精品解析：北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 （考式时间120分钟 满分150分） 2025年11月 一、单选题：共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 3. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 4. 已知椭圆两个焦点分别为，，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，可得周长，结合定义，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得， 所以的周长 . 故选：． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 5. 在直线的方向向量为，的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】首先可得，即可得到，从而判断. 【详解】因为直线的方向向量为，的法向量为， 所以，即， 所以或. 故选：C 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先确定两直线平行的充要条件，再判断“”与两直线平行的关系. 【详解】因为“直线与直线平行”的充要条件为： 或. 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短. 【详解】 由于，故点在圆内， 化为标准方程：. 如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是， 根据垂径定理，， 使得最小，必须最大，显然， 重合的时候取得等号，此时，由于， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即. 故选：C 9. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 10. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答. 【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，设， 因，则，化简整理得：， 因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形， 当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大， 显然，点P到轴的最大距离为，此时，， 所以面积的最大值是． 故选：C 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 两条直线与之间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将的方程化为，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】直线，即， 又， 所以两直线间的距离. 故答案为： 12. 若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 【答案】 【解析】 【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值. 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合空间向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故答案为：. 14. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将两圆的方程相减得两圆的公共弦所在的直线方程，再运用点到直线的距离公式可求得弦长. 【详解】解：圆与圆，两式相减可得：， 直线AB的方程为：； 圆C：的圆心为，半径为， 由圆心到直线AB的距离为， 弦长， 故答案为：； 15. 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，根据满足分析即可. 【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得， 又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面. 又平面，故平面.故①正确. 对②，当在时，∥平面不成立，故②错误； 对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，. 设，，则，其中，故， 则当时，即. 故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确； 当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误. 故答案为：①③ 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知的顶点为、 、 . （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高线所在直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程并化简. （2）根据两直线垂直，确定边上高的斜率，再根据点斜式写出边上的高的方程并化简. （3）利用“割补法”求三角形的面积. 【小问1详解】 因为. 所以直线的方程为：即. 【小问2详解】 因为，所以边上的高的斜率为：. 所以边上的高所在的直线为：即. 【小问3详解】 如图：作轴于点，轴于点，则，. 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点． （1）求平面与平面ABC夹角的余弦值； （2）在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，求出面ABC、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值； （2）设，得，结合面法向量，及线面角正弦值，应用空间向量夹角坐标表示列方程求参数，即可判断存在性并求长度. 【小问1详解】 因为平面ABC，平面ABC，则，， 以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以平面ABC的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 所以，即，令，则，故， 所以，又平面与平面ABC夹角为锐角， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为； 【小问2详解】 假设存在点P， 设，， 设BP与平面所成的角为，由（1）知，平面的法向量为， 则， 所以，解得或， 在线段CD上存在一点P，使BP与面所成角的正弦值为，此时或． 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. （1）求圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）为圆上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出圆的半径，可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）记点，则，分析可知当为线段与圆的交点时，取最小值，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径， 因此圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离. ①当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 记点，则， ，所以点在圆外，如下图所示： 由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且， 因此，的最小值为. 20. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【小问1详解】 设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为， 设关于直线对称点为， ，所以， 所以， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 21. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 （考式时间120分钟 满分150分） 2025年11月 一、单选题：共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的两个焦点分别为，，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 5. 在直线的方向向量为，的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与相交但不垂直 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 两条直线与之间的距离是__________. 12. 若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为__________. 14. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 15. 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知的顶点为、 、 . （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高线所在直线的方程； （3）求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求点到平面距离. 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点． （1）求平面与平面ABC夹角的余弦值； （2）在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. （1）求圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）为圆上任意一点，求的最小值. 20. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 21. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $