精品解析： 湖北省襄阳市老河口市2025--2026学年九年级上学期期中数学试题

2025年秋初中生期中素养综合作业 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分） 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 2. 将抛物线向左平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据“左加右减”的平移规律，即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得到抛物线的表达式为． 故选：C． 3. 下列关于二次函数的说法，不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象开口向上 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故A、B正确，不符合题意；C错误，符合题意； ∴当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：C． 4. 下列图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 5. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握利用旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，，， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选C． 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意解得∠BOC＝60°，再根据圆周角定理∠BOC=2∠CDB解题即可． 【详解】解：∠AOC＝120° ∠BOC＝60° ∠BOC=2∠CDB ∠CDB=30° 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 二次函数经过，两点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数值的比较大小，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 通过二次函数的解析式，得出抛物线的开口及对称轴，利用抛物线的特征直接比较大小即可． 【详解】解：根据二次函数得，， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大， 点距离对称轴为2，点距离对称轴为， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征．在平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数．根据平行四边形对角线互相平分的性质可知，点与点关于原点对称（因为是中点）．然后利用关于原点对称的点的坐标特征来求出点的坐标．关键在于理解平行四边形对角线的性质，从而得出点与点的对称关系，再准确运用关于原点对称的点的坐标变化规律得出答案即可． 【详解】∵平行四边形的对角线相交于点， ∴点与点关于原点对称． ∵已知点的坐标是， ∴点关于原点对称的点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数． ∴点的坐标是． 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，故A错误； 观察图象得：，， ∴， ∴，故B错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴，故C错误； ∵图象经过点， ∴，故D正确． 故选：D． 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 方程的解是________． 【答案】1或-1 【解析】 分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 12. 请写出一个对称轴为x＝1的抛物线的解析式_____. 【答案】y＝（x﹣1）2 【解析】 【分析】利用二次函数的性质写出一个顶点的横坐标为1的抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线y＝（x﹣1）2的对称轴为直线x＝1． 故答案为y＝（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下． 13. 如图，在中，，，则的度数为_____． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 【答案】5 【解析】 【分析】由， 可得当时，函数取最大值，从而可得答案. 【详解】解： ， 当时，最大高度为 所以从点火升空到引爆需要的时间为5s. 故答案为：5 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解函数取得最大值时的值是解本题的关键. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接AN，则AN的长是____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可证△ACM为等边三角形，从而在等边△ACM中可求出AD的长，在等腰直角△CMN中根据斜边上的中线等于斜边的一半求出DN的长，进而可求出AN的长． 【详解】如图，连接AM，延长AN交CM于点D． 由题意得：CA=CM,∠ACM=60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴AM=CM,∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°,AB=BC=， ∴AC=2 ∴CM=AM=2， ∵AC=AM，CN=MN， ∴AD垂直平分CM， ∴CD=AC=1, DN=CM=1， ∴AD=， ∴AN=AD-DN=， 故答案． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键． 三．解答题：(本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．) 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， ∴． 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）将绕点D顺时针旋转得到，画出； （3）与关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据中心对称的性质连接交于点，即为对称中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解： 如图，点P即为所求，． 18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，点在直线上，若对于m每一个取值总有，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，顶点坐标，二次函数图象上点坐标特征； （1）分别令和可求得与坐标轴交点坐标，根据求顶点坐标； （2）先求出直线解析式，再根据，位置得到，，算出，最后根据对于m的每一个取值总有，得到，分类讨论解不等式组即可． 【小问1详解】 解：令，可得，解得， 令，可得， ∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C， ∴，，， ∵， ∴抛物线顶点； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵对于m的每一个取值总有， ∴， ∴或， 解得． 20. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． （1）根据根的判别式得出，求解即可． （2）根据根与系数关系得出，代入，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意可知，． 因为， 所以， 整理得， 解得：． ， ． 21. 如图，是的直径，弦交于点E，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是的直径，得出，再根据圆周角定理得出，即可求解． （2）连接，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，从而得出，等角对等边得出．设，则，．在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵． ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵，是的直径， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则，． 在中，， ∴． 解得：（负值舍去）． ∴． 22. 综合与实践“水果店定价最优方案” 【项目背景】 某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化． 已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示： 销售单价x（元千克） 12 14 16 日销售量y（千克） 100 90 80 【任务一】建立函数模型 （1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式； 【任务二】实现目标利润 （2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？ 【任务三】优化定价决策 （3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（）；（2）销售单价应定为16元；（3）销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与之间的函数关系式为，由表可得当时，；当时，，将它们分别代入即可求解； （）根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由题意得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）y与x之间近似成一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 由表可得当时，；当时，， ∴，解得， ∴， ∵销售单价不低于成本，且不高于2元/千克， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为（）． （2）根据题意得， 解得，， ∵， ∴ 答：当销售单价定为16元时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元． （3）设每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为W元． 则， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为845． 答：销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元． 23. （1）在中，，，点D是边上一点，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，当时，连接．若，，求的长． （2）如图3，四边形中，，，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）2 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． （1）①由旋转得到，，因此，从而可证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由，，得到，，由得到，，因此可得是直角三角形，根据勾股定理即可求出； （2）过点A作交的延长线于点E，连接．可得同（2）图形，同理可得，，．设，则，，则根据勾股定理在中，求得，在中求得，在中求得，因此在中有，得到，即可解答． 【详解】解：(1)①证明：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）过点A作交的延长线于点E，连接． ∵， ∴，，． 由（1）②同理可得，，． 设，则， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，，当时，求t的值； （3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S关于t的函数解析式； ②当和时S的值相同，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）①S关于t的函数解析式为；② 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答；②分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图， ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ． 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当即时， 故当和时 ， 解得． 当即时， ， 解得，， （舍去）． 综上可知， 或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二次函数与一次函数的综合问题，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋初中生期中素养综合作业 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分） 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 无实数根 D. 只有一个实数根 2. 将抛物线向左平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于二次函数的说法，不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象开口向上 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 8. 二次函数经过，两点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 二．填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 方程的解是________． 12. 请写出一个对称轴为x＝1的抛物线的解析式_____. 13. 如图，在中，，，则的度数为_____． 14. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接AN，则AN的长是____． 三．解答题：(本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．) 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）将绕点D顺时针旋转得到，画出； （3）与关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标． 18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，求的长． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，点在直线上，若对于m的每一个取值总有，请直接写出m的取值范围． 20. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 如图，是的直径，弦交于点E，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践“水果店定价最优方案” 【项目背景】 某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化． 已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示： 销售单价x（元千克） 12 14 16 日销售量y（千克） 100 90 80 【任务一】建立函数模型 （1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式； 【任务二】实现目标利润 （2）当销售单价定多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？ 【任务三】优化定价决策 （3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. （1）在中，，，点D是边上一点，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，当时，连接．若，，求的长． （2）如图3，四边形中，，，求的值． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，，当时，求t的值； （3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S关于t的函数解析式； ②当和时S的值相同，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $