专题02 圆的基本性质十大考法（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题02 圆的基本性质十大考法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求值 1 题型二、平行弦问题 9 题型三、同心圆问题 20 题型四、垂径定理的推论 24 题型五、垂径定理的实际应用 27 题型六、点与圆的位置关系 35 题型七、最值问题 41 题型八、三角形外心坐标问题 56 题型九、特殊三角形外接圆的半径 59 题型十、已知外心位置判断三角形形状 62 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求值 1．如图，是的弦，且，半径，则点O到的距离是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，作，根据垂径定理和勾股定理求出的长即可。 【详解】解：作，则：， 在中，由勾股定理，得， ∴点O到的距离是1； 故选：C. 2．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于， 由题意得：（米），， （米），， 在中， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 3．如图，在中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长度为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴； 连接， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 5．如图，的半径为5，是的弦，半径，垂足为D，且，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．连接，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ，是圆的半径， ， ，， ， ， 故选：B． 6．(25-26九上·浙江嘉兴上海外国语大学秀洲外国语学校·月考)在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽为，如果再注入一些水后，水面上升，此时水面宽度变为，则该水槽截面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．正确地作出辅助线是解题关键． 过圆心O作于点F，交于点E，连接，．由垂径定理可求出，．设，则，再利用勾股定理和同圆半径相等可列出等式，解出x，即得出的长，从而可求出该水槽截面半径． 【详解】如图，过圆心O作于点F，交于点E，连接，． 由题意可知，，， 由垂径定理可知点E和F分别为，中点， ∴，． 设，则， ∵在中，， 在中，， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 则该水槽截面半径为． 故答案为：． 7．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 8．(25-26九上·河南信阳百师联盟·期中)如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【详解】（1）证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 9．(25-26九上·湖南长沙湖南师大附中星城实验学校·月考)已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 题型二、平行弦问题 10．(25-26九上·黑龙江绥化绥棱县第五中学·)已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 11．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 12．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 13．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 14．已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【答案】14或2 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．作于E，延长交于F，连接、，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：14或2． 15．是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 16．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 17．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 19．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 题型三、同心圆问题 21．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 22．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 23．(24-25九上·陕西西安碑林区西安工业大学附属中学·月考)如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 24．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 25．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 题型四、垂径定理的推论 26．(24-25九上·安徽淮南田家庵区淮南第十九中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 27．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 28．(24-25九上·湖北襄阳第三十一中学·期中)下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确； ⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，说法正确． 故选：B． 29．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 30．(24-25九上·浙江金华义乌七校联考·期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论的应用，连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，掌握垂径定理推论是解题的关键． 【详解】解：连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，如图， 则圆心是， 故选：． 题型五、垂径定理的实际应用 31．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 32．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 33．(24-25九下·陕西汉中勉县·期中)管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的几何性质、垂径定理以及勾股定理，过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接，利用垂径定理得到，再用勾股定理得到方程求解即可． 【详解】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 34．(23-24九上·广西梧州蒙山县·期末)如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 35．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 由垂径定理知，点E是的中点， 寸， 设半径为r寸，则寸 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：，     ， 即圆的直径为寸，即为1尺． 故答案为：1． 36．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为 ．    【答案】2.9（或） 【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理求得,在中应用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由垂径定理得，， 设，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． 即圆形拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 37．(25-26九上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 38．(23-24八下·江苏盐城射阳县实验初级中学·期中)如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 39．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 题型六、点与圆的位置关系 40．(25-26九上·江苏盐城东台第五教育联盟·月考)已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 41．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 42．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 43．已知的半径为5，点P在上，若，则d 5（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据，点在圆上解决问题即可． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：． 44．已知的半径为5cm，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在 （填“内”“外”或“上”）． 【答案】外 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据线段中点的性质，可得，根据当时点在圆外即可求解． 【详解】解：∵A为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴点A与的位置关系是点A在外， 故答案为：外． 45．(24-25九上·河北石家庄第四十四中学·期中)点是内一点，的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是 条． 【答案】 【分析】由过点最长的弦是过点的直径，过点最短的弦是垂直于的弦，求出最长弦和最短弦后即可确定通过点，长度是整数的弦的条数． 【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为， 则过点最长的弦是过点的直径，长度为； 过点最短的弦是垂直于的弦，如下图： 则， 此时，， 中，， ，， 即过点最短的弦长度为， 最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别为，，，，的弦有两条， 所以过点长度是整数的弦的条数一共有条． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系、垂径定理、勾股定理解直角三角形，解题关键是确定过点的最长弦和最短弦． 46．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【答案】(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴， ∴点M在内． 47．(22-23九上·江苏淮安盱眙县·期中)已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 48．(24-25九上·吉林长春第八十七中学·月考)如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 题型七、最值问题 49．(24-25九上·湖北武汉新洲区邾城街·月考)如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 50．(24-25九上·江苏苏州园区五校联考·期中)如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 设与交于点N，连接，如图，由题意可知ON＝OP，从而可知MN为△POQ的中位线，由三角形中位线的性质可知；当点M、O、N在一条直线上时，有最小值，接下来依据求解即可． 【详解】解：设与交于点N，连接，如图， ∵，， ∴N是的中点． ∵M是的中点，N是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上． ∵当点M在上时，最小， ∴线段的最小值为． 故选：A． 51．(24-25九上·河北邯郸第十一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 52．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 53．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 54．(24-25八下·浙江宁波外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点是半径为的上一动点，点和是外两个定点，点在第一象限内．点在第四象限内，以点为对称中心作点的对称点，再将点绕点逆时针旋转得到点，当点在上运动时，线段长的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，旋转的性质，根据题意画出图形是解题关键． 先根据题意，画图，可得知点与点的运动轨迹分别是绕圆心、的圆，利用位似图形的性质与旋转的性质，得的半径为，通过点到圆的距离即可求解． 【详解】解：根据题意，如图，点与点的运动轨迹分别是绕圆心、的圆， 以点为对称中心作点的对称点， ，即， 点是半径为的上一动点， 、是以为位似中心，且位似比为的位似图形， 的半径为． 点在第四象限，且点绕点逆时针旋转得到点， 根据旋转的性质，得：的半径不变，为， 线段长的最大值为，最小值为， 线段长的最大值和最小值的差为． 故答案为：． 55．(24-25九下·安徽肥西县部分学校·期中)如图，矩形中，，，是射线上一点，是上一点，且． （1）的值为 ； （2）连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 36 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，证明是解题的关键． （1）可证明得到，则； （2）由矩形的性质可得，则由相似三角形的性质可得；以为直径作，连接，当点为与的交点时，的值最小．作于点，可证明，根据相似三角形的性质可得，，再利用勾股定理即可得到． 【详解】解：（1），， ， ， ， 故答案为：36； （2）∵四边形是矩形， ∴， ， ， ∴点E在以为直径的圆上运动， 如图，以为直径作，连接，当点为与的交点时，的值最小， 作于点， ∴， 又∵， ∴， ，， ∴，，． 故答案为：． 56．(24-25九下·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】## 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，到圆上一点的最值问题，勾股定理，取点的中点，连接，得出，则在以为圆心的圆上运动，当在上时，取得最小值，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵ ∴ ∴在以为圆心的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值， 最小值为 故答案为：． 67．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）或；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题； [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点在外，②点在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸] 取的中点，连接，，过点作，可得是的中位线，则点在为圆心，为半径的圆上运动．在中，得出，进而可得的最大值为． 【详解】解：[问题解决] 如图，点为上任意一点，连接，， 当点与点不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点与点重合时，， ∴综上可得，， ∵点为上任意一点， ∴的长是点到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为； 若点在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为； 综上所述，的半径为或． 故答案为：或 （2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离， 的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸]如图所示， 取的中点，连接，，过点作 ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上，线段取得最大值， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴的最大值为 故答案为：． 58．(24-25九上·陕西渭南初级中学·期中)【问题探究】 （1）如图1，在等边中，，点D是线段BC上的一点，，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．求的长； 【拓展应用】 （2）如图2是一圆形景观区示意图，的半径为800米，计划搭建一个三角形舞台，点A、B在上，点C在内，，，点O为景区中心，按照设计要求，现要沿修建笔直的步行景观道，修建步行景观道的成本为200元，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求修建步行景观道的最小成本． 【答案】（1）2；（2）修建步行景观道的最小成本为元 【分析】（1）由题意易得，则有，然后由旋转的性质证明，可进行求解； （2）连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，由旋转的性质得到是直角三角形，利用勾股定理求出，根据三角形万变关系及两点之间线段最短求出有最小值，即为最小值，即可解答． 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，， ， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ，， ， ∴， ， ∴； （2）如图，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，， ∵，即， 由旋转可得，，， ∴， ∴在中，，， ∴在中，， 当三点共线时，有最小值， 即的最小值是， ∴修建步行景观道的最小成本为（元）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系的应用，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质及旋转的性质是解题的关键． 59．(23-24九下·江西吉安·期中)小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．    (1)【探究发现】如图1， ①与的大小关系：______； ②与的大小和位置关系：______． (2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图3，若，则： ①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______； ②在旋转过程中，的最大值是______． 【答案】(1)①；②， (2)①②中的关系存在，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）①如图1，作于，则四边形是矩形，证明，由勾股定理得，，②由①可知，，由题意知，，然后作答即可； （2）如图2，连接，延长交于，交于，证明，则，即；可知①的关系存在；证明，可得，；可知②中的关系存在； （3）①如图3，连接，同理（2）可知，，当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，，可求，同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，可求；②由题意知，，当最大时，最大，题意知，的最大值为6，进而可求． 【详解】（1）①解：如图1，作于，则四边形是矩形，    ∴，， ∵正方形、， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； ②解：由①可知，， 由题意知，， 故答案为：，； （2）解：①②中的关系存在，理由如下； 如图2，连接，延长交于，交于，    ∵正方形、， ∴，，，， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即； ∴①的关系存在； ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即； ∴②中的关系存在； （3）①解：如图3，连接，    同理（2）可知，， 当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，， ∴， 同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，， ∴， 综上所述，， 故答案为：； ②解：由题意知，， ∴当最大时，最大， 由题意知，的最大值为6， ∴的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，求一点到圆上点距离的最值等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理是解题的关键． 题型八、三角形外心坐标问题 60．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 61．(24-25九上·浙江温州乐清英华学校·月考)如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 62．(24-25九上·江苏泰州民兴中英文学校·月考)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 63．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 题型九、特殊三角形外接圆的半径 64．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可． 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8， 斜边长， ∴斜边上的中线长为5， 即此直角三角形外接圆半径为5， 故选：A． 65．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 66．(23-24九上·河北廊坊第九中学·期中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为、，则它的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵直角边长分别为6和8， ∴斜边是， ∴这个直角三角形的外接圆的半径为5， 故选：B． 67．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外接圆直径为， 故选：C． 68．(24-25九上·江苏盐城建湖县秀夫初级中学·月考)已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．先根据勾股定理求出斜边的长，进而可得出结论． 【详解】解：的两直角边分别是和， 斜边的长为， 的外接圆半径为 ． 故答案为：． 69．(24-25九上·河北唐山第十二中学·期末)已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 70．(24-25九上·江苏扬州邗江实验学校·期中)一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 71．一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半即可求解． 【详解】解：因为直角三角形两条直角边长分别为：， 所以直角三角形的斜边长为：， 则这个三角形的外接圆的半径=． 故答案为：5． 题型十、已知外心位置判断三角形形状 72．(22-23九上·浙江杭州桐庐县三合初级中学·期中)的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 73．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答； 【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键． 74．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形． 【详解】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部； 由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点． 1．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 2．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 3．(22-23九上·吉林松原前郭县乌兰塔拉中学等五校联考·期中)如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 4．(22-23九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(23-24九上·福建厦门第九中学·期中)已知：如图是的直径，，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识点，能够正确画出辅助线是解题关键．连接，以为直径作圆G，过G作于F，求出，求出、长，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵直径， ∴， 连接，以为直径作圆G，过G作于F，    ∵D为的中点，过O， ∴， 即点D在上，， ∴， ∵点C为弧的三等分点（更靠近A点）， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最大值是， 故答案为：． 6．(24-25九上·江苏盐城东台实验中学教育集团·期中)在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 7．如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据得到，再根据圆周角定理得出，进而得到，即可求证； （2）由题意可得，，证明，得到，进而得到，再证明，推出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键． 8．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型。②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型（如图1），以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型（如图2），求该圆弧所在圆的半径． 【答案】(1) (2)半径为米 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及二次函数的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键． （1）抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线解析式； （2）可得为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，利用勾股定理求出即可； 【详解】（1）解：抛物线的解析式为， 又抛物线经过点和点， ，． 抛物线的解析式为； （2）解：如图，可得为弧的中点，于，延长经过点， 则， 设的半径为， 在中，， ，解得． 即圆弧所在圆的半径为米． 9．(24-25九下·吉林长春力旺实验初级中学·期中)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的基本性质十大考法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理求值 1 题型二、平行弦问题 3 题型三、同心圆问题 5 题型四、垂径定理的推论 6 题型五、垂径定理的实际应用 7 题型六、点与圆的位置关系 10 题型七、最值问题 11 题型八、三角形外心坐标问题 15 题型九、特殊三角形外接圆的半径 16 题型十、已知外心位置判断三角形形状 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理求值 1．如图，是的弦，且，半径，则点O到的距离是（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长度为（   ） A． B．8 C． D． 4．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，的半径为5，是的弦，半径，垂足为D，且，则的长为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 6．(25-26九上·浙江嘉兴上海外国语大学秀洲外国语学校·月考)在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽为，如果再注入一些水后，水面上升，此时水面宽度变为，则该水槽截面半径为 ． 7．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 8．(25-26九上·河南信阳百师联盟·期中)如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 9．(25-26九上·湖南长沙湖南师大附中星城实验学校·月考)已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二、平行弦问题 10．(25-26九上·黑龙江绥化绥棱县第五中学·)已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 11．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 12．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 13．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 14．已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 15．是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为 ． 16．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 17．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 19．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 20．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 题型三、同心圆问题 21．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 22．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 23．(24-25九上·陕西西安碑林区西安工业大学附属中学·月考)如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 24．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 25．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 题型四、垂径定理的推论 26．(24-25九上·安徽淮南田家庵区淮南第十九中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 27．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 28．(24-25九上·湖北襄阳第三十一中学·期中)下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 30．(24-25九上·浙江金华义乌七校联考·期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 题型五、垂径定理的实际应用 31．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 32．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 33．(24-25九下·陕西汉中勉县·期中)管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 34．(23-24九上·广西梧州蒙山县·期末)如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 35．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 36．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为 ．    37．(25-26九上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 38．(23-24八下·江苏盐城射阳县实验初级中学·期中)如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 39．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 题型六、点与圆的位置关系 40．(25-26九上·江苏盐城东台第五教育联盟·月考)已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 41．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 42．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 43．已知的半径为5，点P在上，若，则d 5（填“”或“”或“”）． 44．已知的半径为5cm，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在 （填“内”“外”或“上”）． 45．(24-25九上·河北石家庄第四十四中学·期中)点是内一点，的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是 条． 46．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 47．(22-23九上·江苏淮安盱眙县·期中)已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 48．(24-25九上·吉林长春第八十七中学·月考)如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 题型七、最值问题 49．(24-25九上·湖北武汉新洲区邾城街·月考)如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 50．(24-25九上·江苏苏州园区五校联考·期中)如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 51．(24-25九上·河北邯郸第十一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 52．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 53．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 54．(24-25八下·浙江宁波外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点是半径为的上一动点，点和是外两个定点，点在第一象限内．点在第四象限内，以点为对称中心作点的对称点，再将点绕点逆时针旋转得到点，当点在上运动时，线段长的最大值和最小值的差为 ． 55．(24-25九下·安徽肥西县部分学校·期中)如图，矩形中，，，是射线上一点，是上一点，且． （1）的值为 ； （2）连接，当取最小值时，的长为 ． 56．(24-25九下·黑龙江大庆景园中学·期中)如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 67．(24-25九上·江苏镇江京口区京口中学、镇江第十中学·期中)[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 58．(24-25九上·陕西渭南初级中学·期中)【问题探究】 （1）如图1，在等边中，，点D是线段BC上的一点，，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．求的长； 【拓展应用】 （2）如图2是一圆形景观区示意图，的半径为800米，计划搭建一个三角形舞台，点A、B在上，点C在内，，，点O为景区中心，按照设计要求，现要沿修建笔直的步行景观道，修建步行景观道的成本为200元，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求修建步行景观道的最小成本． 59．(23-24九下·江西吉安·期中)小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．    (1)【探究发现】如图1， ①与的大小关系：______； ②与的大小和位置关系：______． (2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图3，若，则： ①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______； ②在旋转过程中，的最大值是______． 题型八、三角形外心坐标问题 60．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 61．(24-25九上·浙江温州乐清英华学校·月考)如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 62．(24-25九上·江苏泰州民兴中英文学校·月考)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 63．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 题型九、特殊三角形外接圆的半径 64．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 65．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 66．(23-24九上·河北廊坊第九中学·期中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为、，则它的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 67．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 68．(24-25九上·江苏盐城建湖县秀夫初级中学·月考)已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为 ． 69．(24-25九上·河北唐山第十二中学·期末)已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 70．(24-25九上·江苏扬州邗江实验学校·期中)一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 71．一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为 ． 题型十、已知外心位置判断三角形形状 72．(22-23九上·浙江杭州桐庐县三合初级中学·期中)的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 73．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 74．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 1．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 3．(22-23九上·吉林松原前郭县乌兰塔拉中学等五校联考·期中)如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(22-23九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 5．(23-24九上·福建厦门第九中学·期中)已知：如图是的直径，，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为 ．    6．(24-25九上·江苏盐城东台实验中学教育集团·期中)在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 7．如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 8．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型。②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型（如图1），以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型（如图2），求该圆弧所在圆的半径． 9．(24-25九下·吉林长春力旺实验初级中学·期中)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $