∴ 即的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度大． 3．(2025·四川省成都市·)如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 【答案】(1)见解析 (2)和的半径 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）与的交点记为F，证明．则，即，得到，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）解：①如图，与的交点记为F， ∵为直径，， ∴是的切线，又与相切， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，的半径． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、切线长定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是关键． 4．(2025·云南省临沧市·模拟)如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； （3）连接与交于点H，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 5．(2025·山东省泰安市·模拟)如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 【答案】(1)线段、、的数量关系为，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）过C点作且使，连接，，构造出了，可寻找条件证明，得出从而将转化为，再利用圆内接四边形对角互补得出A、D、E三点共线，从而得出即为线段，最后证明是等腰直角三角形，得出，得出； （2）过P作交延长线于E，于F于G，解题思路是构建一个含有的，在这个直角三角形中利用来求解，所以解题的关键就变成表示出，的长度，设，利用正方形的性质，矩形的性质，勾股定理可分别求出，的长度，从而求出. 【详解】（1）解：线段、、的数量关系为，证明如下： 如图1所示，过C点作且使，连接， ∵，为的切线切点为C、D， ∴，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵为的一条直径，O为圆心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在与中， ∴， ∴，，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 即 ∴A、D、E三点共线， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，D点为边上一点， ∴， 即 ∵， ∴. 故答案为：线段、、的数量关系为. （2）解：如图2所示，过P作交延长线于E，于F，于G， 若也是的一条直径，由（1）得四边形为正方形，四边形也为正方形，且，设，则， ∵四边形为正方形，四边形也为正方形， ∴四边形为矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴. 故答案为：. 7．(24-25九下·北京十一学校龙樾实验中学·)对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)C、D， (2)①b的值为0或或；②b的值为． 【分析】（1）画出图形，可得是等边三角形，根据“关联点”的定义判断即可； （2）①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示，求出直线经过原点，，，b的值即可． ②如图2—2中，当直线与相切于E，F时，解析式分别为：，．以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ），求出两种特殊位置，b的值可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 观察图象可知，是边长为1的等边三角形， 点A的一对关联点是D，C． 故答案为：C，D． （2）解：①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示， 当直线经过原点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 综上所述，满足条件的b的值为0或或． ②如图2-2中，当直线与相切于E，F时， 设切点坐标为， ∵以原点为圆心作半径为1的圆， ∴， 化简得， ∵直线与相切， ∴， 解得或, ∴或． 以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ）， 当R与E重合时，直线的解析式为， 当R与F重合时，直线的解析式为， 观察图象可知，满足条件的b的值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，“关联点”的定义，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 8．(2025·广东省清远市·模拟)【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 【答案】（1）点P的坐标为或； （2）线段满足的数量关系为；x，y满足的函数关系式为 （3）当点落在的边上时，的长度为2或4． 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，点的坐标的特征和矩形的判定与性质解答即可； （2）利用勾股定理得到，利用点的坐标的特征得到，，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理化简运算即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点落在的边上时，利用圆的切线的性质定理和正方形的判定与性质解答即可；当点落在的边上时，利用对称性和圆周角定理求得，，再利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）当时， ∵， ∴， ∵与x轴相切，切点为点B， ∴轴， ∴轴， ∴点P到x轴，y轴的距离为1， ∴点P的坐标为或， ∴当1时，点P的坐标为或； （2）∵， ∴， ∴线段满足的数量关系为：． ∵圆心P的坐标为， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴x，y满足的函数关系式为； （3）①当点落在的边上时，如图， ∵点A关于直线的对称点， ∴， ∴点重合，即与y轴相切， 连接，四边形为正方形， ∴， ∴； ②当点落在的边上时，如图，连接， ∵点，点A关于直线的对称，点落在的边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当点落在的边上时，的长度为2或4． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质，点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 9．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 10．综合与实践 在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学活动． 在正方形中，E为边上一点点E与点B，C不重合，，且交正方形外角的平分线于点 (1)如图①，若E为的中点，猜想与的数量关系为______．证明此猜想时，可取的中点G，连接易证． (2)如图②，若E为上任一点，上述结论是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展： 如图③，连接，交于点M，连接，则与之间存在的等量关系为______． (4)连接，若正方形的边长为，则的最小值为______． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）可得出在和中，，，进而得出结果；， （2）在上取一点G，使，连接，可证得，从而； （3）将绕点A逆时针旋转得到，可证得点N、D、M三点共线，可证得，从而； （4）延长至G，使，连接，此时最小，最小值是的长，根据勾股定理得出，进而得出结果． 【详解】（1）解：点E、点G分别为中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ∴， ， 故答案为：； （2）如图1， 成立，理由如下： 在上取一点G，使，连接 四边形是正方形， ， ， ，是等腰直角三角形， ， 是的外角平分线，， ， ， ， ， ∴， ； （3）如图2， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 绕点A逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点N、D、M三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； （4）如图3，延长至G，使，连接， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点F在上时，， 此时最小，最小值是的长， ，，， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 11．【问题发现】 （1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________； 【探究猜想】 （2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明； 【探究应用】 （3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）45；（2），见解析；（3）等边三角形，见解析 【分析】（1）利用正方形性质及折叠性质，求出的度数； （2）通过构造全等三角形，将、转化到同一条线段上，从而证明与的关系； （3）连接，利用菱形性质和等边三角形判定，证明三角形全等，进而判断的形状． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由折叠的性质得 ． 故答案为：45； （2）， 证明如下：如解图①，延长到点，使得，连接． ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ； （3）是等边三角形，理由如下： 如图②，连接， 四边形是菱形， ． ， 和都是等边三角形， ． ， ， ， 在和中， ， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $