1.1　认识三角形 课件 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形的初步知识”，涵盖三角形的概念、内角和、三边关系、按角分类及角平分线、中线、高线等核心知识点。课堂导入从骑行轨迹、斜面受力等生活实例切入，衔接线段与直线旧知，通过基础夯实、能力提升、素养提优的梯度设计搭建学习支架。 其亮点在于跨学科题目（如力学中摩擦力与角度关系）培养数学眼光，分类讨论（高在三角形内外）和辅助线推理（连接BC证角度）发展数学思维，规律探究与符号运算（绝对值化简）强化数学语言。融入中考真题、易错提示，助力学生提升解题与思维能力，教师可高效落实核心素养。

第1章　三角形的初步知识 第１课时　三角形的内角和、边及按角分类 1.1　认识三角形 初中数学 1.(2025河北廊坊九中月考) 下面是四位同学分别用三根木棍 组成的图形,其中是三角形的是 ( ) A. 　　　　    B. 　　　　     C. D.  　A      　三角形及有关概念 初中数学 解析　三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 接所组成的图形.故选A. 初中数学 2.【学科特色·教材变式】如图.   (1)图中共有_______个三角形,它们分别是 _______________________________. (2)以BC为一边的三角形共有_______个,它们分别是 __________________________. (3)以∠A为内角的三角形是_______和_______. △ABE △ABC 　3　　     △ABC,△ABE,△BCE,△BCD,△CDE 　5　　     △ABC,△BCE,△BCD 初中数学 3.(2024湖南长沙中考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°, AD∥BC,则∠1的度数为 ( )   A.50°　　　    B.60°　　　    C.70°　　　    D.80° 　C      　三角形的内角和 初中数学 解析　∵∠BAC=60°,∠B=50°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°- 60°-50°=70°,∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.故选C. 初中数学 4.【跨科学·力学】(2024山西中考)一只杯子静止在斜面上,其 受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向 与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°, 则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为 ( )   　C     A.155°　　　    B.125° C.115°　　　    D.65° 初中数学 解析　如图, ∵重力G的方向竖直向下,∴∠2=90°,∴∠1=180 °-∠2-α=180°-90°-25°=65°,∴∠3=∠1=65°.∵摩擦力F2的方向 与斜面平行, ∴∠β+∠3=180°,∴∠β=180°-∠3=180°-65°=115°.故选C.   初中数学 5.(2025宁波海曙储能学校质检)在△ABC中,∠A=30°,∠B=4∠C, 则∠C的度数为___________.     30°     解析　∵∠A=30°,∴∠B+∠C=180°-∠A=150°.∵∠B=4∠C, ∴5∠C=150°,∴∠C=30°. 初中数学 6.(2025杭州西湖上泗中学月考)在△ABC中,若∠A=45°,∠B= 55°,则△ABC是 ( ) A.锐角三角形　　　    B.钝角三角形 C.直角三角形　　　    D.无法确定 　A      　三角形按内角大小分类 解析　∵∠A=45°,∠B=55°,∴∠C=180°-45°-55°=80°, ∴△ABC是锐角三角形.故选A. 初中数学 7.(2025湖州长兴月考)已知△ABC的三个内角度数的比为2∶ 3∶4,则这个三角形是_______三角形. 　锐角     初中数学 解析　∵△ABC的三个内角度数的比为2∶3∶4, ∴△ABC的三个内角的度数分别为 180°× =180°× =40°<90°, 180°× =180°× =60°<90°, 180°× =180°× =80°<90°, ∴这个三角形是锐角三角形. 初中数学 8.(2025杭州钱塘文海中学期中)下列长度的三条线段,能组成 三角形的是 ( ) A.2,5,3　　　    B.2,2,7 C.4,5,7　　　    D.3,3,6 　C      　三角形三边的关系 初中数学 解析　∵2+3=5,∴A选项中的三条线段不能组成三角形;∵2+ 2<7,∴B选项中的三条线段不能组成三角形;∵4+5>7,∴C选 项中的三条线段能组成三角形;∵3+3=6,∴D选项中的三条线 段不能组成三角形.故选C. 初中数学 9.(2025温州市白鹿外国语学校月考)小强周末骑自行车出行, 他的骑行轨迹恰好是一个三角形.若其中两条边的长度分别 为1 km和3 km,则另一条边的长度可能是 ( ) A.3 km　　　    B.4 km C.5 km　　　    D.6 km 　A     初中数学 解析　其中两条边的长度分别为1 km和3 km, 设三角形的另一条边的长度为x km,3-1<x<3+1,则2<x<4,故只 有3 km符合题意.故选A. 初中数学 10.一个三角形的两边长分别是3和7,且第三边的长为奇数,该 三角形周长的最大值是__________.     19     解析　根据三角形的三边关系,得第三边的长大于4且小于10. ∵第三边的长为奇数,∴第三边的长可以为5,7,9,∴该三角形 周长的最大值是3+7+9=19. 初中数学 11.(2025台州路桥期中,★★☆)如图,∠A=70°,∠ABE=40°, ∠ACD=30°,则∠D+∠E= ( )   A.30°　　　    B.40°　　　    C.60°　　　    D.70° 　B     初中数学 解析　连结BC,设BE与CD交于点M,如图,   在△ABC中,∠A=70°,∠ABE=40°,∠ACD=30°,∴∠MBC+∠ MCB=180°-∠A-∠ABM-∠ACM=180°-70°-40°-30°=40°.∵∠D +∠E+∠DME=180°,∠EBC+∠DCB+∠BMC=180°,∠DME= ∠BMC,∴∠D+∠E=∠EBC+∠DCB=40°.故选B. 初中数学 12.(★★☆)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一 个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依 次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条 的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值 为 ( ) A.6　　　    B.7　　　    C.8　　　    D.9 　D     初中数学 解析　本题分以下几种情况:①选3+4、5、7作为三角形的三 边长,则三边长为7、5、7,能组成三角形,此时两个螺丝间的 最大距离为7;②选5+4、7、3作为三角形的三边长,则三边长 为9、7、3,能组成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为9;③ 选5+7、3、4作为三角形的三边长,则三边长为12、4、3,4+3 <12,不能组成三角形,此种情况不成立;④选7+3、5、4作为三 角形的三边长,则三边长为10、5、4,5+4<10,不能组成三角 形,此种情况不成立. 综上所述,任意两个螺丝间的距离的最大值为9. 初中数学 故选D.   初中数学 13.(2025金华义乌月考,★★☆)如图,△ABC中,∠B=40°,∠C= 30°,点D为边BC上一点,将△ADC沿直线AD折叠后,点C落到 点E处,若DE∥AB,则∠ADC的度数为____________.     110°     初中数学 解析　∵∠B=40°,∠C=30°,∴∠BAC=110°, 由折叠得,∠E=∠C=30°,∠EAD=∠CAD,∵DE∥AB, ∴∠BAE=∠E=30°,∴∠CAD= =40°, ∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°. 初中数学 14.(2025金华东阳月考,★★☆)在△ABC中: (1)∠A-∠B=20°,∠C=2∠B,求∠A、∠B、∠C的度数. (2)a,b,c是三角形的三边长,且a,b,c都是整数.化简:|a-b+c|+|c-a- b|-|a+b|. 初中数学 解析    (1)设∠B=x°, ∵∠A-∠B=20°,∠C=2∠B, ∴∠A=∠B+20°=x°+20°,∠C=2∠B=2x°, ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+20+x+2x=180,解得x=40, ∴∠A=60°,∠B=40°,∠C=80°. (2)∵a,b,c是三角形的三边长, ∴a+c>b,a+b>c,a+b>0, 初中数学 ∴a-b+c>0,c-a-b=c-(a+b)<0, ∴|a-b+c|+|c-a-b|-|a+b| =a-b+c+a+b-c-a-b=a-b. 初中数学 15.【新考向·规律探究题】(★★★) (1)如图1,图中共有_______个三角形;如图2,若增加一条线, 则图中共有_______个三角形. (2)如图3,若增加10条线,请你求出图中的三角形的个数.   　24　　     　10　　     初中数学 解析     详解:如图,给每个小三角形标上序号, 图1中,单个小三角形有4个,两个小三角形组成的三角形有3个 (①②、②③、③④),三个小三角形组成的三角形有2个(①② ③、②③④),四个小三角形组成的三角形有1个(①②③④), ∴三角形共有4+3+2+1=10(个).   初中数学 图1 　　      图2 如图2,△ABE中共有10个三角形(包括△ABE),△BEC中共有4 个三角形(包括△BEC), ∴三角形共有10+10+4=24(个). 初中数学 (2)同(1)可知,当增加2条线时,共有3×10+4×(1+2)=42个三角 形, 当增加3条线时,共有4×10+4×(1+2+3)=64个三角形,…… ∴若增加10条线,则三角形的个数为11×10+4×(1+2+…+10)=330. 初中数学 16.【新课标·几何直观】【学科特色·分类讨论思想】(2025 金华义乌四校联考月考)如果三角形的两个内角α与β满足3α+ β=90°,那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如 图,B、C为直线l上两点,点A在直线l外,且∠ABC=45°.若P是l 上一点,且△ABP是“准直角三角形”,则∠APB的所有可能 的度数为______________________.     15°或22.5°或120°     初中数学 解析    (1)当点P在点B的右侧时,如图,   ∵3α+β=90°,而45°×3=135°>90°,故∠ABC≠α, ①当∠A=α,∠ABC=β=45°时, 由3α+β=90°得,α=15°, ∴∠APB=180°-∠ABC-∠A=120°; 初中数学 ②当∠APB=α,∠ABC=β=45°时,如图,   同理,得∠APB=α=15°; ③当∠APB=α,∠A=β时,如图,   初中数学 则 解得α=-22.5°(不合题意,舍去); ④当∠APB=β,∠A=α时,如图,与③同理,不合题意.   (2)当点P在点B的左侧时,∠ABP=180°-∠ABC=135°, ①当∠APB=α,∠A=β时,如图, 初中数学   则 解得 即∠APB=22.5°; ②当∠APB=β,∠A=α时,如图,   初中数学 则 解得 即∠APB=22.5°. 综上所述,∠APB的所有可能的度数为15°或22.5°或120°. 初中数学 第1章　三角形的初步知识 第2课时　三角形的角平分线、中线、高线 1.1　认识三角形 初中数学  　三角形的角平分线 1.(2024天津西青当城中学期中)如图,在△ABC中,∠BAC=50°, ∠B=70°,AD是△ABC的角平分线,则∠ADB= ( )   A.70°　　　    B.85°　　　    C.90°　　　    D.75° 　B     初中数学 解析　∵∠BAC=50°,AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD= ∠BAC=25°,∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD= 180°-70°-25°=85°.故选B. 初中数学 2.(2025湖北武汉月考)如图,△ABC的角平分线CE和BD交于 点I,记∠A=α.   (1)当α=60°时,∠BIC=_______. (2)求∠BIC的度数(用含α的式子表示). 初中数学 解析    (1)120°. 详解:∵∠A=α=60°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°, ∵CE,BD是△ABC的角平分线, ∴∠IBC= ∠ABC,∠ICB= ∠ACB, ∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×120°=60°, ∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°. (2)∵∠A=α,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α, 初中数学 ∵△ABC的角平分线CE和BD交于点I, ∴∠IBC= ∠ABC,∠ICB= ∠ACB, ∴∠IBC+∠ICB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=90°-  α,∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=90°+ α. 初中数学  　三角形的中线 3.(2025温州市实验中学期中)如图,在△ABC中,点D,E,F分别 为BC,AD,BE的中点,S△BFD=1,则S△ABC= ( )   A.6　　　    B.8　　　    C.10　　　    D.12 　B     初中数学 解析　∵点F是BE的中点,S△BFD=1, ∴S△DEF=S△BFD=1,∴S△BDE=S△DEF+S△BFD=2, ∵点E是AD的中点,∴S△ABE=S△BDE=2, ∴S△ABD=S△ABE+S△BDE=4,∵点D是BC的中点, ∴S△ACD=S△ABD=4,∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=8.故选B. 初中数学 4.【学科特色·教材变式】(2025绍兴柯桥期中)如图,已知AE 为△ABC的中线,AB=8 cm,AC=6 cm,△ACE的周长为20 cm,则 △ABE的周长为__________cm.       22     初中数学 解析　∵AE为△ABC的中线,∴BE=EC. ∵△ACE的周长为20 cm,∴AC+CE+AE=20 cm. ∵AC=6 cm,∴CE+AE=14 cm,∴BE+AE=14 cm, ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=8+14=22(cm). 初中数学  　三角形的高线 5.(2025杭州华东师大附属杭州学校月考)下列选项中能表示 △ABC的BC边上的高的是 ( )   A　　　     B   C 　　　     D 　D     初中数学 解析　画△ABC的BC边上的高,应当过顶点A向BC边作垂线 段. 故选D. 初中数学 6.如图,已知BE、CF分别为△ABC的两条高,BE和CF相交于 点H,若∠BAC=50°,则∠BHC的度数是___________°.       130     初中数学 解析　∵BE为△ABC的高,∴∠BEA=90°,∴∠ABE=180°-∠BAC -∠BEA=180°-50°-90°=40°,∵CF为△ABC的高,∴∠BFC=90°, ∴∠BHF=180°-∠BFC-∠ABE=180°-90°-40°=50°,∴∠BHC= 180°-∠BHF=130°. 初中数学 7.(2025温州瑞安中学附中开学考试)如图,在△ABC中,∠B=30°, ∠ACB=110°,AD是BC边上的高线,AE平分∠BAC,求∠DAE 的度数.   初中数学 解析　∵∠B=30°,∠ACB=110°, ∴∠BAC=180°-30°-110°=40°. ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= ∠BAC= ×40°=20°. ∵∠B=30°,AD是BC边上的高线, ∴∠BAD=90°-30°=60°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-20°=40°. 初中数学   8.(2025温州瑞安中学附中开学考试,★★☆)如图,AD,AE分别 为△ABC的高线和角平分线,DF⊥AE于点F,当∠ADF=69°, ∠C=65°时,∠B的度数为 ( )   A.21°　　　    B.23°　　　    C.25°　　　    D.30° 　B     初中数学 解析　∵DF⊥AE,∠ADF=69°,∴∠DAF=180°-∠ADF-∠DFA =21°.∵AD⊥BC,∠C=65°,∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=25°,∴ ∠CAE=∠DAF+∠CAD=21°+25°=46°.∵AE平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠CAE=92°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-92°-65° =23°.故选B. 初中数学 9.【学科特色·易错题】(2025杭州西湖保俶塔申花实验学校 月考,★★☆)在△ABC中,∠B=55°,AD是△ABC的边BC上的 高,若∠DAC=15°,则∠BAC等于 ( ) A.20°　　　     B.50° C.20°或50°　　　    D.35° 　C     初中数学 解析　分高AD在△ABC内部和外部两种情况,切勿因忽略分 类讨论而丢解. ①高AD在△ABC的内部时,如图1, ∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,∵∠ABC=55°,∴∠BAD=90°-∠ABC=35°,∵∠DAC=15°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=35° +15°=50°;  　　　      　图1 初中数学 ②高AD在△ABC的外部时,如图2, ∠BAC=∠BAD-∠DAC=35°-15°=20°. ∴∠BAC的度数是20°或50°.故选C. 图2 初中数学 10.(2025温州鹿城南浦实验中学期中,★★☆)如图,在△ABC 中,D为BC的中点,连结AD,E为AD的中点,连结BE,其中G,F分 别为BE,CD的中点,连结CG,GF,若S△ABC=16,则△CFG的面积 为_________.       1     初中数学 解析　如图,连结CE.   ∵点D是BC的中点,∴BD=CD, ∴S△ACD=S△ABD= S△ABC=8, ∵点E是AD的中点,∴AE=DE, 初中数学 ∴S△CDE= S△ACD= ×8=4,S△BDE= S△ABD= ×8=4,∴S△BCE=S△CDE+S△BDE =4+4=8, ∵点G是BE的中点,∴BG=EG, ∴S△BCG= S△BCE= ×8=4, ∵点F是CD的中点,∴CF= CD, ∵CD= BC,∴CF= BC, ∴S△CFG= S△BCG= ×4=1. 初中数学 11.(★★☆)在△ABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC 的周长分成70和50两部分,求AC和AB的长. 解析　∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD, 设BD=CD=x,则BC=2x,∴AC=2BC=4x, 分为两种情况: ①当AC+CD=70,AB+BD=50时,4x+x=70,解得x=14, ∴BC=2x=2×14=28,AC=4x=4×14=56,BD=CD=14,∴AB=50-BD =50-14=36, 初中数学 ∵BC+AB=28+36=64,AC=56,64>56,∴能组成三角形,此时AC= 56,AB=36; ②当AC+CD=50,AB+BD=70时,4x+x=50,解得x=10, ∴BC=2x=2×10=20,AC=4x=4×10=40,BD=CD=10,∴AB=70-BD =70-10=60, ∵BC+AC=20+40=60,AB=60,60=60,∴不能组成三角形,此种 情况不存在. 综上所述,AC=56,AB=36. 初中数学 12.(2025杭州市之江实验中学月考,★★☆)如图,在△ABC中, AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°, ∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.   初中数学 解析　∵∠CAB=50°,∠C=60° ∴∠ABC=180°-50°-60°=70°, ∵AD是△ABC的高, ∴∠ADC=90°,∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°, ∵AE、BF是△ABC的角平分线, ∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=∠EAB=25°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°, ∠BOA=180°-∠ABF-∠EAB=180°-35°-25°=120°. 初中数学   13.【新课标·推理能力】(2024海南琼海期末)△ABC中,AD⊥ BC,AE平分∠BAC交BC于点E. (1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小. (2)若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C-∠B是否相等?请说明理由.   初中数学 解析    (1)∵∠B=30°,∠C=70°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. ∵AE平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BAC=40°. ∵AD⊥BC,∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°, ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°. (2)相等.理由:由(1)知,∠EAD=∠EAC-∠DAC= ∠BAC-(90°- ∠C)①,把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①,整理,得, ∠EAD= ∠C- ∠B,∴2∠EAD=∠C-∠B. 初中数学 $